Série 1 — douze questions

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Douze questions au format de l'examen, et un chrono : quatorze minutes pour la série.

Répondez aux douze avant d'ouvrir un corrigé, comme le jour J. Puis corrigez d'un bloc : vos points, votre temps.

≥10\geq 10

Série acquise : passez à la suivante.

8 ou 98 \text{ ou } 9

Relisez le corrigé de chaque erreur, et nommez le piège.

≤7\leq 7

Revenez au cours avant de continuer.

Un seul réflexe dans cette série : recopier la définition en haut de votre brouillon, et remplacer avant de calculer quoi que ce soit.

Exercices

Exercice 1

Pour tous nombres aa et bb, on définit a⋆b=a+2ba \star b = a + 2b. Que vaut x⋆(x⋆x)x \star (x \star x) ?

  1. 3x3x
  2. 7x7x
  3. 5x5x
  4. 9x9x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 7x7x

Corrigé :

x⋆x=x+2x=3x\begin{aligned}x \star x &= x + 2x \\ &= 3x\end{aligned}

La parenthèse intérieure d'abord.

x⋆3x=x+2⋅3xx \star 3x = x + 2 \cdot 3x

Le 3x3x prend la place de bb : il est donc doublé.

7x7x

7x7x. La proposition 5x5x est le résultat de l'autre groupement — elle attend ceux qui déplacent la parenthèse.

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Exercice 2

Avec a⋆b=3a−ba \star b = 3a - b, que vaut (x⋆x)⋆x(x \star x) \star x ?

  1. 5x5x
  2. 6x6x
  3. 2x2x
  4. 8x8x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 5x5x

Corrigé :

x⋆x=3x−x=2x\begin{aligned}x \star x &= 3x - x \\ &= 2x\end{aligned}

La parenthèse.

(2x)⋆x=3⋅2x−x(2x) \star x = 3 \cdot 2x - x

Le 2x2x prend la place de aa : c'est lui qui est triplé.

6x−x=5x6x - x = 5x

5x5x.

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Exercice 3

Pour tout xx, ⊙x=x+1\odot x = x + 1. Que vaut ⊙(⊙(⊙x))\odot(\odot(\odot x)) ?

  1. x+3x + 3
  2. x3+1x^3 + 1
  3. 3x+33x + 3
  4. x+1x + 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x+3x + 3

Corrigé :

⊙x=x+1\odot x = x + 1

Une application ajoute 11.

⊙(⊙x)=(x+1)+1=x+2\begin{aligned}\odot(\odot x) &= (x + 1) + 1 \\ &= x + 2\end{aligned}

Deux applications ajoutent 22.

x+3x + 3

Trois applications ajoutent 33.

x+3x + 3. Composer, ce n'est pas multiplier : 3x+33x + 3 est ce qu'on obtient en croyant que l'opération se distribue.

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Exercice 4

Pour tout xx, ⊙x=2x−1\odot x = 2x - 1. Que vaut ⊙(⊙x)\odot(\odot x) ?

  1. 4x−34x - 3
  2. 4x−14x - 1
  3. 2x−22x - 2
  4. 4x−24x - 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 4x−34x - 3

Corrigé :

⊙x=2x−1\odot x = 2x - 1

Le résultat de la première application.

⊙(2x−1)=2(2x−1)−1\odot(2x - 1) = 2(2x - 1) - 1

On le remet à l'entrée. Les parenthèses sont indispensables.

4x−2−1=4x−34x - 2 - 1 = 4x - 3

4x−34x - 3. La proposition 4x−14x - 1 vient d'un oubli de parenthèses : 2⋅2x−1−12 \cdot 2x - 1 - 1 n'est pas ce que la définition demande.

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Exercice 5

Avec a⋄b=ab−aa \diamond b = ab - a, que vaut x⋄(x⋄x)x \diamond (x \diamond x) ?

  1. x3−xx^3 - x
  2. x2−2xx^2 - 2x
  3. x3−x2−xx^3 - x^2 - x
  4. x3−x2x^3 - x^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x3−x2−xx^3 - x^2 - x

Corrigé :

x⋄x=x⋅x−x=x2−x\begin{aligned}x \diamond x &= x \cdot x - x \\ &= x^2 - x\end{aligned}

La parenthèse.

x⋄(x2−x)=x(x2−x)−xx \diamond (x^2 - x) = x(x^2 - x) - x

Le premier argument reste xx ; le second est tout le x2−xx^2 - x.

x3−x2−xx^3 - x^2 - x

x3−x2−xx^3 - x^2 - x. Le −x-x final vient du −a-a de la définition, avec a=xa = x : il ne dépend pas du second argument.

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Exercice 6

Pour tout xx non nul, ⊙x=2x\odot x = \dfrac{2}{x}. Que vaut ⊙(⊙x)\odot(\odot x) ?

