Série 4 — dix questions

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Dix questions au format de l'examen. Lancez un chrono : douze minutes pour la série. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc : comptez vos points sur dix et notez votre temps.

Huit ou plus dans le temps imparti : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours de la série et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Chaque corrigé nomme la bonne réponse, puis les autres avec l'erreur précise qui les fabrique : à l'examen, aucun distracteur n'est tiré au hasard.

Un seul réflexe à installer dans cette série : un témoin dans la zone, jamais sur une frontière. 12\frac{1}{2}, 14\frac{1}{4}, 22, 44, −12-\frac{1}{2} et −2-2 font tout le travail ; 00, 11 et −1-1 n'en font aucun.

Exercices

Exercice 1

0<x<10 < x < 1. Laquelle des expressions a la plus grande valeur ?

  1. 1x\dfrac{1}{x}
  2. x\sqrt{x}
  3. xx
  4. x2x^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 1x\dfrac{1}{x}

Corrigé :

x=14:  x2=116  x=14  x=12  1x=4\begin{aligned}x &= \tfrac{1}{4} : \; x^2 \\ &= \tfrac{1}{16} \\ \; x &= \tfrac{1}{4} \\ \; \sqrt{x} &= \tfrac{1}{2} \\ \; \tfrac{1}{x} &= 4\end{aligned}

Le témoin 14\frac{1}{4}.

La bonne réponse : « 1x\dfrac{1}{x} ». Elle est la seule à dépasser 11. « x\sqrt{x} » grandit aussi dans cette zone, mais reste sous 11. « x2x^2 » est la plus petite des quatre.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

x>1x > 1. Laquelle des expressions est la plus proche de 00 ?

  1. 1x\dfrac{1}{\sqrt{x}}
  2. xx
  3. x\sqrt{x}
  4. 1x\dfrac{1}{x}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 1x\dfrac{1}{x}

Corrigé :

x=4:  1x=14  1x=12\begin{aligned}x &= 4 : \; \tfrac{1}{x} \\ &= \tfrac{1}{4} \\ \; \tfrac{1}{\sqrt{x}} &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

Les deux inverses passent sous 11 ; le plus petit dénominateur donne le plus grand quotient.

La bonne réponse : « 1x\dfrac{1}{x} ». « 1x\dfrac{1}{\sqrt{x}} » est aussi sous 11, mais x<x\sqrt{x} < x au-delà de 11 : on divise par moins, on obtient plus. « xx » et « x\sqrt{x} » dépassent 11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

−1<x<0-1 < x < 0. Laquelle des affirmations est vraie ?

  1. x<x3x < x^3
  2. x2<xx^2 < x
  3. 1x>x\dfrac{1}{x} > x
  4. x3<xx^3 < x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x<x3x < x^3

Corrigé :

x=−12:  x3=−18>−12\begin{aligned}x &= -\tfrac{1}{2} : \; x^3 \\ &= -\tfrac{1}{8} > -\tfrac{1}{2}\end{aligned}

Le cube remonte vers 00.

La bonne réponse : « x<x3x < x^3 ». « x3<xx^3 < x » est vrai sous −1-1, pas ici. « x2<xx^2 < x » : un carré positif n'est jamais sous un négatif. « 1x>x\dfrac{1}{x} > x » : l'inverse vaut −2-2, plus petit que xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

On sait que x2=0,49x^2 = 0{,}49 et que x<0x < 0. Combien vaut x3x^3 ?

  1. 0,3430{,}343
  2. −0,49-0{,}49
  3. −2,1-2{,}1
  4. −0,343-0{,}343
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −0,343-0{,}343

Corrigé :

x=−0,7x = -0{,}7

Deux nombres ont pour carré 0,490{,}49 : 0,70{,}7 et −0,7-0{,}7. L'énoncé choisit le négatif.

x3=−0,7×0,49=−0,343\begin{aligned}x^3 &= -0{,}7 \times 0{,}49 \\ &= -0{,}343\end{aligned}

La bonne réponse : « −0,343-0{,}343 ». « 0,3430{,}343 » prend x=0,7x = 0{,}7 — la moitié de l'énoncé oubliée. « −2,1-2{,}1 » confond cube et « fois trois ». « −0,49-0{,}49 » redonne le carré.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

xx est compris entre 00 et 11. Laquelle des expressions est nécessairement plus grande que xx ?

  1. x2x^2
  2. x\sqrt{x}
  3. x2\dfrac{x}{2}
  4. x−1x - 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x\sqrt{x}

Corrigé :

x=14:  x=12>14\begin{aligned}x &= \tfrac{1}{4} : \; \sqrt{x} \\ &= \tfrac{1}{2} > \tfrac{1}{4}\end{aligned}

Entre 00 et 11, la racine agrandit.

La bonne réponse : « x\sqrt{x} ». « x2x^2 » rapetisse dans cette zone. « x2\dfrac{x}{2} » et « x−1x - 1 » sont plus petits que xx pour tout xx positif.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Combien d'entiers xx vérifient x2<10x^2 < 10 ?

