Série 1 — Les gestes de base · Moyennes · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours de méthode avant de continuer.

Le réflexe de la série : une moyenne cache une somme. Écrivez « somme = moyenne × effectif » avant tout autre calcul, et gardez l'effectif sous les yeux : c'est lui qui change quand un terme s'ajoute ou quand deux groupes se réunissent.

Exercices

Exercice 1

Les huit premiers clients d'une boulangerie de Rehovot ont dépensé en moyenne $36$ ₪ chacun. Un neuvième client dépense $72$ ₪. Quelle est la dépense moyenne des neuf clients ?

$54$ ₪
$32$ ₪
$45$ ₪
$40$ ₪

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $40$ ₪

Corrigé :

8 \times 36 = 288

la somme des huit premières dépenses

288 + 72 = 360

on ajoute le neuvième client

\dfrac{360}{9} = 40

on divise par le nouvel effectif

La bonne réponse : « $40$ ₪ ». « $54$ ₪ » fait la moyenne de l'ancienne moyenne et du nouveau terme, $\frac{36 + 72}{2}$ : les huit clients n'y pèsent pas plus qu'un seul. « $45$ ₪ » divise la nouvelle somme $360$ par l'ancien effectif, $8$ . « $32$ ₪ » divise par $9$ l'ancienne somme $288$ , sans y ajouter les $72$ ₪ du neuvième client.

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Exercice 2

Dans un verger, on a récolté $t$ kilos de pommes en tout, sur $r$ rangées d'arbres. Combien de kilos de pommes a-t-on récoltés, en moyenne, par rangée ?

$t \cdot r$
$\dfrac{t + r}{2}$
$\dfrac{t}{r}$
$\dfrac{r}{t}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\dfrac{t}{r}$

Corrigé :

\text{moyenne par rangée} = \dfrac{\text{total}}{\text{nombre de rangées}}

« par rangée » : on divise par le nombre de rangées

\dfrac{t}{r}

le total est t kilos, les rangées sont r

La bonne réponse : « $\dfrac{t}{r}$ ». Avec des nombres : $600$ kilos sur $20$ rangées font $30$ kilos par rangée, donc $t$ est en haut. « $\dfrac{r}{t}$ » renverse le quotient : c'est un nombre de rangées par kilo. « $\dfrac{t + r}{2}$ » fait la moyenne des deux paramètres, qui ne mesurent pas la même chose. « $t \cdot r$ » multiplie au lieu de diviser.

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Exercice 3

Chaque année, une ville verse à trois de ses écoles une subvention égale à un pourcentage de son budget de l'éducation, qui vaut $600\,000$ ₪ en 2024 comme en 2025. En 2024, les trois écoles ont reçu $6\,\%$ , $8\,\%$ et $4\,\%$ de ce budget ; en 2025, $9\,\%$ , $5\,\%$ et $10\,\%$ . Quelle a été la subvention moyenne d'une de ces écoles en 2025 ?

$42\,000$ ₪
$36\,000$ ₪
$144\,000$ ₪
$48\,000$ ₪

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $48\,000$ ₪

Corrigé :

\dfrac{9 + 5 + 10}{3} = 8\,\%

la moyenne des trois pourcentages de 2025

8\,\% \times 600\,000 = 48\,000

la base est la même pour les trois écoles : on applique la moyenne à la base

La bonne réponse : « $48\,000$ ₪ ». « $36\,000$ ₪ » prend les pourcentages de 2024, $\frac{6 + 8 + 4}{3} = 6\,\%$ : c'est la mauvaise année. « $144\,000$ ₪ » s'arrête au total des trois subventions, $24\,\%$ du budget, sans diviser par $3$ . « $42\,000$ ₪ » fait la moyenne des six pourcentages des deux années, $7\,\%$ .

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Exercice 4

La moyenne de deux nombres est $27$ , et leur différence est $16$ . Quel est le plus petit des deux nombres ?

$19$
$35$
$11$
$38$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $19$

Corrigé :

2 \times 27 = 54

la somme des deux nombres

\dfrac{54 - 16}{2} = 19

on retire la différence, puis on partage en deux

19 + 16 = 35

vérification : l'autre nombre, et 35 + 19 = 54

La bonne réponse : « $19$ ». « $35$ » est le plus grand des deux nombres, pas le plus petit. « $11$ » retranche la différence à la moyenne, $27 - 16$ : il fallait n'en retirer que la moitié. « $38$ » retranche la différence à la somme, $54 - 16$ , sans diviser par $2$ .

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Exercice 5

La moyenne de deux nombres est égale au triple du plus petit d'entre eux. Le plus petit vaut $14$ . Quel est le plus grand ?

$84$
$42$
$70$
$28$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $70$

Corrigé :

3 \times 14 = 42

la moyenne des deux nombres

2 \times 42 = 84

leur somme

84 - 14 = 70

on retire le plus petit

La bonne réponse : « $70$ ». « $42$ » s'arrête à la moyenne, le triple de $14$ : ce n'est pas le second nombre. « $28$ » oublie de doubler la moyenne et calcule $42 - 14$ . « $84$ » double bien, mais oublie de retrancher le nombre connu : c'est la somme des deux.

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Exercice 6

La moyenne des trois notes d'Avital est $70$ . Ses deux premières notes sont égales, et sa troisième note vaut la moitié de chacune des deux premières. Quelle est sa troisième note ?

