Série 5 — Les questions qui départagent · Moyennes · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours de méthode avant de continuer.

Le réflexe de la série : une moyenne se compare par sa somme, et se borne par ses extrêmes. Pour une moyenne la plus haute, additionnez les lectures ; pour un minimum, poussez tout le reste au maximum permis ; pour un « nécessairement », cherchez un cas permis qui le contredit, avec des entiers si l'énoncé en impose.

Les ventes de trois librairies d'une chaîne de Haïfa, semaine par semaine

Librairie A
Librairie B
Librairie C

Les trois librairies ont vendu pour le même montant pendant la semaine 1. L'indice d'une semaine est le montant des ventes de la librairie en pourcentage de ce montant de la semaine 1 (indice

100

). Les questions marquées « d'après le graphique » s'y réfèrent.

Exercices

Exercice 1

Un immeuble compte $e$ étages. Chacun des $p$ étages du bas compte $u$ appartements, et chacun des autres étages en compte $v$ . Combien d'appartements l'immeuble compte-t-il, en moyenne, par étage ?

$\dfrac{pu + (e - p)\,v}{e}$
$\dfrac{pu + ev}{e}$
$\dfrac{e}{pu + (e - p)\,v}$
$\dfrac{u + v}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{pu + (e - p)\,v}{e}$

Corrigé :

pu + (e - p)\,v

le total : les étages du bas, puis les e − p autres

\dfrac{pu + (e - p)\,v}{e}

« par étage » : on divise le total par le nombre d'étages

La bonne réponse : « $\dfrac{pu + (e - p)\,v}{e}$ ». Avec des nombres : $10$ étages, dont $4$ à $6$ appartements et $6$ à $3$ , font $42$ appartements, soit $4{,}2$ par étage. « $\dfrac{u + v}{2}$ » fait la moyenne des deux nombres d'appartements, comme s'il y avait autant d'étages de chaque sorte. « $\dfrac{e}{pu + (e - p)\,v}$ » renverse le quotient : c'est un nombre d'étages par appartement. « $\dfrac{pu + ev}{e}$ » compte les $v$ appartements sur tous les étages, ceux du bas compris.

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Exercice 2

D'après le graphique, chaque librairie a vendu pour $24\,000$ ₪ pendant la semaine 1. Quel a été le montant moyen des ventes hebdomadaires de la librairie B, sur les six semaines ?

$28\,800$ ₪
$28\,000$ ₪
$28\,400$ ₪
$26\,800$ ₪

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $28\,000$ ₪

Corrigé :

100 + 90 + 100 + 140 + 150 + 120 = 700

les six indices de la librairie B, lus sur sa courbe

\begin{aligned}\dfrac{700}{6}\,\% \times 24\,000 &= \dfrac{7 \times 24\,000}{6} \\ &= 28\,000\end{aligned}

la base est la même chaque semaine : la moyenne des indices s'applique à la base

La bonne réponse : « $28\,000$ ₪ ». « $28\,400$ ₪ » lit la courbe de la librairie A, dont les indices font $710$ . « $26\,800$ ₪ » lit la courbe de la librairie C, dont les indices font $670$ . « $28\,800$ ₪ » oublie la semaine 1 et fait la moyenne des cinq autres indices, $\frac{600}{5} = 120$ : la semaine de départ est une des six semaines.

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Exercice 3

D'après le graphique, pendant quelle semaine les librairies A et B, prises ensemble, ont-elles vendu pour le plus grand montant ?

La semaine 4
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
La semaine 5
La semaine 3

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A La semaine 4

Corrigé :

\text{indice}(A + B) = \dfrac{\text{indice}(A) + \text{indice}(B)}{2}

même montant de départ : l'indice de l'ensemble est la moyenne des deux indices

\begin{aligned}\text{sem. 3} : 150 + 100 &= 250 \\ \quad \text{sem. 4} : 130 + 140 &= 270 \\ \quad \text{sem. 5} : 110 + 150 &= 260\end{aligned}

comparer les moyennes revient à comparer les sommes

La bonne réponse : « La semaine 4 ». « La semaine 3 » prend le sommet de la seule courbe A. « La semaine 5 » prend le sommet de la seule courbe B. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut les montants : les deux librairies partent du même montant, donc les indices s'additionnent comme les ventes.

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Exercice 4

D'après le graphique, pendant laquelle des semaines suivantes la moyenne des indices des trois librairies a-t-elle été la plus élevée ?

