Série 2 — douze questions · Nouvelles opérations · Psychométriques

Douze questions au format de l'examen, et un chrono : quatorze minutes pour la série.

Répondez aux douze avant d'ouvrir un corrigé, comme le jour J. Puis corrigez d'un bloc : vos points, votre temps.

\geq 10

Série acquise : passez à la suivante.

8 \text{ ou } 9

Relisez le corrigé de chaque erreur, et nommez le piège.

\leq 7

Revenez au cours avant de continuer.

Un seul réflexe : ne déplacez jamais une parenthèse. Développez les deux groupements séparément, même quand ils vous semblent identiques.

Exercices

Exercice 1

Avec $a \star b = a + 2b$ , que vaut $x \star (x \star x) \;-\; (x \star x) \star x$ ?

$0$
$x$
$2x$
$12x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $2x$

Corrigé :

\begin{aligned}x \star (x \star x) &= x + 2 \cdot 3x \\ &= 7x\end{aligned}

Parenthèse à droite.

\begin{aligned}(x \star x) \star x &= 3x + 2x \\ &= 5x\end{aligned}

Parenthèse à gauche : le $3x$ n'est plus doublé.

7x - 5x = 2x

$2x$ . Répondre $0$ , c'est croire que les parenthèses se déplacent librement. Cette opération n'est pas associative, et c'est tout l'objet de la question.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Pour $a$ et $b$ non nuls, $a \diamond b = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$ . Que vaut $(a \diamond b) - (b \diamond a)$ ?

$2$
$0$
$\dfrac{a^2 - b^2}{ab}$
$\dfrac{a}{b} - \dfrac{b}{a}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $0$

Corrigé :

a \diamond b = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}

La définition.

b \diamond a = \frac{b}{a} + \frac{a}{b}

En échangeant les deux arguments : la même somme, écrite dans l'autre ordre.

0

$0$ , et sans un seul calcul. Cette opération-ci est symétrique — mais il fallait le vérifier sur la définition, pas le supposer.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Avec $a \star b = 2a - b$ , les deux groupements $x \star (x \star x)$ et $(x \star x) \star x$ donnent-ils le même résultat ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}x \star x &= 2x - x \\ &= x\end{aligned}

La parenthèse vaut $x$ , dans les deux cas.

\begin{aligned}x \star (x) &= 2x - x \\ &= x\end{aligned}

Premier groupement.

\begin{aligned}(x) \star x &= 2x - x \\ &= x\end{aligned}

Second groupement — identique.

Vrai, et c'est le piège inverse. Ici la parenthèse vaut $x$ , donc les deux expressions se ramènent à la même. Une opération non associative peut coïncider sur un cas particulier : il faut calculer, jamais conclure d'avance dans un sens ni dans l'autre.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Avec $a \star b = a + 2b$ et $x > 0$ , laquelle des deux expressions $x \star (2x)$ et $(2x) \star x$ est la plus grande, et de combien ?

$x \star (2x)$ , de $x$
elles sont égales
$x \star (2x)$ , de $2x$
$(2x) \star x$ , de $x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $x \star (2x)$ , de $x$

Corrigé :

\begin{aligned}x \star (2x) &= x + 4x \\ &= 5x\end{aligned}

Premier.

\begin{aligned}(2x) \star x &= 2x + 2x \\ &= 4x\end{aligned}

Second.

5x - 4x = x

L'écart, pour $x > 0$ .

$x \star (2x)$ , de $x$ . Doubler le second argument pèse deux fois plus que doubler le premier — c'est exactement ce que dit le $2b$ de la définition.

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Exercice 5

Avec $a \star b = a - b$ , que vaut $x \star (y \star z) \;-\; (x \star y) \star z$ ?

$2z$
$-2z$
$2y$
$0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $2z$

Corrigé :

\begin{aligned}x \star (y \star z) &= x - (y - z) \\ &= x - y + z\end{aligned}

Le signe moins change le signe de tout ce qui suit.

\begin{aligned}(x \star y) \star z &= (x - y) - z \\ &= x - y - z\end{aligned}

(x - y + z) - (x - y - z) = 2z

$2z$ . La soustraction ordinaire n'est déjà pas associative : cette question ne fait que le rappeler avec un symbole neuf.

