Série 4 — douze questions · Nouvelles opérations · Psychométriques

Douze questions au format de l'examen, et un chrono : quatorze minutes pour la série.

Répondez aux douze avant d'ouvrir un corrigé, comme le jour J. Puis corrigez d'un bloc : vos points, votre temps.

\geq 10

Série acquise : passez à la suivante.

8 \text{ ou } 9

Relisez le corrigé de chaque erreur, et nommez le piège.

\leq 7

Revenez au cours avant de continuer.

Un seul réflexe : pour démolir une égalité, cherchez un contre-exemple avec $0$ , $1$ et $2$ . Pour la prouver, développez les deux membres — il n'y a pas de raccourci.

Exercices

Exercice 1

Avec $a \oplus b = a^2 - b^2$ , à quoi est égal $(2a) \oplus b \;+\; a \oplus (2b)$ ?

$5 \cdot (a \oplus b)$
$a \oplus b$
$3(a^2 + b^2)$
$(2a) \oplus (2b)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $5 \cdot (a \oplus b)$

Corrigé :

(2a) \oplus b = 4a^2 - b^2

Premier terme.

a \oplus (2b) = a^2 - 4b^2

Second terme.

5a^2 - 5b^2 = 5(a^2 - b^2)

On met en facteur.

= 5 \cdot (a \oplus b)

Dernier geste : relire la définition à l'envers pour reconnaître le symbole.

$5 \cdot (a \oplus b)$ . Quand les propositions contiennent encore le symbole, le calcul n'est fini qu'une fois le résultat retraduit dans ce symbole.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Avec $a \star b = a + 2b$ , laquelle de ces égalités est nécessairement vraie ?

$a \star b = b \star a$
$(a \star b) + (b \star a) = 3(a + b)$
$(a \star b) - (b \star a) = 0$
$a \star a = 2a$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(a \star b) + (b \star a) = 3(a + b)$

Corrigé :

a \star b = a + 2b

b \star a = b + 2a

L'autre ordre.

\begin{aligned}(a + 2b) + (b + 2a) &= 3a + 3b \\ &= 3(a + b)\end{aligned}

La somme des deux est symétrique, même si aucune des deux ne l'est.

$(a \star b) + (b \star a) = 3(a + b)$ . Les trois autres tombent sur un seul contre-exemple : $1 \star 2 = 5$ et $2 \star 1 = 4$ suffisent à en éliminer trois d'un coup.

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Exercice 3

Pour $a$ et $b$ non nuls, $a \diamond b = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$ . L'égalité $a \diamond b = b \diamond a$ est-elle vraie pour tous $a$ et $b$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

a \diamond b = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}

b \diamond a = \frac{b}{a} + \frac{a}{b}

Les deux mêmes termes, dans l'autre ordre.

Vrai. L'addition, elle, est commutative : échanger les deux arguments échange seulement les deux termes de la somme.

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Exercice 4

Avec $a \star b = a + 2b$ , à quoi est égal $a \star (b \star c)$ ?

$a + 2b + 4c$
$a + b + c$
$a + 2b + 2c$
$2a + 2b + 4c$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $a + 2b + 4c$

Corrigé :

b \star c = b + 2c

La parenthèse.

a \star (b + 2c) = a + 2(b + 2c)

Toute la parenthèse prend la place de $b$ .

a + 2b + 4c

Le $c$ se retrouve multiplié par quatre : il a traversé deux doublements.

$a + 2b + 4c$ . Chaque niveau d'emboîtement double encore le coefficient de l'argument le plus profond. C'est la signature de cette famille.

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Exercice 5

Avec $a \star b = a^2 + b^2$ , l'égalité $a \star (b \star c) = (a \star b) \star c$ est-elle vraie pour tous $a$ , $b$ , $c$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

a \star (b \star c) = a^2 + (b^2 + c^2)^2

Membre de gauche.

(a \star b) \star c = (a^2 + b^2)^2 + c^2

Membre de droite.

\begin{aligned}a &= 0 \\ \; b &= 0 \\ \; c &= 1 \;\Rightarrow\; 1 \\ &= 1\end{aligned}

Ce choix-là ne tranche pas : les deux membres valent $1$ .

\begin{aligned}a &= 1 \\ \; b &= 1 \\ \; c &= 0 \;\Rightarrow\; 2 \neq 4\end{aligned}

Celui-ci tranche.

Faux. Un contre-exemple mal choisi ne prouve rien : $a = 0$ , $b = 0$ , $c = 1$ donne $1$ des deux côtés. Il faut en essayer un second — et $1, 1, 0$ démolit l'égalité.

