Les opérations inventées · Nouvelles opérations · Psychométriques

Sur les vingt fascicules dépouillés pour ce chapitre, seize sessions sur dix-neuf portent une question d'opération inventée.

Une par session, presque jamais aucune : aussi régulière que les probabilités.

Elle se reconnaît à sa première ligne : « Pour tout nombre $x$ … », « Pour tout couple de nombres $a$ et $b$ , on définit l'opération … ».

Suit un symbole jamais vu — une étoile, un rond, un carré, des crochets — et une égalité qui dit ce qu'il fait.

Et c'est tout. Rien à savoir, rien à réviser, aucune formule à retenir.

Cette question ne teste qu'une chose : savez-vous remplacer ?

La seule idée du chapitre

Une opération inventée n'est pas une opération. C'est une consigne de remplacement. La ligne

a \star b = a + 2b

dit : partout où tu vois $a \star b$ , écris $a + 2b$ à la place.

Le symbole $\star$ est une étiquette collée sur une expression, rien de plus.

Tout le chapitre tient en trois gestes.

1

Repérer les places. Dans la définition, $a$ et $b$ marquent deux emplacements. Lequel est le premier, lequel est le second ?

2

Remplacer, littéralement. On recopie l'expression de droite, les vrais arguments à leur place — avec leurs parenthèses.

3

Calculer, une fois seulement. Pas avant d'avoir remplacé : les trois quarts des erreurs viennent d'un calcul entamé trop tôt.

Avec la même définition $a \star b = a + 2b$ , combien vaut $3 \star 5$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$13$ . Et non $11$ : $3 + 2 \cdot 5 = 3 + 10$ . L'ordre des deux arguments compte, parce que la définition ne les traite pas pareil — l'un est doublé, l'autre non. C'est la toute première chose que l'examen vérifie, et la première erreur qu'il attrape.

Retenez : $a \star b$ et $b \star a$ n'ont aucune raison d'être égaux.

Une opération inventée n'est presque jamais commutative, et presque jamais associative.

Forme 1 — la composition emboîtée

La forme la plus fréquente, et celle qui sépare les copies.

On ne demande plus $5 \star 3$ , mais $x \star (x \star x)$ : l'opération se sert d'elle-même comme argument.

Le principe des parenthèses de toujours : on commence par la plus intérieure. Faites tourner la machine : à chaque clic, un seul remplacement.

Avec $a \star b = a + 2b$ , que vaut $x \star (x \star 0)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$3x$ . L'intérieur d'abord : $x \star 0 = x + 0 = x$ . Puis $x \star x = x + 2x = 3x$ . Un zéro dans un argument ne fait pas disparaître l'opération — il simplifie seulement ce qu'elle rend.

Forme 2 — les parenthèses ne se déplacent pas

Voici l'erreur la plus chère de toute la famille.

Mêmes trois $x$ , même opération : seule la place des parenthèses change.

Ce que l'examen attend de vous, très précisément :

x \star (x \star x) = (x \star x) \star x

x \star (x \star x) \neq (x \star x) \star x

Faux. $7x$ d'un côté, $5x$ de l'autre. L'addition et la multiplication vous ont habitué à déplacer les parenthèses sans y penser ; ici ce réflexe coûte la question.

a \star b = b \star a

a \star b \neq b \star a

Faux aussi. Vérifiez toujours sur deux nombres avant de supposer une symétrie : $5 \star 3 = 11$ mais $3 \star 5 = 13$ .

Une opération $\triangle$ vérifie $a \triangle b = ab - a$ . Que valent $2 \triangle 3$ et $3 \triangle 2$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$4$ et $3$ . $2 \cdot 3 - 2 = 4$ , et $3 \cdot 2 - 3 = 3$ . Deux nombres suffisent à prouver qu'une opération n'est pas commutative — et c'est bien plus rapide que de raisonner sur les lettres.

Forme 3 — l'équation qui contient l'opération

Deuxième forme la plus fréquente.

L'énoncé donne la définition, puis une égalité où l'opération apparaît, et demande l'inconnue.

Rien de neuf : on remplace, et il reste une équation ordinaire.

Ne cherchez pas l'inconnue en essayant les quatre propositions une à une. Remplacer prend une ligne ; essayer en prend quatre.

Avec $\odot x = x^2 - x$ , quelles sont les valeurs de $x$ telles que $\odot x = 0$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$0$ et $1$ . $x^2 - x = x(x-1)$ , un produit nul. Piège classique : beaucoup ne donnent que $1$ et oublient $0$ — or $0$ est une valeur comme une autre, et la brochure officielle rappelle exprès qu'il est pair et qu'il n'est ni positif ni négatif.

Forme 4 — « laquelle est nécessairement correcte ? »

Ici, on ne calcule pas un résultat.

On propose quatre égalités, et on demande laquelle tient toujours. Une égalité fausse se casse d'un seul contre-exemple.

Pour démolir une égalité : un contre-exemple, avec les nombres les plus simples — $0$ , $1$ , $2$ .

Pour la prouver, il faut développer les deux membres : pas de raccourci. Essayez donc d'abord de la démolir — trois fois sur quatre, ça marche.

Avec $a \diamond b = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$ , que vaut $(a \diamond b) - (b \diamond a)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$0$ , et sans le moindre calcul. En échangeant $a$ et $b$ , on obtient la même somme écrite dans l'autre ordre : cette opération-là est symétrique. Le regard vaut mieux que la plume — mais il fallait le vérifier, pas le supposer.

Forme 5 — quand les réponses contiennent l'opération

Variante redoutable : les quatre propositions utilisent encore le symbole inventé.

Un calcul numérique ne suffit plus. Il faut aller au bout de l'algèbre, puis retraduire.