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Exercice 6

Une opération vérifie $a \otimes b = ab$ . L'égalité $a \otimes (b \otimes c) = (a \otimes b) \otimes c$ est-elle vraie pour tous $a$ , $b$ , $c$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}a \otimes (b \otimes c) &= a(bc) \\ &= abc\end{aligned}

Membre de gauche.

\begin{aligned}(a \otimes b) \otimes c &= (ab)c \\ &= abc\end{aligned}

Membre de droite.

Vrai. Ne concluez jamais « c'est une opération inventée, donc rien ne marche » : celle-ci est la multiplication déguisée, et elle est associative. Vérifiez, ne devinez pas — dans les deux sens.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

Avec $a \star b = a + 2b$ , que vaut $(x \star x) \star (x \star x)$ ?

$9x$
$12x$
$7x$
$6x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $9x$

Corrigé :

x \star x = 3x

Les deux parenthèses valent la même chose.

(3x) \star (3x) = 3x + 2 \cdot 3x

On remplace les deux d'un coup.

3x + 6x = 9x

$9x$ . Les deux parenthèses sont identiques, mais leurs places ne le sont pas : celle de droite est doublée, celle de gauche non.

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Exercice 8

Avec $a \star b = a + 2b$ , que vaut $((1 \star 1) \star 1) \star 1$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

1 \star 1 = 3

La plus intérieure.

3 \star 1 = 5

Puis la suivante.

5 \star 1 = 7

$7$ . Trois applications, une couche à la fois, toujours de l'intérieur vers l'extérieur.

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Exercice 9

Avec $a \star b = a^2 + b$ , que vaut $x \star (x \star x)$ ?

$x^2 + x$
$x^4 + x^2$
$2x^2 + x$
$x^4 + x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $2x^2 + x$

Corrigé :

x \star x = x^2 + x

La parenthèse.

x \star (x^2 + x) = x^2 + (x^2 + x)

Seul le premier argument est élevé au carré ; le second est recopié tel quel.

2x^2 + x

$2x^2 + x$ . La proposition $x^4 + x$ vient d'avoir élevé au carré le mauvais argument.

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Exercice 10

Avec $a \star b = a + 2b$ , à laquelle de ces expressions $x \star (x \star x)$ est-il égal ?

$(2x) \star (3x)$
$(3x) \star (2x)$
$(2x) \star x$
$x \star (2x)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(3x) \star (2x)$

Corrigé :

x \star (x \star x) = 7x

La valeur cherchée.

\begin{aligned}(3x) \star (2x) &= 3x + 2 \cdot 2x \\ &= 7x\end{aligned}

La seule des quatre qui l'atteint.

\begin{aligned}(2x) \star (3x) &= 2x + 6x \\ &= 8x\end{aligned}

Les mêmes nombres, échangés, ne donnent pas la même chose.

$(3x) \star (2x)$ . Quand les propositions contiennent encore le symbole inventé, il faut les développer une par une : aucun raccourci numérique n'est possible.

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Exercice 11

Avec $a \star b = 2a + b$ , que vaut $(1 \star 2) \star 3 \;-\; 1 \star (2 \star 3)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\begin{aligned}1 \star 2 &= 2 + 2 \\ &= 4 \\ \quad 4 \star 3 &= 8 + 3 \\ &= 11\end{aligned}

Premier groupement.

\begin{aligned}2 \star 3 &= 4 + 3 \\ &= 7 \\ \quad 1 \star 7 &= 2 + 7 \\ &= 9\end{aligned}

Second groupement.

11 - 9 = 2

$2$ . Croire qu'on peut déplacer la parenthèse donne $0$ .

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Exercice 12

Avec $a \star b = a + b + ab$ , l'égalité $a \star (b \star c) = (a \star b) \star c$ est vraie pour tous $a$ , $b$ , $c$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

a \star b = (1 + a)(1 + b) - 1

On réécrit la définition : c'est un produit déguisé.

a \star (b \star c) = (1 + a)(1 + b)(1 + c) - 1

Le premier groupement.

(a \star b) \star c = (1 + a)(1 + b)(1 + c) - 1

Le second : le même produit.

Vrai. Cette opération est associative — c'est rare, et cela se prouve en développant ; un essai ne suffirait pas.

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Exercices

La suite se pratique sur elev