Série 5 — dix questions · Nombres · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez un chrono : douze minutes pour la série. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc : comptez vos points sur dix et notez votre temps.

Huit ou plus dans le temps imparti : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours de la série et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Chaque corrigé nomme la bonne réponse, puis les autres avec l'erreur précise qui les fabrique : à l'examen, aucun distracteur n'est tiré au hasard.

Cette série mélange tout, comme l'examen. Avant chaque question, nommez sa forme — vocabulaire, signes, calcul ou zones — puis appliquez le réflexe de la série correspondante.

Exercices

Exercice 1

$n$ est un entier positif. Laquelle des expressions est nécessairement paire ?

$2n + 1$
$n^2 + 1$
$n(n + 1)$
$n + 2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $n(n + 1)$

Corrigé :

n(n + 1)

Deux entiers consécutifs : l'un des deux est pair, donc le produit aussi.

La bonne réponse : « $n(n + 1)$ ». « $2n + 1$ » est toujours impair. « $n^2 + 1$ » et « $n + 2$ » dépendent de $n$ : avec $n = 1$ , ils valent $2$ et $3$ ; avec $n = 2$ , ils valent $5$ et $4$ .

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Exercice 2

$a < b < 0$ . Laquelle des affirmations est nécessairement vraie ?

$ab > b^2$
$a - b > 0$
$a^2 < b^2$
$\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $ab > b^2$

Corrigé :

\begin{aligned}a &= -3 \\ \; b &= -1\end{aligned}

Deux témoins négatifs, $a$ plus loin de $0$ .

\begin{aligned}ab &= 3 > b^2 \\ &= 1\end{aligned}

\begin{aligned}ab - b^2 &= b(a - b) \\ \quad b < 0 \\ \; a - b < 0\end{aligned}

Le produit de deux négatifs est positif : vrai dans tous les cas.

La bonne réponse : « $ab > b^2$ ». « $a^2 < b^2$ » est faux : $a$ est plus loin de $0$ , son carré est plus grand ( $9 > 1$ ). « $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$ » est faux : $-\frac{1}{3} > -1$ . « $a - b > 0$ » contredit $a < b$ .

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Exercice 3

Combien vaut $\dfrac{2^{10} - 2^9}{2^8}$ ?

$\dfrac{1}{2}$
$2$
$1$
$4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $2$

Corrigé :

\begin{aligned}2^{10} - 2^9 &= 2^9 \times (2 - 1) \\ &= 2^9\end{aligned}

$2^9$ en facteur : $2^{10} = 2 \times 2^9$ .

\frac{2^9}{2^8} = 2

La bonne réponse : « $2$ ». « $1$ » soustrait les exposants : $2^{10 - 9} = 2$ , puis divise encore. « $4$ » oublie le $2^9$ : $\frac{2^{10}}{2^8}$ . « $\dfrac{1}{2}$ » inverse la fraction finale.

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Exercice 4

Combien d'entiers sont à la fois plus grands que $-3{,}5$ et plus petits que $2{,}1$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $6$

Corrigé :

-3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2

Le premier entier au-dessus de $-3{,}5$ est $-3$ ; le dernier sous $2{,}1$ est $2$ .

La bonne réponse : « $6$ ». « $5$ » oublie $0$ . « $7$ » ajoute $-4$ : sous $-3{,}5$ , les nombres sont plus petits, pas plus grands. « $4$ » arrondit les bornes vers $-3$ et $2$ puis les exclut.

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Exercice 5

$x$ est un nombre négatif. Laquelle des expressions a la plus grande valeur ?

$x - 3$
$2x$
$x^3$
$-2x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $-2x$

Corrigé :

-2x > 0

Le seul résultat positif : l'opposé d'un négatif.

2x,\; x - 3,\; x^3 < 0

Les trois autres sont négatifs.

La bonne réponse : « $-2x$ ». « $x^3$ » peut dépasser $2x$ et $x - 3$ entre $-1$ et $0$ — il remonte vers $0$ — mais il reste négatif. Le signe suffit : un positif bat tous les négatifs.

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Exercice 6

$a$ , $b$ et $c$ vérifient $abc > 0$ et $ab < 0$ . Laquelle des affirmations est nécessairement vraie ?

