Série 3 — douze questions · Nouvelles opérations · Psychométriques

Douze questions au format de l'examen, et un chrono : quatorze minutes pour la série.

Répondez aux douze avant d'ouvrir un corrigé, comme le jour J. Puis corrigez d'un bloc : vos points, votre temps.

\geq 10

Série acquise : passez à la suivante.

8 \text{ ou } 9

Relisez le corrigé de chaque erreur, et nommez le piège.

\leq 7

Revenez au cours avant de continuer.

Un seul réflexe : remplacez d'abord, résolvez ensuite. Tant que le symbole inventé est encore là, il n'y a pas d'équation à résoudre.

Exercices

Exercice 1

Pour tout couple de nombres, $a \star b = 2a - b$ . Sachant que $k \star 3 = 11$ , que vaut $k$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

k \star 3 = 2k - 3

On remplace : l'opération disparaît.

\begin{aligned}2k - 3 &= 11 \;\Rightarrow\; 2k \\ &= 14\end{aligned}

k = 7

$7$ . Remplacer prend une ligne ; essayer les quatre propositions en prend quatre.

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Exercice 2

Pour tout $x$ , $\odot x = x^2 - x$ . Quelles sont toutes les valeurs de $x$ telles que $\odot x = 0$ ?

$-1$ et $1$
$1$ seulement
$0$ seulement
$0$ et $1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $0$ et $1$

Corrigé :

x^2 - x = 0

On remplace.

x(x - 1) = 0

Un produit est nul quand l'un de ses facteurs l'est.

\begin{aligned}x &= 0 \;\text{ ou }\; x \\ &= 1\end{aligned}

$0$ et $1$ . Oublier $0$ est l'erreur classique : la brochure officielle rappelle exprès que $0$ est un nombre comme un autre — pair, ni positif ni négatif.

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Exercice 3

Avec $a \star b = a + 2b$ , sachant que $x \star x = 12$ , que vaut $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}x \star x &= x + 2x \\ &= 3x\end{aligned}

On remplace d'abord.

\begin{aligned}3x &= 12 \;\Rightarrow\; x \\ &= 4\end{aligned}

$4$ .

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Exercice 4

Pour $x > 0$ , $\boxdot x = \dfrac{x}{x + 1}$ . Sachant que $\boxdot a = \dfrac{1}{3}$ , que vaut $a$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

\frac{a}{a + 1} = \frac{1}{3}

On remplace.

3a = a + 1

Produit en croix.

\begin{aligned}2a &= 1 \;\Rightarrow\; a \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$\dfrac{1}{2}$ , soit $0{,}5$ .

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Exercice 5

Avec $a \diamond b = ab - a$ , sachant que $5 \diamond b = 15$ , que vaut $b$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

5 \diamond b = 5b - 5

Le $-a$ devient $-5$ : c'est le premier argument qui se retranche.

\begin{aligned}5b - 5 &= 15 \;\Rightarrow\; 5b \\ &= 20\end{aligned}

b = 4

$4$ .

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Exercice 6

Pour tout $x$ non nul, $\odot x = \dfrac{4}{x}$ . Sachant que $\odot a = a$ et que $a > 0$ , que vaut $a$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\frac{4}{a} = a

On remplace.

a^2 = 4

On multiplie les deux côtés par $a$ .

\begin{aligned}a &= 2 \;\text{ ou }\; a \\ &= -2\end{aligned}

Deux solutions.

a = 2

L'énoncé impose $a > 0$ : la seconde est écartée.

$2$ . Une équation du second degré a deux solutions ; c'est la condition de l'énoncé qui en élimine une, jamais l'oubli.

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Exercice 7

Avec $a \star b = a + 2b$ , sachant que $x \star (x \star x) = 21$ , que vaut $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x \star (x \star x) = 7x

On simplifie d'abord toute la composition.

\begin{aligned}7x &= 21 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}

L'équation n'apparaît qu'à la fin.

$3$ . Ne mélangez jamais les deux travaux : d'abord toute la composition, ensuite seulement l'équation.

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Exercice 8

Pour tout $x$ , $\odot x = 1 - x$ . Sachant que $\odot(\odot x) = 5$ , que vaut $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

\begin{aligned}\odot(\odot x) &= 1 - (1 - x) \\ &= x\end{aligned}

Deux applications ramènent au départ.

x = 5

L'équation était déjà résolue.

$5$ . Voir le retour avant de développer transforme cette question en une lecture.

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Exercice 9

Avec $a \oplus b = a^2 - b^2$ , sachant que $k \oplus 2 = 0$ et que $k > 0$ , que vaut $k$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

k^2 - 4 = 0

On remplace.

\begin{aligned}k^2 &= 4 \;\Rightarrow\; k \\ &= 2 \;\text{ ou }\; k \\ &= -2\end{aligned}

k = 2

La condition $k > 0$ tranche.

$2$ .

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Exercice 10

Pour tout $x$ , $\odot x = 3x + 1$ . Sachant que $\odot(\odot x) = 22$ , que vaut $x$ ?

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Réponse : D $2$

Corrigé :

\odot(\odot x) = 3(3x + 1) + 1

On compose d'abord, avec les parenthèses.

\begin{aligned}9x + 4 &= 22 \;\Rightarrow\; 9x \\ &= 18\end{aligned}

x = 2

$2$ . Composer avant de résoudre : l'équation obtenue est du premier degré, et elle se règle en deux lignes.

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Exercice 11

Avec $a \star b = a + 2b$ , l'équation $x \star 3 = 3 \star x$ a une seule solution : $x = 3$ .

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Réponse : Vrai

Corrigé :

x \star 3 = x + 6

À gauche.

3 \star x = 3 + 2x

À droite : $x$ est maintenant doublé.

\begin{aligned}x + 6 &= 3 + 2x \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}

Une équation du premier degré : une seule solution.

Vrai. Une équation du premier degré a une seule solution, ici $x = 3$ .

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Exercice 12

Pour tout $x$ , $\odot x = x^2 - 4$ . L'équation $\odot x = 0$ a une seule solution, $x = 2$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\odot x = x^2 - 4

On remplace.

\begin{aligned}x^2 - 4 &= (x - 2)(x + 2) \\ &= 0\end{aligned}

Un produit nul.

\begin{aligned}x &= 2 \;\text{ou}\; x \\ &= -2\end{aligned}

Faux : $x = -2$ convient aussi. Oublier la racine négative est le piège de cette forme.

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Exercices

La suite se pratique sur elev