  1. 66
  2. 44
  3. 77
  4. 33
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 77

Corrigé :

x∈{−3,−2,−1,0,1,2,3}x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

32=9<103^2 = 9 < 10 mais 42=164^2 = 16. Et les négatifs ont le même carré que leur opposé.

La bonne réponse : « 77 ». « 33 » ne compte que 1,2,31, 2, 3. « 44 » ajoute 00 mais oublie les négatifs. « 66 » compte les négatifs mais oublie 00, dont le carré 00 est bien plus petit que 1010.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

x<−1x < -1. Laquelle des expressions a la plus grande valeur ?

  1. 2x2x
  2. 1x\dfrac{1}{x}
  3. xx
  4. x3x^3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 1x\dfrac{1}{x}

Corrigé :

x=−2:  x3=−8  2x=−4  x=−2  1x=−12\begin{aligned}x &= -2 : \; x^3 \\ &= -8 \\ \; 2x &= -4 \\ \; x &= -2 \\ \; \tfrac{1}{x} &= -\tfrac{1}{2}\end{aligned}

Toutes sont négatives ; la plus grande est la plus proche de 00.

La bonne réponse : « 1x\dfrac{1}{x} ». Sous −1-1, l'inverse remonte entre −1-1 et 00. « x3x^3 » est au contraire la plus petite : elle plonge. Parmi des négatifs, « plus grand » veut dire « plus près de 00 ».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

On sait que x3>x2x^3 > x^2. Laquelle des affirmations est nécessairement vraie ?

  1. x<1x < 1
  2. x<0x < 0
  3. x>1x > 1
  4. 0<x<10 < x < 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x>1x > 1

Corrigé :

x2>0x^2 > 0

xx n'est pas nul — sinon les deux côtés vaudraient 00.

x3>x2  ⇒  x>1x^3 > x^2 \;\Rightarrow\; x > 1

On divise par x2x^2, qui est positif : le sens de l'inégalité ne change pas.

La bonne réponse : « x>1x > 1 ». « 0<x<10 < x < 1 » : le cube y est plus petit que le carré. « x<0x < 0 » : le cube est négatif, le carré positif. « x<1x < 1 » contredit la seule zone qui convient. On a le droit de diviser par x2x^2 — jamais par xx quand son signe est inconnu.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

aa et bb sont deux nombres compris entre 00 et 11. Laquelle des expressions est nécessairement plus petite que aa ?

  1. a\sqrt{a}
  2. ab\dfrac{a}{b}
  3. abab
  4. a+ba + b
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C abab

Corrigé :

ab=a×b<a×1=a\begin{aligned}ab &= a \times b < a \times 1 \\ &= a\end{aligned}

Multiplier par un nombre plus petit que 11, c'est prendre une part : on rapetisse.

La bonne réponse : « abab ». « a+ba + b » ajoute un positif : plus grand. « ab\dfrac{a}{b} » divise par un nombre plus petit que 11 : plus grand. « a\sqrt{a} » grandit entre 00 et 11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

x≠0x \ne 0 et x=1xx = \dfrac{1}{x}. Combien de valeurs xx peut-il prendre ?

  1. 11
  2. Une infinité
  3. 22
  4. 00
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 22

Corrigé :

x=1x  ⇒  x2=1\begin{aligned}x &= \tfrac{1}{x} \;\Rightarrow\; x^2 \\ &= 1\end{aligned}

On multiplie par xx, qui n'est pas nul.

x=1   ou   x=−1\begin{aligned}x &= 1 \;\text{ ou }\; x \\ &= -1\end{aligned}

La bonne réponse : « 22 ». « 11 » oublie −1-1 : son inverse est aussi −1-1. « 00 » croit qu'un nombre n'est jamais égal à son inverse. Dans le laboratoire du x, ce sont exactement les deux frontières où le couloir de 1x\frac{1}{x} croise xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

On sait que x3=−18x^3 = -\frac{1}{8}. Combien vaut 1x2\dfrac{1}{x^2} ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x=−12x = -\tfrac{1}{2}

le cube garde le signe : (−12)3=−18\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}

x2=141x2=4\begin{aligned}x^2 &= \tfrac{1}{4} \\ \quad \frac{1}{x^2} &= 4\end{aligned}

44. Le carré efface le signe négatif de xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

−1<x<0-1 < x < 0. L'affirmation « x3>xx^3 > x » est-elle forcément vraie ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x3−x=x(x2−1)x^3 - x = x(x^2 - 1)

on compare par la différence

x<0,x2−1<0x < 0, \quad x^2 - 1 < 0

deux facteurs négatifs : la différence est positive

Vrai. Entre −1-1 et 00, le cube remonte vers 00 : avec x=−12x = -\frac{1}{2}, x3=−18>−12x^3 = -\frac{1}{8} > -\frac{1}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe