Le mot « moyenne » revient à presque chaque session. Les vingt fascicules dépouillés pour ce chapitre en portaient tous au moins une.
C'est l'un des rares sujets dont on peut dire : il sera là.
Il se présente sous trois déguisements :
le mot lui-même : « la moyenne de , et »
l'expression « en moyenne par » : par étage, par épreuve, par nuit
un autre nom : vitesse moyenne, prix moyen, durée moyenne
Les trois se règlent avec la même idée. Les widgets de cette page vous la mettent dans les mains avant la formule.
Geste 1 — la seule formule, et sa lecture utile
Celle-là, tout le monde la connaît.
Ce que l'épreuve teste, c'est l'autre sens :
Regardez-la avant de la retenir : six colonnes, une par nombre. Cliquez sur « Étape suivante ».
Ce qui dépasse la moyenne comble exactement ce qui manque en dessous.
Nivelées, les colonnes forment un rectangle : hauteur la moyenne, largeur l'effectif, aire la somme.
La moyenne de et vaut . Combien vaut ?
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. C'est le même geste sous forme littérale, et c'est de très loin la forme la plus fréquente à l'examen. Une moyenne de deux nombres, multipliée par deux, redonne leur somme. Une question de 2010 demandait ensuite la valeur de : c'est , quelles que soient les lettres.
Geste 2 — retrouver le terme qui manque
Une valeur est inconnue, la moyenne est donnée.
La somme totale est connue, la somme des autres aussi : la différence est la réponse.
N'essayez pas les propositions une à une : c'est quatre fois le calcul. Une soustraction donne la réponse du premier coup.
Geste 3 — la moyenne est un point d'équilibre
Une moyenne ne sort jamais de l'intervalle des valeurs :
Cet encadrement, à lui seul, supprime des propositions.
Des notes entre et ne peuvent pas avoir ni de moyenne. Il reste souvent deux réponses au lieu de quatre.
Une session récente demandait même, sur un graphique, l'intervalle où une moyenne pouvait tomber.
Plus fort : les écarts à la moyenne se compensent exactement.
Ce qu'une valeur prend au-dessus de la ligne, une autre le rend au-dessous : le total des écarts est nul.
La moyenne de sept nombres est , et six d'entre eux sont strictement supérieurs à . Que peut-on dire du septième ?
Voir la réponse et le corrigé
Il est strictement inférieur à . Six écarts positifs doivent être compensés, et il ne reste qu'une valeur pour le faire. On répond sans connaître un seul des sept nombres.
Geste 4 — ajouter une valeur déplace la moyenne
Une série de valeurs, de moyenne , reçoit une valeur de plus. Où va la moyenne ?
La nouvelle moyenne se calcule sans revenir aux valeurs de départ :
Et le déplacement se lit d'un coup :
Les deux pièges de ce geste — ils figurent toujours parmi les propositions.
Le déplacement se divise par le nouvel effectif, jamais par l'ancien.
La valeur s'ajoute à la somme, pas à la moyenne.
La moyenne de quatre nombres est . On ajoute un cinquième nombre et la moyenne ne change pas. Que vaut ce cinquième nombre ?
Voir la réponse et le corrigé
. Le déplacement est nul, donc . Ajouter la moyenne ne change pas la moyenne — cette petite phrase résout à elle seule plusieurs questions d'examen, y compris sous forme littérale (« la moyenne de , et est égale à la moyenne de et »).
Geste 5 — deux groupes : la moyenne des moyennes est un piège
Une classe a de moyenne, l'autre . La moyenne des deux classes réunies n'est pas .
La moyenne des moyennes ne vaut que si les deux groupes comptent le même nombre d'élèves. Sinon, chaque groupe pèse de son effectif.
C'est la moyenne pondérée. Elle prend beaucoup de costumes :
des notes avec coefficients, deux marchandises à deux prix, deux tronçons à deux vitesses, deux caisses à deux rythmes.
Le levier : lire les effectifs dans les distances
Le raccourci que l'examen récompense : la moyenne d'ensemble tombe entre les deux moyennes.
Et toujours plus près du groupe le plus nombreux.
Faites glisser les deux curseurs : le pivot se déplace, et les deux distances suivent le rapport inverse des effectifs.
L'examen pose souvent la question à l'envers : la moyenne d'ensemble est donnée — quel groupe est le plus nombreux ?
Ce levier répond souvent sans calcul, quand la question demande seulement laquelle est la plus grande.
C'est la forme que prend la moyenne dans les comparaisons quantitatives de l'examen : le pivot penche du côté du groupe le plus lourd.
