On résout ensemble

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Six questions, une par forme que les annales ressortent : la valeur ajoutée, les deux groupes, le « nécessairement », le « en moyenne par », le maximum, la comparaison quantitative.

Chaque forme s'ouvre sur un widget : vous faites le geste, avec les nombres de la question.

Puis la question, au format de l'examen, avec son corrigé — et une seconde, avec d'autres nombres.

Avant de cliquer, dites le geste à voix basse. C'est l'écart entre votre réflexe et le bon geste qui vous apprend quelque chose — pas la lecture du corrigé.

1. La valeur ajoutée

2. Deux groupes, et lequel est le plus nombreux

3. Un « nécessairement » sur une moyenne entière

4. « En moyenne par » — le total à reconstituer

Une heure au guichet : un client toutes les 55 minutes en A, qui achète en moyenne 1212 articles ; un toutes les 1515 minutes en B, qui en achète 2020.

5. Le maximum sous contrainte de moyenne

6. La comparaison quantitative

À votre tour — sans widget

Deux dernières questions. Cette fois, personne ne vous montre le geste : à vous de le dire.

Exercices

Exercice 1

La moyenne de quatorze nombres est 3535. On ajoute à la liste le nombre 8080. Quelle est la moyenne des quinze nombres ?

  1. 57,557{,}5
  2. 4545
  3. 3838
  4. 4141
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 3838

Corrigé :

S=35×14=490\begin{aligned}S &= 35 \times 14 \\ &= 490\end{aligned}

La moyenne devient une somme.

490+8015=57015=38\begin{aligned}\frac{490 + 80}{15} &= \frac{570}{15} \\ &= 38\end{aligned}

On ajoute à la somme et on divise par le nouvel effectif.

80−3515=3\frac{80 - 35}{15} = 3

Contrôle par le déplacement : 35+3=3835 + 3 = 38.

La bonne réponse : « 3838 ». « 57,557{,}5 » est la moyenne de 3535 et 8080 — le nouveau venu traité comme la moitié de la liste ; « 4545 » est 80−3580 - 35 — l'écart entre le nouveau venu et la moyenne, pris pour la nouvelle moyenne ; « 4141 » est 35+80:1435 + 80 : 14, arrondi — la valeur ajoutée partagée telle quelle, sur l'ancien effectif, sans retrancher la moyenne au numérateur.

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Exercice 2

Dans une chorale, la moyenne d'âge des femmes est de 4242 ans et celle des hommes de 3030 ans. La moyenne d'âge de toute la chorale est de 3838 ans. Que peut-on en conclure ?

  1. La chorale compte plus de femmes que d'hommes
  2. La chorale compte autant d'hommes que de femmes
  3. La chorale compte plus d'hommes que de femmes
  4. Ces données ne suffisent pas pour trancher
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A La chorale compte plus de femmes que d'hommes

Corrigé :

42−38=438−30=8\begin{aligned}42 - 38 &= 4 \qquad 38 - 30 \\ &= 8\end{aligned}

Les distances au point d'équilibre : 44 du côté des femmes, 88 du côté des hommes.

nFnH=84=2\begin{aligned}\frac{n_F}{n_H} &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

Rapport inverse des distances : deux fois plus de femmes.

La bonne réponse : « plus de femmes que d'hommes ». Le pivot, 3838, est tombé deux fois plus près de 4242 que de 3030 : il penche vers le groupe le plus lourd. « Plus d'hommes » lit le levier à l'envers ; « autant » exigerait une moyenne d'ensemble de 3636, pile au milieu ; « les données ne suffisent pas » oublie qu'une position donne un sens sans donner un nombre.

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Exercice 3

pp, qq et rr sont des nombres entiers. La moyenne de pp, qq et rr est un nombre entier, et r=p+qr = p + q. Le nombre rr est nécessairement —

  1. divisible par 66
  2. pair
  3. divisible par 33
  4. impair
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C divisible par 33

Corrigé :

p+q+r=r+r=2r\begin{aligned}p + q + r &= r + r \\ &= 2r\end{aligned}

On remplace p+qp + q par rr : la somme des trois ne dépend plus que de rr.

2r3∈Z\frac{2r}{3} \in \mathbb{Z}

La moyenne est entière, donc 2r2r est divisible par 33.

3∤2⇒3∣r3 \nmid 2 \Rightarrow 3 \mid r

Comme 22 n'est pas divisible par 33, c'est rr qui doit l'être.

La bonne réponse : « divisible par 33 ». Un seul contre-exemple abat les autres : p=1p = 1, q=2q = 2, r=3r = 3 respecte l'énoncé — moyenne 22 — et 33 est impair, donc « pair » tombe ; p=2p = 2, q=4q = 4, r=6r = 6 le respecte aussi, donc « impair » tombe ; et r=3r = 3 n'est pas « divisible par 66 ». La divisibilité par 33, elle, tient dans tous les cas.

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Exercice 4

Sur une autoroute, une borne de péage voit passer une voiture toutes les 44 secondes et un camion toutes les 2020 secondes. Une voiture paie en moyenne 88 shekels et un camion en moyenne 3232 shekels. Combien un véhicule de cette borne paie-t-il en moyenne, en shekels ?

  1. 1212
  2. 2828
  3. 10,810{,}8
  4. 2020
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 1212

Corrigé :

604=156020=3\begin{aligned}\frac{60}{4} &= 15 \qquad \frac{60}{20} \\ &= 3\end{aligned}

Sur une minute : quinze voitures et trois camions, dix-huit véhicules.

15×8+3×32=120+96=216\begin{aligned}15 \times 8 + 3 \times 32 &= 120 + 96 \\ &= 216\end{aligned}

La recette de la minute : chaque moyenne redevient une somme.

21618=12\frac{216}{18} = 12

Total sur total.

La bonne réponse : « 1212 ». « 2020 » est la moyenne de 88 et 3232 — deux moyennes qu'on ne peut pas additionner puis diviser par deux, puisque les voitures sont cinq fois plus nombreuses ; « 2828 » pondère à l'envers — quinze camions et trois voitures ; « 10,810{,}8 » est 216:20216 : 20 — l'intervalle des camions, vingt secondes, pris pour un effectif.

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Exercice 5

Sur les sept jours d'une semaine, une boulangerie a vendu en moyenne 6060 gâteaux par jour. Le lundi elle en a vendu 4545, le mardi 5050 et le mercredi gg. Quel est le plus grand nombre de gâteaux qu'elle a pu vendre le dimanche ?

  1. 325−g4\dfrac{325 - g}{4}
  2. 420−g420 - g
  3. 325−g325 - g
  4. 322−g322 - g
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 325−g325 - g

Corrigé :

S=60×7=420\begin{aligned}S &= 60 \times 7 \\ &= 420\end{aligned}

Le budget de la semaine.

420−45−50−g=325−g420 - 45 - 50 - g = 325 - g

Ce qui reste pour les quatre derniers jours, du jeudi au dimanche.

325−g−0−0−0=325−g325 - g - 0 - 0 - 0 = 325 - g

Jeudi, vendredi et samedi descendent à zéro : rien n'oblige à vendre un gâteau. Tout le reste va au dimanche.

La bonne réponse : « 325−g325 - g ». « 420−g420 - g » oublie de retirer le lundi et le mardi du budget ; « 322−g322 - g » impose une vente au moins par jour pour les trois jours intermédiaires, une contrainte que l'énoncé ne pose pas ; « 325−g4\dfrac{325 - g}{4} » répartit le reste également sur les quatre jours — c'est la moyenne des quatre derniers jours, pas le maximum du dimanche.

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Exercice 6

Colonne A : la moyenne de huit nombres positifs. Colonne B : la moyenne de cinq autres nombres positifs. Information supplémentaire : la somme des huit nombres est égale à la somme des cinq.

  1. La colonne B porte la valeur la plus grande
  2. Les données ne suffisent pas pour trancher
  3. Les deux colonnes portent la même valeur
  4. La colonne A porte la valeur la plus grande
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A La colonne B porte la valeur la plus grande

Corrigé :

A=S8B=S5\begin{aligned}A &= \frac{S}{8} \qquad B \\ &= \frac{S}{5}\end{aligned}

La même somme SS au numérateur des deux moyennes.

S>0⇒S5>S8S > 0 \Rightarrow \frac{S}{5} > \frac{S}{8}

À numérateur positif égal, le plus petit dénominateur donne la plus grande fraction.

La bonne réponse : « La colonne B porte la valeur la plus grande ». Un même total partagé entre moins de personnes fait des parts plus grosses. « La colonne A » confond « plus de nombres » avec « plus grande moyenne » ; « la même valeur » serait vrai si SS pouvait être nul — mais les nombres sont positifs, et ce mot est là pour ça ; « les données ne suffisent pas » est tentant parce qu'on ne connaît aucun des treize nombres, alors que leur somme commune suffit.

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Exercice 7

La moyenne de onze nombres est 2424. On ajoute à la liste le nombre 6060, puis on calcule la moyenne des douze nombres. Quelle est cette moyenne ?

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Réponse : 27

Corrigé :

24<m′<6024 < m' < 60

La nouvelle moyenne est comprise entre 2424 et 6060, et proche de 2424 : douze nombres, dont onze ont pour moyenne 2424.

S=24×11=264\begin{aligned}S &= 24 \times 11 \\ &= 264\end{aligned}

Les onze nombres pèsent 264264 en tout. On ne saura jamais lesquels, et on n'en a pas besoin.

S′=264+60=324\begin{aligned}S' &= 264 + 60 \\ &= 324\end{aligned}

La somme des douze nombres.

32412=27\frac{324}{12} = 27

La nouvelle moyenne est 2727. Contrôle par le déplacement : 60−2412=3\dfrac{60 - 24}{12} = 3, et 24+3=2724 + 3 = 27 — même réponse, en une ligne.

27. Les distracteurs de l'épreuve : 4242, la moyenne de 2424 et 6060 (le nouveau venu pèse comme onze nombres) ; 2929, une division par 1111 au lieu de 1212 ; 3030, la valeur ajoutée partagée telle quelle.

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Exercice 8

Dans le club A, la moyenne d'âge des membres est de 2424 ans. Dans le club B, elle est de 3939 ans. Les deux clubs fusionnent, et la moyenne d'âge de l'ensemble devient 3030 ans. Que peut-on en conclure ?

  1. Ces données ne suffisent pas pour trancher
  2. Le club A comptait plus de membres que le club B
  3. Le club B comptait plus de membres que le club A
  4. Les deux clubs comptaient le même nombre de membres
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B Le club A comptait plus de membres que le club B

Corrigé :

30−24=639−30=9\begin{aligned}30 - 24 &= 6 \qquad 39 - 30 \\ &= 9\end{aligned}

Les distances au point d'équilibre.

nAnB=96=32\begin{aligned}\frac{n_A}{n_B} &= \frac{9}{6} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

Rapport inverse des distances : le club A pèse plus.

La bonne réponse : « Le club A comptait plus de membres que le club B ». « Le club B… » est la lecture inversée du levier — le pivot pencherait vers le côté léger ; « le même nombre » exigerait que 3030 tombe pile au milieu, à 31,531{,}5 — ce n'est pas le cas ; « les données ne suffisent pas » est la proposition-refuge de qui n'a pas vu qu'une position suffit à donner un sens, même sans donner une valeur.

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Exercice 9

aa, bb, cc et dd sont des nombres entiers. On sait que la moyenne des quatre est un nombre entier et que a+b=c+da + b = c + d. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

  1. a=ca = c
  2. aa et bb sont tous les deux pairs
  3. a+ba + b est divisible par 44
  4. a+ba + b est un nombre pair
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D a+ba + b est un nombre pair

Corrigé :

a+b+c+d4∈Z\frac{a + b + c + d}{4} \in \mathbb{Z}

Traduire chaque phrase de l'énoncé en une phrase sur une somme — c'est le geste 1 sous forme littérale.

a+b+c+d=2(a+b)a + b + c + d = 2(a + b)

La somme des quatre vaut le double de a+ba + b.

2(a+b)4=a+b2∈Z\frac{2(a + b)}{4} = \frac{a + b}{2} \in \mathbb{Z}

Pour que cette moitié soit entière, a+ba + b doit être pair. Contrôle par un exemple : a=1a = 1, b=1b = 1, c=0c = 0, d=2d = 2 respecte tout l'énoncé — moyenne 11 — et a+b=2a + b = 2 n'est ni divisible par 44, ni formé de deux nombres pairs.

La bonne réponse : « a+ba + b est un nombre pair ». Contre un « nécessairement », un contre-exemple suffit pour chaque autre proposition — et le même, 1,1,0,21, 1, 0, 2, abat les trois : « divisible par 44 » (a+b=2a + b = 2), « tous les deux pairs » (11 et 11), « a=ca = c » (1≠01 \ne 0). Cherchez le contre-exemple avant la démonstration : il va plus vite.

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Exercice 10

Pendant une heure d'affilée, un client se présente au guichet A toutes les 55 minutes et achète en moyenne 1212 articles ; au guichet B, un client se présente toutes les 1515 minutes et achète en moyenne 2020 articles. Combien d'articles, en moyenne, chaque client de cette heure a-t-il achetés ?

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Réponse : 14

Corrigé :

605=126015=4\begin{aligned}\frac{60}{5} &= 12 \qquad \frac{60}{15} \\ &= 4\end{aligned}

Douze clients en A, quatre en B : seize clients en tout.

12×12+4×20=144+80=224\begin{aligned}12 \times 12 + 4 \times 20 &= 144 + 80 \\ &= 224\end{aligned}

Deux cent vingt-quatre articles pour seize clients.

