Série 5 — douze questions · Nouvelles opérations · Psychométriques

Douze questions au format de l'examen, et un chrono : quatorze minutes pour la série.

Répondez aux douze avant d'ouvrir un corrigé, comme le jour J. Puis corrigez d'un bloc : vos points, votre temps.

\geq 10

Série acquise : passez à la suivante.

8 \text{ ou } 9

Relisez le corrigé de chaque erreur, et nommez le piège.

\leq 7

Revenez au cours avant de continuer.

Un seul réflexe : écrivez le nombre, puis faites littéralement ce que la phrase dit. Ne cherchez pas de formule — il n'y en a pas.

Exercices

Exercice 1

Pour deux entiers positifs $p$ et $q$ , on définit $p \sim q$ : le nombre obtenu en écrivant les chiffres de $p$ , puis ceux de $q$ . Ainsi $12 \sim 87 = 1287$ . Que vaut $(1 \sim 2) \sim 3$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 123

Corrigé :

1 \sim 2 = 12

La parenthèse d'abord — ici on colle deux chiffres.

12 \sim 3 = 123

Puis on colle le troisième.

$123$ . L'opération ne calcule rien : elle écrit. Chercher une addition ou un produit ne mène nulle part.

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Exercice 2

Avec la même opération $p \sim q$ (coller les chiffres), laquelle de ces égalités est nécessairement vraie pour tout entier positif $p$ ?

$p \sim 0 = p$
$p \sim 0 = 10p$
$p \sim 1 = p + 1$
$p \sim q = q \sim p$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $p \sim 0 = 10p$

Corrigé :

\begin{aligned}7 \sim 0 &= 70 \\ &= 10 \times 7\end{aligned}

Un premier essai.

\begin{aligned}25 \sim 0 &= 250 \\ &= 10 \times 25\end{aligned}

Un second, sur deux chiffres.

p \sim 0 = 10p

Coller un zéro à droite décale tous les chiffres d'un rang : c'est exactement multiplier par dix.

$p \sim 0 = 10p$ . Les trois autres tombent sur un seul essai : $1 \sim 2 = 12$ mais $2 \sim 1 = 21$ .

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Exercice 3

Pour tout entier $n$ , $\#n$ désigne le nombre de zéros dans l'écriture de $n$ . Que vaut $\#(10 \times 10 \times 10)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

10 \times 10 \times 10 = 1000

On calcule d'abord le produit.

\#(1000) = 3

Puis on compte les zéros du résultat.

$3$ . Compter les zéros de chaque facteur puis les additionner donne $3$ aussi — par hasard. Avec $50 \times 2 = 100$ , la méthode fausse donnerait $1$ au lieu de $2$ .

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Exercice 4

Pour tout nombre $v$ , $[v]$ désigne le plus grand entier inférieur ou égal à $v$ . Que vaut $[3{,}7] + [-3{,}7]$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

[3{,}7] = 3

Le plus grand entier qui ne dépasse pas $3{,}7$ .

[-3{,}7] = -4

Attention : $-3$ est plus grand que $-3{,}7$ , donc il ne convient pas. Il faut descendre à $-4$ .

3 + (-4) = -1

$-1$ . La partie entière d'un nombre négatif descend, elle ne tronque pas. Répondre $0$ — en croyant que $[-3{,}7] = -3$ — est l'erreur que cette question existe pour attraper.

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Exercice 5

Pour tout nombre à trois chiffres $\overline{ABC}$ (avec $A \neq 0$ ), on définit $\square(\overline{ABC})$ : le nombre à deux chiffres $\overline{BC}$ divisé par $A$ . Que vaut $\square(248)$ ?

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Réponse : 24

Corrigé :

248 \;\rightarrow\; \overline{BC} = 48

Dans $248$ , les deux derniers chiffres, lus comme un nombre.

A = 2

Le premier chiffre.

\frac{48}{2} = 24

$24$ . L'opération découpe l'écriture du nombre : $248$ n'est pas traité comme deux cent quarante-huit, mais comme les chiffres $2$ , $4$ et $8$ .

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Exercice 6

Avec la même opération $\square(\overline{ABC}) = \dfrac{\overline{BC}}{A}$ , lequel de ces nombres donne le plus grand résultat ?