Dans une classe de garçons et filles, les garçons ont de moyenne et les filles . Quelle information, à elle seule, permettrait de calculer la moyenne de la classe : , , ou ?
Voir la réponse et le corrigé
Le rapport . Une moyenne pondérée ne dépend que du rapport des effectifs, jamais des effectifs eux-mêmes : dix garçons pour vingt filles donnent le même résultat qu'un garçon pour deux filles. C'est exactement ce que la balançoire montre — doubler les deux curseurs ne bouge pas le pivot. Cette question est tombée telle quelle dans une session.
Geste 6 — « en moyenne par », c'est un total divisé
Aucune subtilité dans la division. La difficulté est dans le total, qu'il faut souvent reconstituer.
Et dans les unités, à harmoniser avant de diviser.
Ilan a révisé trois semaines, sept jours sur sept : h par jour la première semaine, h la deuxième, h la troisième. Il a passé épreuves.
Repérez toujours par quoi on divise : « par épreuve », « par étage », « par famille ».
Le dénominateur est écrit dans la question — et l'énoncé fournit un autre nombre, tout aussi visible, qui n'est pas le bon.
La forme littérale tombe régulièrement : une tour de étages percée de fenêtres a fenêtres en moyenne par étage.
En cas de doute, remplacez par des nombres : étages et fenêtres font fenêtres par étage, donc est bien en haut.
Geste 7 — la vitesse moyenne n'est pas la moyenne des vitesses
Un trajet aller-retour de km, parcouru à km/h à l'aller et à km/h au retour.
L'aller dure 2 heures, le retour 3 heures : on passe plus de temps à la vitesse lente, et elle pèse davantage. La vitesse moyenne est la distance totale divisée par le temps total, jamais la moyenne des deux vitesses.
La vitesse moyenne, c'est la distance totale divisée par le temps total. Choisissez la vitesse du retour, et regardez la frise.
Même règle pour un prix moyen, un rendement, une consommation : on additionne les totaux, en haut et en bas, et on divise à la fin.
Une moyenne de moyennes n'est juste que si les parts sont égales. C'est encore la balançoire : le tronçon lent dure plus, donc il pèse plus.
Geste 8 — la somme est un budget : maximum et minimum
Quand la moyenne est fixée, la somme l'est aussi — et une somme fixée est un budget.
Pour qu'un élément soit le plus grand possible, tous les autres prennent le moins que l'énoncé autorise.
Lisez ce qu'il autorise : « entiers positifs » veut dire au moins ; un « nombre de buts » peut valoir .
Les mots qui déclenchent ce geste : « au maximum », « au moins », « la plus grande valeur possible ».
Même logique pour « la note la plus basse qu'un élève a pu recevoir » : on pousse les autres à la note la plus haute permise.
Geste 9 — deux moyennes qui partagent un terme
Deux moyennes portent sur deux paires qui ont un élément commun. La question ne demande jamais cet élément.
On ne trouve pas , et on n'en a pas besoin. Le chercher est la seule façon de perdre du temps.
Même geste pour « la moyenne de deux notes dépasse de points la moyenne de deux autres » : les sommes diffèrent de .
Les deux formats de question à reconnaître
« Nécessairement vrai ». Quatre propositions sur une moyenne ; une seule est vraie dans tous les cas.
Ne démontrez pas : cherchez un contre-exemple à chacune des trois autres, avec de petits nombres.
Quand une proposition semble vraie, essayez un cas étiré : un nombre négatif, un zéro, un nombre énorme.
La comparaison quantitative. Colonne A, colonne B, et une quatrième réponse : « les données ne suffisent pas ».
La moyenne y vient sous deux formes : le levier (deux effectifs à comparer) et l'encadrement (dix nombres contre deux, de même somme).
Si deux exemples permis donnent deux verdicts différents, la réponse est la quatrième.
Le mémo — à vérifier avant de cocher
J'ai transformé chaque moyenne en somme avant de manipuler quoi que ce soit.
J'ai divisé par le bon effectif — celui d'après, si j'ai ajouté une valeur.
Ma réponse tient dans l'encadrement .
Si deux groupes se mélangent, j'ai pondéré par les effectifs — ou lu le levier.
Pour une vitesse ou un prix moyen : total sur total, jamais moyenne de moyennes.
J'ai lu par quoi on divise, et le mot qui borne : « positifs », « au maximum ».
Ces neuf gestes couvrent toutes les formes relevées dans les annales.
L'unité suivante en reprend six : un widget avec les nombres de la question, puis la question. Viennent ensuite un jeu, et cinq séries au format de l'examen.