$35$
$105$
$84$
$42$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $42$

Corrigé :

3 \times 70 = 210

la somme des trois notes

\begin{aligned}x + x + \dfrac{x}{2} &= \dfrac{5x}{2} \\ &= 210\end{aligned}

x est la note commune des deux premières

\begin{aligned}x &= 84 \\ \qquad \dfrac{84}{2} &= 42\end{aligned}

la troisième note est la moitié de x

La bonne réponse : « $42$ ». « $35$ » prend la moitié de la moyenne, $\frac{70}{2}$ : la moitié porte sur les deux premières notes, pas sur la moyenne. « $84$ » résout l'équation et s'arrête à la note commune $x$ . « $105$ » lit la relation à l'envers, comme si les deux premières notes valaient la moitié de la troisième : $\frac{y}{2} + \frac{y}{2} + y = 210$ .

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Exercice 7

Une suite compte six nombres. Chacun d'eux, sauf le premier et le dernier, est égal à la moyenne des deux nombres qui l'entourent. Le premier nombre vaut $11$ et le troisième vaut $25$ . Combien vaut le sixième ?

$18$
$67$
$39$
$46$

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Réponse : D $46$

Corrigé :

\begin{aligned}a_2 &= \dfrac{a_1 + a_3}{2} \iff a_2 - a_1 \\ &= a_3 - a_2\end{aligned}

chaque terme est au milieu de ses voisins : l'écart est constant

\dfrac{25 - 11}{2} = 7

deux écarts séparent le premier du troisième

11 + 5 \times 7 = 46

cinq écarts séparent le premier du sixième

La bonne réponse : « $46$ ». « $67$ » prend $25 - 11 = 14$ pour l'écart entre deux termes voisins, alors qu'il couvre deux écarts : $25 + 3 \times 14$ . « $39$ » s'arrête au cinquième nombre, un écart trop tôt. « $18$ » fait la moyenne des deux nombres donnés : c'est le deuxième terme, pas le sixième.

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Exercice 8

Dans un club de judo, les $12$ garçons ont en moyenne $15$ ans, et les $8$ filles ont en moyenne $10$ ans. Quel est l'âge moyen de tous les membres du club ?

$12{,}5$ ans
$12$ ans
$13$ ans
On ne peut pas le savoir avec ces seules données

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Réponse : C $13$ ans

Corrigé :

\begin{aligned}12 \times 15 &= 180 \\ \qquad 8 \times 10 &= 80\end{aligned}

la somme des âges de chaque groupe

\begin{aligned}\dfrac{180 + 80}{12 + 8} &= \dfrac{260}{20} \\ &= 13\end{aligned}

la somme totale sur l'effectif total

La bonne réponse : « $13$ ans ». « $12{,}5$ ans » fait la moyenne des deux moyennes : il y a plus de garçons que de filles, ils pèsent plus. « $12$ ans » échange les effectifs, $\frac{12 \times 10 + 8 \times 15}{20}$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut l'âge de chaque enfant : l'effectif et la moyenne de chaque groupe donnent ses sommes.

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Exercice 9

La moyenne de $a$ et $b$ dépasse de $6$ la moyenne de $c$ et $d$ . On sait aussi que $a = c + 5$ . De combien $b$ dépasse-t-il $d$ ?

$17$
$7$
$12$
$1$

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Réponse : B $7$

Corrigé :

\begin{aligned}\dfrac{a + b}{2} - \dfrac{c + d}{2} &= 6 \;\Rightarrow\; (a + b) - (c + d) \\ &= 12\end{aligned}

un écart de 6 entre les moyennes est un écart de 12 entre les sommes

(a - c) + (b - d) = 12

on regroupe

\begin{aligned}b - d &= 12 - 5 \\ &= 7\end{aligned}

a dépasse c de 5

La bonne réponse : « $7$ ». « $1$ » raisonne sur les moyennes comme sur les sommes, $6 - 5$ : il fallait d'abord doubler l'écart. « $12$ » double l'écart mais oublie de retirer les $5$ de la première paire. « $17$ » ajoute les $5$ au lieu de les retirer.

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Exercice 10

Pendant cinq jours, on a relevé la température à midi. La moyenne des cinq relevés est $24$ degrés, et le relevé le plus haut dépasse de $10$ degrés le plus bas. Quel était le relevé le plus bas ?

$14$ degrés
$19$ degrés
$22$ degrés
On ne peut pas le savoir avec ces seules données

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Réponse : D On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Corrigé :

\begin{aligned}19 \\ \ 21 \\ \ 25 \\ \ 26 \\ \ 29 \;\to\; \dfrac{120}{5} &= 24 \\ \quad 29 - 19 &= 10\end{aligned}

un premier cas : le plus bas vaut 19

\begin{aligned}17 \\ \ 26 \\ \ 26 \\ \ 27 \\ \ 24 \;\to\; \dfrac{120}{5} &= 24 \\ \quad 27 - 17 &= 10\end{aligned}

un second cas : le plus bas vaut 17

La bonne réponse : « On ne peut pas le savoir avec ces seules données ». Deux listes qui respectent l'énoncé donnent deux relevés les plus bas différents. « $19$ degrés » place la moyenne au milieu de l'écart, $24 - \frac{10}{2}$ : rien ne l'y oblige. « $14$ degrés » retranche tout l'écart à la moyenne, comme si la moyenne était le relevé le plus haut. « $22$ degrés » partage l'écart entre les cinq jours, $24 - \frac{10}{5}$ .

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Exercices

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