$123$
$248$
$396$
$175$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $175$

Corrigé :

\begin{aligned}\square(175) &= \frac{75}{1} \\ &= 75\end{aligned}

\begin{aligned}\square(396) &= \frac{96}{3} \\ &= 32\end{aligned}

\begin{aligned}\square(248) &= \frac{48}{2} \\ &= 24\end{aligned}

\begin{aligned}\square(123) &= \frac{23}{1} \\ &= 23\end{aligned}

$175$ . Le plus grand nombre de départ n'est pas celui qui gagne : c'est le petit premier chiffre qui compte, puisqu'il divise.

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Exercice 7

Pour tout entier positif $n$ , $\odot n$ désigne la somme des chiffres de $n$ . Que vaut $\odot(\odot(9999))$ ?

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Réponse : 9

Corrigé :

\begin{aligned}\odot(9999) &= 9 + 9 + 9 + 9 \\ &= 36\end{aligned}

La parenthèse intérieure.

\begin{aligned}\odot(36) &= 3 + 6 \\ &= 9\end{aligned}

On réapplique au résultat.

$9$ . Composer une opération qui lit les chiffres se fait exactement comme les autres : de l'intérieur vers l'extérieur, une couche à la fois.

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Exercice 8

Avec $[v]$ le plus grand entier inférieur ou égal à $v$ , que vaut $[2{,}5] \times [-2{,}5]$ ?

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Réponse : -6

Corrigé :

[2{,}5] = 2

[-2{,}5] = -3

On descend, comme pour tout négatif.

2 \times (-3) = -6

$-6$ . Répondre $-4$ , c'est avoir tronqué $-2{,}5$ en $-2$ .

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Exercice 9

Pour tout entier $n$ , $\#n$ compte les zéros de l'écriture de $n$ . Que vaut $\#\big(\#(100) \times \#(1000)\big)$ ?

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Réponse : C $0$

Corrigé :

\#(100) = 2

Deux zéros.

\#(1000) = 3

Trois zéros.

2 \times 3 = 6

On calcule le produit.

\#(6) = 0

Le nombre $6$ ne contient aucun zéro.

$0$ . La composition se poursuit jusqu'au bout : le dernier $\#$ s'applique à $6$ , pas aux nombres du départ. Répondre $6$ , c'est s'être arrêté une étape trop tôt.

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Exercice 10

Avec $p \sim q$ (coller les chiffres de $p$ puis ceux de $q$ ), l'égalité $(p \sim q) \sim r = p \sim (q \sim r)$ est-elle vraie pour tous entiers positifs ?

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Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}(1 \sim 2) \sim 3 &= 12 \sim 3 \\ &= 123\end{aligned}

Premier groupement.

\begin{aligned}1 \sim (2 \sim 3) &= 1 \sim 23 \\ &= 123\end{aligned}

Second groupement.

\text{les chiffres se suivent dans le même ordre}

Dans les deux cas on écrit $1$ , puis $2$ , puis $3$ .

Vrai — et c'est la seule opération de tout ce chapitre dont on peut le dire. Coller des chiffres est associatif parce que le résultat ne dépend que de l'ordre des chiffres, que les parenthèses ne changent pas. Encore une fois : vérifier, jamais supposer.

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Exercice 11

Pour tout entier positif $n$ , $\odot n$ désigne la somme des chiffres de $n$ . Que vaut $\odot(48) - \odot(\odot(48))$ ?

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Réponse : 9

Corrigé :

\begin{aligned}\odot(48) &= 4 + 8 \\ &= 12\end{aligned}

On écrit le nombre, on additionne ses chiffres.

\begin{aligned}\odot(12) &= 1 + 2 \\ &= 3\end{aligned}

On recommence sur le résultat.

12 - 3 = 9

$9$ . Le piège : s'arrêter à $\odot(48) = 12$ et répondre $0$ .

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Exercice 12

Avec $p \sim q$ (coller les chiffres de $p$ puis ceux de $q$ ), on a $12 \sim 3 = 3 \sim 12$ .

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Réponse : Faux

Corrigé :

12 \sim 3 = 123

Les chiffres de $12$ , puis celui de $3$ .

3 \sim 12 = 312

Dans l'autre ordre.

123 \neq 312

Faux. Coller des chiffres n'est pas commutatif : l'ordre de l'écriture compte.

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Exercices

La suite se pratique sur elev