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Exercice 6

Avec $a \star b = a - b$ , laquelle de ces égalités est nécessairement vraie ?

$a \star (a \star a) = a$
$(a \star a) \star a = a$
$a \star (a \star a) = 0$
$a \star (a \star a) = -a$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $a \star (a \star a) = a$

Corrigé :

\begin{aligned}a \star a &= a - a \\ &= 0\end{aligned}

La parenthèse.

\begin{aligned}a \star 0 &= a - 0 \\ &= a\end{aligned}

Premier groupement.

\begin{aligned}(a \star a) \star a &= 0 - a \\ &= -a\end{aligned}

Le second groupement donne l'opposé.

$a \star (a \star a) = a$ . Les deux groupements donnent $a$ et $-a$ : la question sanctionne exactement celui qui déplace la parenthèse.

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Exercice 7

Pour tout $x$ , $\odot x = 1 - x$ . L'égalité $\odot(\odot(\odot(\odot x))) = x$ est-elle vraie pour tout $x$ ?

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Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}\odot(\odot x) &= 1 - (1 - x) \\ &= x\end{aligned}

Deux applications ramènent au départ.

\begin{aligned}\odot(\odot(\odot(\odot x))) &= \odot(\odot x) \\ &= x\end{aligned}

Quatre, c'est deux fois deux.

Vrai. Un nombre pair d'applications ramène à $x$ ; un nombre impair équivaut à une seule. Comptez la parité, ne développez pas.

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Exercice 8

Avec $a \star b = a + 2b$ , l'égalité $(2a) \star (2b) = 2 \cdot (a \star b)$ est-elle vraie pour tous $a$ et $b$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}(2a) \star (2b) &= 2a + 2 \cdot 2b \\ &= 2a + 4b\end{aligned}

Membre de gauche.

\begin{aligned}2 \cdot (a \star b) &= 2(a + 2b) \\ &= 2a + 4b\end{aligned}

Membre de droite.

Vrai. Doubler les deux arguments double le résultat — parce que la définition n'additionne que des multiples de $a$ et de $b$ . Cette propriété-là tombe souvent, et elle se vérifie en deux lignes.

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Exercice 9

Avec $a \star b = 2a + b$ , que vaut $x \star (x \star x)$ ?

$3x$
$7x$
$6x$
$5x$

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Réponse : D $5x$

Corrigé :

\begin{aligned}x \star x &= 2x + x \\ &= 3x\end{aligned}

La parenthèse.

x \star (3x) = 2x + 3x

Ici c'est le premier argument qui est doublé.

5x

$5x$ . Comparez avec $a \star b = a + 2b$ , qui donne $7x$ : le doublement change de camp, et le résultat aussi. Lisez toujours de quel côté est le coefficient.

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Exercice 10

Avec $a \star b = a + 2b$ , laquelle de ces expressions vaut $9x$ ?

$x \star (x \star x)$
$(x \star x) \star x$
$(x \star x) \star (x \star x)$
$x \star (2x)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $(x \star x) \star (x \star x)$

Corrigé :

\begin{aligned}(x \star x) \star (x \star x) &= 3x \star 3x \\ &= 3x + 6x \\ &= 9x\end{aligned}

La bonne.

x \star (x \star x) = 7x

Pour comparaison.

(x \star x) \star x = 5x

$(x \star x) \star (x \star x)$ . Les quatre propositions utilisent les mêmes symboles : seule la place des parenthèses les distingue, et il faut les développer une par une.

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Exercice 11

Avec $a \star b = 3a - 2b$ , que vaut $(2 \star 1) - (1 \star 2)$ ?

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Réponse : 5

Corrigé :

\begin{aligned}2 \star 1 &= 6 - 2 \\ &= 4\end{aligned}

Premier appel.

\begin{aligned}1 \star 2 &= 3 - 4 \\ &= -1\end{aligned}

Second appel : les places ont changé.

4 - (-1) = 5

$5$ . Croire l'opération symétrique donne $0$ . Le contre-exemple est là, en nombres.

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Exercice 12

Avec $a \oplus b = a^2 - b^2$ , on sait que $a \oplus b = 7$ . Que vaut $(3a) \oplus (3b)$ ?

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Réponse : 63

Corrigé :

(3a) \oplus (3b) = 9a^2 - 9b^2

On remplace, avec les parenthèses.

9(a^2 - b^2) = 9 \cdot (a \oplus b)

On relit la définition à l'envers.

9 \times 7 = 63

$63$ . Le piège : $3 \times 7 = 21$ , en oubliant que le $3$ est élevé au carré.

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Exercices

La suite se pratique sur elev