La semaine 4
La semaine 6
La semaine 5
La semaine 3

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C La semaine 5

Corrigé :

\text{sem. 3} : 150 + 100 + 90 = 340

on additionne les trois lectures

\begin{aligned}\text{sem. 4} : 130 + 140 + 100 &= 370 \\ \quad \text{sem. 6} : 100 + 120 + 150 &= 370\end{aligned}

même nombre de librairies : comparer les sommes suffit

\text{sem. 5} : 110 + 150 + 120 = 380

la plus grande somme

La bonne réponse : « La semaine 5 ». « La semaine 3 » prend le sommet de la courbe A. « La semaine 6 » prend le sommet de la courbe C. « La semaine 4 » ne compte que les librairies A et B, et oublie la librairie C.

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Exercice 5

Après dix examens, la moyenne d'Ella était de $82$ . L'école annule sa note la plus basse, $58$ . Ella passe ensuite deux nouveaux examens, où elle obtient deux fois la même note, et sa moyenne sur les $11$ notes qui comptent devient $84$ . Quelle note a-t-elle obtenue à chacun des deux nouveaux examens ?

$81$
$52$
$86$
$39$

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Réponse : A $81$

Corrigé :

10 \times 82 - 58 = 762

la somme des neuf notes qui restent

11 \times 84 = 924

la somme des onze notes qui comptent

\dfrac{924 - 762}{2} = 81

les deux nouvelles notes se partagent la différence

La bonne réponse : « $81$ ». « $52$ » oublie l'annulation du $58$ : $\frac{924 - 820}{2}$ . « $39$ » garde dix notes pour la nouvelle moyenne, $\frac{10 \times 84 - 762}{2}$ , alors qu'elles sont onze. « $86$ » fait la moyenne de l'ancienne moyenne et de la nouvelle note, $\frac{82 + x}{2} = 84$ : les deux examens ne pèsent pas autant que les dix autres.

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Exercice 6

Un membre de $70$ ans quitte un club de marche. Après son départ, l'âge moyen des membres a baissé de $3$ ans, et vaut $46$ ans. Combien de membres compte maintenant le club ?

$8$
$7$
$21$
$24$

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Réponse : B $7$

Corrigé :

\begin{aligned}46 + 3 &= 49 \\ \qquad 70 - 49 &= 21\end{aligned}

son écart à l'ancienne moyenne

n \times 3 = 21

son départ fait baisser chacun des n membres restants de 3 ans d'écart : ensemble, ils portaient ses 21 ans

n = 7

les membres restants ; vérification : 8 × 49 − 70 = 322 = 7 × 46

La bonne réponse : « $7$ ». « $8$ » donne l'effectif avant le départ. « $21$ » s'arrête à son écart à l'ancienne moyenne, sans le diviser par la baisse de $3$ ans. « $24$ » prend son écart à la nouvelle moyenne, $70 - 46$ , sans diviser.

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Exercice 7

Une coureuse s'est entraînée cinq jours. Chaque jour, elle a couru un nombre entier de kilomètres, jamais deux fois le même, et elle a couru en moyenne $21$ km par jour. Au minimum, combien de kilomètres a-t-elle couru le jour où elle a couru le plus ?

$25$
$22$
$23$
$21$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $23$

Corrigé :

5 \times 21 = 105

la distance totale

105 \leq M + (M - 1) + (M - 2) + (M - 3) + (M - 4) = 5M - 10

pour que M soit petit, les quatre autres jours sont aussi longs que possible, tous différents

M \geq 23 :\ 23 + 22 + 21 + 20 + 19 = 105

23 est atteint

La bonne réponse : « $23$ ». « $21$ » donne la moyenne : le plus long des cinq jours la dépasse, puisque les cinq distances sont différentes. « $22$ » demande seulement que le plus long dépasse chacun des autres, $105 \leq M + 4\,(M - 1)$ , et oublie que les quatre autres sont aussi différents entre eux. « $25$ » ajoute à la moyenne le nombre des autres jours, $21 + 4$ .

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Exercice 8

Quatre nombres positifs ou nuls, $a$ , $b$ , $c$ et $e$ , ont pour moyenne $m$ . La moyenne de $a$ et $b$ est $p$ . Quelle est la plus grande valeur possible de $c$ ?