  1. 2x2\dfrac{2}{x^2}
  2. 4x\dfrac{4}{x}
  3. xx
  4. x2\dfrac{x}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C xx

Corrigé :

⊙x=2x\odot x = \frac{2}{x}

La première application.

⊙(2x)=2 2/x \odot\left(\frac{2}{x}\right) = \frac{2}{\,2/x\,}

On remet ce résultat à l'entrée.

=2⋅x2=x= 2 \cdot \frac{x}{2} = x

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.

xx. Cette opération revient sur ses pas : deux applications ramènent au départ. Reconnaître ce retour vaut trente secondes à chaque fois qu'il tombe.

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Exercice 7

Avec a⋆b=a+2ba \star b = a + 2b, que vaut x⋆(y⋆x)x \star (y \star x) ?

  1. 5x+2y5x + 2y
  2. 2x+5y2x + 5y
  3. x+2yx + 2y
  4. 3x+2y3x + 2y
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 5x+2y5x + 2y

Corrigé :

y⋆x=y+2xy \star x = y + 2x

La parenthèse, avec deux lettres différentes.

x⋆(y+2x)=x+2(y+2x)x \star (y + 2x) = x + 2(y + 2x)

Tout le contenu de la parenthèse prend la place de bb.

x+2y+4x=5x+2yx + 2y + 4x = 5x + 2y

5x+2y5x + 2y. Deux lettres ne changent rien à la méthode — mais elles interdisent de vérifier « au feeling » : il faut développer.

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Exercice 8

Pour tout xx, ⊙x=x2\odot x = \dfrac{x}{2}. Que vaut ⊙(⊙(⊙x))\odot(\odot(\odot x)) ?

  1. x8\dfrac{x}{8}
  2. x6\dfrac{x}{6}
  3. x2\dfrac{x}{2}
  4. 3x2\dfrac{3x}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x8\dfrac{x}{8}

Corrigé :

⊙x=x2\odot x = \frac{x}{2}
⊙(⊙x)=x4\odot(\odot x) = \frac{x}{4}

On divise encore par deux.

x8\frac{x}{8}

Et une troisième fois.

x8\dfrac{x}{8}. La proposition x6\dfrac{x}{6} additionne les diviseurs (2+2+22+2+2) au lieu de les multiplier — c'est le réflexe faux le plus fréquent sur cette question.

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Exercice 9

Avec a⋆b=a+2ba \star b = a + 2b, que vaut 3⋆(1⋆2)3 \star (1 \star 2) ?

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Réponse : 13

Corrigé :

1⋆2=1+4=5\begin{aligned}1 \star 2 &= 1 + 4 \\ &= 5\end{aligned}

La parenthèse d'abord, toujours.

3⋆5=3+10=13\begin{aligned}3 \star 5 &= 3 + 10 \\ &= 13\end{aligned}

1313.

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Exercice 10

Pour tout xx, ⊙x=x2−1\odot x = x^2 - 1. Que vaut ⊙(⊙2)\odot(\odot 2) ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

⊙2=22−1=3\begin{aligned}\odot 2 &= 2^2 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

L'intérieur.

⊙3=32−1=8\begin{aligned}\odot 3 &= 3^2 - 1 \\ &= 8\end{aligned}

88. Avec des nombres, la composition se calcule de l'intérieur vers l'extérieur, exactement comme avec des lettres.

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Exercice 11

Pour tout xx, ⊙x=2x−1\odot x = 2x - 1. L'égalité ⊙(⊙(⊙x))=8x−7\odot(\odot(\odot x)) = 8x - 7 est vraie pour tout xx.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

⊙x=2x−1\odot x = 2x - 1

Une application.

⊙(⊙x)=2(2x−1)−1=4x−3\begin{aligned}\odot(\odot x) &= 2(2x - 1) - 1 \\ &= 4x - 3\end{aligned}

Deux : on remet 2x−12x - 1 à l'entrée.

⊙(4x−3)=2(4x−3)−1=8x−7\begin{aligned}\odot(4x - 3) &= 2(4x - 3) - 1 \\ &= 8x - 7\end{aligned}

Trois.

Vrai. Chaque application double le coefficient de xx : 22, 44, 88. Le terme constant suit : −1-1, −3-3, −7-7.

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Exercice 12

Pour tout xx, ⊙x=2x−1\odot x = 2x - 1. On a ⊙(⊙3)=25\odot(\odot 3) = 25.

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Réponse : Faux

Corrigé :

⊙3=6−1=5\begin{aligned}\odot 3 &= 6 - 1 \\ &= 5\end{aligned}

L'intérieur.

⊙5=10−1=9\begin{aligned}\odot 5 &= 10 - 1 \\ &= 9\end{aligned}

On remet 55 à l'entrée.

9≠259 \neq 25

Le résultat n'est pas celui de l'énoncé.

Faux : ⊙(⊙3)=9\odot(\odot 3) = 9. Le 25=5225 = 5^2 élève au carré au lieu de composer.

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