22416=14\frac{224}{16} = 14

Quatorze articles par client. Le résultat penche vers 1212 : le guichet A a vu trois fois plus de clients.

14. Les distracteurs de l'épreuve : 1616, la moyenne des deux moyennes ; 1515, la pondération à l'envers ; 1313, 224224 divisé par 1717 après un client compté de trop.

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Exercice 11

Au cours d'une saison de six matchs, une joueuse a marqué en moyenne 44 buts par match. Lors du premier match elle en a marqué 77, et lors du deuxième 55. Quel est le plus grand nombre de buts qu'elle a pu marquer lors du sixième match ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

S=4×6=24\begin{aligned}S &= 4 \times 6 \\ &= 24\end{aligned}

Le budget de la saison entière : vingt-quatre buts.

24−7−5=1224 - 7 - 5 = 12

Douze buts à répartir sur quatre matchs.

12−0−0−0=1212 - 0 - 0 - 0 = 12

Tout le reste va au sixième match : douze buts.

12. Les distracteurs de l'épreuve : 2424 oublie de retirer les deux premiers matchs ; 99 impose un but par match ; 1515 répartit le budget sur cinq matchs.

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Exercice 12

Colonne A : le nombre d'élèves de la classe de Maya. Colonne B : le nombre d'élèves de la classe de Yoav. Information supplémentaire : la moyenne des notes de la classe de Maya est 6262, celle de la classe de Yoav est 8080, et la moyenne des deux classes réunies est 7474.

  1. Les deux colonnes portent la même valeur
  2. La colonne B porte la valeur la plus grande
  3. La colonne A porte la valeur la plus grande
  4. Les données ne suffisent pas pour trancher
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B La colonne B porte la valeur la plus grande

Corrigé :

74−62=1280−74=6\begin{aligned}74 - 62 &= 12 \qquad 80 - 74 \\ &= 6\end{aligned}

Les distances au point d'équilibre.

nMayanYoav=612=12\begin{aligned}\frac{n_{\text{Maya}}}{n_{\text{Yoav}}} &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

Rapport inverse des distances : la classe de Yoav compte deux fois plus d'élèves.

La bonne réponse : « La colonne B porte la valeur la plus grande ». « La colonne A » est le levier lu à l'envers ; « la même valeur » exigerait que 7474 tombe au milieu, à 7171 ; « les données ne suffisent pas » confond « on ne peut pas calculer l'effectif » avec « on ne peut pas comparer » — la comparaison quantitative vit précisément de cette différence.

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Exercice 13

On ajoute à une liste de nombres un nombre égal à sa moyenne. La moyenne de la liste ne change pas.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

m×n+mn+1=m(n+1)n+1=m\begin{aligned}\frac{m \times n + m}{n + 1} &= \frac{m(n + 1)}{n + 1} \\ &= m\end{aligned}

La somme gagne mm, l'effectif gagne 11.

v−mn+1=0\frac{v - m}{n + 1} = 0

Par le déplacement : un écart nul ne déplace rien.

Vrai. Ajouter la moyenne ne change pas la moyenne — la phrase règle aussi la forme littérale « la moyenne de xx, yy, zz égale celle de xx et yy ».

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Exercice 14

Pour chaque situation : la moyenne des deux moyennes est-elle juste, ou faut-il pondérer ?

  • La moyenne des moyennes est juste
  • Il faut pondérer
  • 33 kg à 1010 € et 77 kg à 2020 €
  • deux classes de 2525 élèves chacune
  • deux épreuves de même coefficient
  • deux tronçons de même durée, à 6060 puis 4040 km/h
  • un aller-retour à 6060 puis 4040 km/h
  • un client toutes les 55 min en A, toutes les 1515 min en B
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : deux classes de 2525 élèves chacune — La moyenne des moyennes est juste · un aller-retour à 6060 puis 4040 km/h — Il faut pondérer · deux tronçons de même durée, à 6060 puis 4040 km/h — La moyenne des moyennes est juste · 33 kg à 1010 € et 77 kg à 2020 € — Il faut pondérer · deux épreuves de même coefficient — La moyenne des moyennes est juste · un client toutes les 55 min en A, toutes les 1515 min en B — Il faut pondérer

Corrigé :

meˆmes effectifs, meˆme dureˊe, meˆme coefficient\text{mêmes effectifs, même durée, même coefficient}

Les deux parts pèsent autant : la moyenne simple suffit.

m1n1+m2n2n1+n2\frac{m_1 n_1 + m_2 n_2}{n_1 + n_2}

Sinon, chaque part pèse de son poids : effectif, durée, quantité.

L'aller-retour est le piège : même distance, mais pas même durée — le retour lent dure 33 h contre 22.

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