$3m - 2p$
$4m - 2p$
$4(m - p)$
$4m - p$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $4m - 2p$

Corrigé :

\begin{aligned}a + b + c + e &= 4m \\ \qquad a + b &= 2p\end{aligned}

chaque moyenne donne une somme

c + e = 4m - 2p

la part de c et e

\begin{aligned}e &= 0 \;\Rightarrow\; c \\ &= 4m - 2p\end{aligned}

pour le maximum de c, e prend la plus petite valeur permise

La bonne réponse : « $4m - 2p$ ». Avec des nombres : $m = 10$ et $p = 6$ donnent $a + b = 12$ et $c + e = 28$ , donc $c$ va jusqu'à $28$ . « $4m - p$ » retire la moyenne de $a$ et $b$ au lieu de leur somme. « $3m - 2p$ » donne à $e$ la moyenne $m$ au lieu de $0$ . « $4(m - p)$ » retire $p$ pour chacun des quatre nombres, comme si $c$ et $e$ valaient aussi $p$ .

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Exercice 9

Une boulangerie a vendu le même nombre de pains le dimanche et le lundi, et a encaissé la même somme les deux jours. Le dimanche, tous les pains coûtaient $c$ ₪. Le lundi, une partie des pains a été vendue $a$ ₪, et les autres $b$ ₪, avec $a < c < b$ . Quel pourcentage des pains du lundi a été vendu $a$ ₪ ?

$\dfrac{100\,(c - a)}{b - a}\,\%$
$\dfrac{100\,(b - a)}{b - c}\,\%$
$50\,\%$
$\dfrac{100\,(b - c)}{b - a}\,\%$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{100\,(b - c)}{b - a}\,\%$

Corrigé :

c = x\,a + (1 - x)\,b

x est la part des pains vendus a ₪ : c est la moyenne pondérée des deux prix

\begin{aligned}c - b &= x\,(a - b) \;\Rightarrow\; x \\ &= \dfrac{b - c}{b - a}\end{aligned}

on isole x

100\,x \;\%

en pourcentage

La bonne réponse : « $\dfrac{100\,(b - c)}{b - a}\,\%$ ». Avec des nombres : $a = 4$ , $b = 10$ , $c = 8$ donnent $\frac{2}{6}$ , un tiers des pains à $4$ ₪, et $\frac{4 + 2 \times 10}{3} = 8$ . « $\dfrac{100\,(c - a)}{b - a}\,\%$ » donne la part des pains vendus $b$ ₪ : la part du prix $a$ est la distance de $c$ à l'autre prix. « $50\,\%$ » suppose une moyenne simple, ce qui mettrait $c$ au milieu de $a$ et $b$ . « $\dfrac{100\,(b - a)}{b - c}\,\%$ » renverse la fraction : il dépasse $100\,\%$ .

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Exercice 10

Cinq élèves ont passé un test noté en points entiers, de $0$ à $10$ . La note la plus basse obtenue est $4$ , la plus haute est $9$ , et la moyenne des cinq notes est $7$ . Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

Au moins deux élèves ont obtenu $5$ ou moins.
Au moins un élève a obtenu $7$ .
Au moins deux élèves ont obtenu $8$ ou plus.
Un seul élève a obtenu $9$ .

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Réponse : C Au moins deux élèves ont obtenu $8$ ou plus.

Corrigé :

\begin{aligned}5 \times 7 &= 35 \\ \qquad 35 - 4 - 9 &= 22\end{aligned}

les trois autres notes, entières de 0 à 10, font 22 ensemble

3 \times 7 = 21 < 22

si les trois étaient à 7 ou moins, elles feraient au plus 21 : l'une d'elles vaut au moins 8, et le 9 s'y ajoute

4,\ 6,\ 8,\ 8,\ 9 \qquad 4,\ 6,\ 7,\ 9,\ 9

deux cas permis qui contredisent les trois autres affirmations

La bonne réponse : « Au moins deux élèves ont obtenu $8$ ou plus. ». « Au moins un élève a obtenu $7$ . » confond la moyenne avec une note obtenue : les notes $4$ , $6$ , $8$ , $8$ , $9$ ont $7$ de moyenne, et personne n'a $7$ . « Au moins deux élèves ont obtenu $5$ ou moins. » tombe sur le même cas, où seul le $4$ est sous $6$ . « Un seul élève a obtenu $9$ . » tombe sur le cas $4$ , $6$ , $7$ , $9$ , $9$ , de moyenne $7$ lui aussi : la note la plus haute peut être obtenue deux fois.

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Exercices

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