$c < 0$
$a < 0$
$c > 0$
$b > 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $c < 0$

Corrigé :

abc = (ab) \times c

On regroupe.

(-) \times c > 0 \;\Rightarrow\; c < 0

Un négatif fois $c$ est positif : $c$ est négatif.

La bonne réponse : « $c < 0$ ». « $c > 0$ » donnerait un produit négatif. « $a < 0$ » et « $b > 0$ » : on sait seulement que $a$ et $b$ ont des signes contraires, pas lequel est négatif.

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Exercice 7

Combien vaut $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \ldots + 99 - 100$ ?

$50$
$0$
$-100$
$-50$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $-50$

Corrigé :

(1 - 2) + (3 - 4) + \ldots + (99 - 100)

On groupe par paires.

50 \times (-1) = -50

Cinquante paires, chacune vaut $-1$ .

La bonne réponse : « $-50$ ». « $50$ » perd le signe des paires. « $0$ » croit que tout s'annule. « $-100$ » compte cent paires au lieu de cinquante.

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Exercice 8

Quel est le chiffre des unités de $3 \times 13 \times 23 \times 33$ ?

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Réponse : D $1$

Corrigé :

3 \times 13 \times 23 \times 33 \;\to\; 3 \times 3 \times 3 \times 3

Le chiffre des unités d'un produit ne dépend que des chiffres des unités des facteurs.

3^4 = 81 \;\to\; 1

La bonne réponse : « $1$ ». « $3$ » garde le chiffre des unités d'un seul facteur. « $9$ » s'arrête à $3 \times 3$ . « $7$ » s'arrête à $3 \times 3 \times 3 = 27$ .

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Exercice 9

$x$ et $y$ sont des entiers, $x > y > 0$ , et $xy = 12$ . Combien de paires $(x, y)$ sont possibles ?

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Réponse : D $3$

Corrigé :

\begin{aligned}12 &= 12 \times 1 \\ &= 6 \times 2 \\ &= 4 \times 3\end{aligned}

Les paires de diviseurs, le plus grand en premier.

La bonne réponse : « $3$ ». « $6$ » compte chaque paire dans les deux ordres, alors que $x > y$ fixe l'ordre. « $4$ » ajoute une paire où $x = y$ — il n'y en a pas, $12$ n'est pas un carré. « $2$ » oublie $12 \times 1$ .

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Exercice 10

$0 < a < 1 < b$ . Laquelle des expressions a nécessairement la plus grande valeur ?

$a$
$\dfrac{b}{a}$
$\dfrac{a}{b}$
$ab$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\dfrac{b}{a}$

Corrigé :

\frac{b}{a} > b

Diviser $b$ par un nombre plus petit que $1$ l'agrandit.

ab < b, \quad \frac{a}{b} < a < 1

Les trois autres restent sous $b$ .

La bonne réponse : « $\dfrac{b}{a}$ ». « $ab$ » rapetisse $b$ : on en prend une part. « $\dfrac{a}{b}$ » rapetisse $a$ , déjà sous $1$ . « $a$ » est sous $1$ . Témoins : $a = \frac{1}{2}$ , $b = 2$ donnent $\frac{b}{a} = 4$ , $ab = 1$ , $\frac{a}{b} = \frac{1}{4}$ .

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Exercice 11

Combien vaut $(-1)^{100} - (-1)^{99} + 2 \times (-3)$ ?

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Réponse : -4

Corrigé :

\begin{aligned}(-1)^{100} &= 1 \\ \quad (-1)^{99} &= -1\end{aligned}

seule la parité de l'exposant décide

\begin{aligned}1 - (-1) + (-6) &= 2 - 6 \\ &= -4\end{aligned}

$-4$ . Retirer $-1$ , c'est ajouter $1$ .

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Exercice 12

$n$ est un entier. L'affirmation « $n^2 + n + 1$ est impair » est-elle forcément vraie ?

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Réponse : Vrai

Corrigé :

n^2 + n = n(n + 1)

deux consécutifs : l'un est pair

n(n + 1) + 1

un pair, plus $1$ : impair

Vrai, pour tout $n$ : $n = 2$ donne $7$ , $n = 3$ donne $13$ , $n = -4$ donne $13$ .

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Exercices

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