Développer, puis relire la définition à l'envers

Avec $a \oplus b = a^2 - b^2$ , à quoi est égal $(2a) \oplus b \;+\; a \oplus (2b)$ ?

(2a) \oplus b = 4a^2 - b^2

Premier terme.

a \oplus (2b) = a^2 - 4b^2

Second terme.

5a^2 - 5b^2

La somme des deux.

5(a^2 - b^2) = 5 \cdot (a \oplus b)

Dernier geste, celui qu'on oublie : on relit la définition dans l'autre sens pour reconnaître $a \oplus b$ dans le résultat.

Avec la même $a \oplus b = a^2 - b^2$ , que vaut $(a \oplus b) + (b \oplus a)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$0$ . $(a^2 - b^2) + (b^2 - a^2) = 0$ . Échanger les arguments change le signe : cette opération-là est antisymétrique.

Forme 6 — l'opération qui revient sur ses pas

Certaines opérations, appliquées plusieurs fois, ramènent au point de départ.

Quand l'énoncé en empile quatre, celui qui a vu le retour répond en trois secondes. Celui qui développe met une minute, et se trompe de signe.

Avec $\odot x = 1 - x$ , que vaut $\odot(\odot(\odot(\odot x)))$ — quatre fois ?

Voir la réponse et le corrigé

$x$ . Un nombre pair d'applications ramène au départ, un nombre impair équivaut à une seule. Comptez les applications, ne les calculez pas.

Le retour ne vient pas toujours après deux applications. Parfois il en faut trois : on applique jusqu'au retour, puis on compte.

Activité interactive

Jusqu'au retour, puis compter

Pour $x$ différent de $0$ et de $1$ : que donnent sept applications de $\odot$ à $x$ ?

\odot x = \dfrac{1}{1 - x}

Non : on remplace $x$ par $\dfrac{1}{1-x}$ dans la définition, puis on simplifie $1 - \dfrac{1}{1-x} = \dfrac{-x}{1-x}$ .

Composer n'est pas élever au carré : on remet le résultat à l'entrée.

Simplifiez : $1 - \dfrac{x-1}{x} = \dfrac{1}{x}$ , et l'inverse de $\dfrac{1}{x}$ est $x$ .

$\dfrac{1}{x}$ n'est que le dénominateur. L'opération rend son inverse.

$x$ revient après $3$ , $6$ , $9$ … applications. Or $7 = 6 + 1$ : il en reste une.

C'est le résultat de deux applications. $7 = 2 \times 3 + 1$ : il en reste une.

Faire l'activité sur elev

Avant de développer une pile d'applications, appliquez l'opération deux ou trois fois sur $x$ . Dès que vous retombez sur $x$ , il ne reste qu'à compter.

Forme 7 — l'opération qui regarde l'écriture, pas la valeur

La plus déroutante, et elle tombe régulièrement.

Le symbole ne fait aucun calcul : il lit le nombre comme une suite de chiffres. Vous cherchez une addition ; il n'y en a pas.

12 \sim 87 = 1287

Coller les chiffres. L'opération écrit les chiffres du premier, puis ceux du second. Rien n'est additionné.

\#(1050) = 2

Compter les zéros du nombre écrit. Ici deux.

[6{,}7] = 6

La partie entière : le plus grand entier inférieur ou égal. Et $[-6{,}7] = -7$ , pas $-6$ .

Le réflexe qui sauve : écrivez le nombre, puis faites ce que la phrase dit, littéralement.

Si $\#n$ compte les zéros de l'écriture de $n$ , que vaut $\#(10 \times 100)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$3$ . On calcule d'abord le produit, $1000$ , puis on compte ses zéros : trois. Compter sur $10$ et sur $100$ donnerait $3$ aussi — par hasard, comme le montre $50 \times 2$ .

Le cas des fractions

Quand la définition est une fraction, la composition demande une fraction de fractions.

C'est le seul endroit du chapitre où le calcul est un peu long — et où une réponse fausse attend, très précise.

La faute que cette question existe pour attraper :

\boxdot(\boxdot x) = \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2

\boxdot(\boxdot x) = \dfrac{x}{2x+1}

Composer n'est pas élever au carré. Appliquer deux fois une opération, ce n'est pas multiplier son résultat par lui-même : c'est le remettre à l'entrée.

Sur la feuille, le jour J

Une opération inventée se règle en moins d'une minute, méthode installée.

Le chemin, dans l'ordre, sans en sauter un :

1

Recopier la définition en haut de votre brouillon. Elle servira deux ou trois fois.

2

Repérer la parenthèse la plus intérieure, et elle seule.

3

Remplacer — sans calculer. Écrire les parenthèses autour de chaque argument.

4

Recommencer vers l'extérieur, une couche à la fois.

5

Comparer au format des réponses : nombre, expression, ou expression contenant encore le symbole.

Si l'opération vous paraît étrange, c'est voulu : elle vient d'être inventée pour vous, et n'existera plus à la question suivante. Ne lui cherchez pas de sens : appliquez-la.

Exercices

Exercice 1

Pour tous nombres $a$ et $b$ , on définit $a \star b = a + 2b$ . Que vaut $(x \star x) \star x$ ?

$9x$
$7x$
$5x$
$3x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $5x$

Corrigé :

\begin{aligned}x \star x &= x + 2x \\ &= 3x\end{aligned}

La parenthèse d'abord.

(3x) \star x = 3x + 2x

Le $3x$ prend la place de $a$ , donc il n'est pas doublé.

5x

$5x$ . La proposition $7x$ est le résultat de l'autre groupement, $x \star (x \star x)$ : elle est là exprès.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Pour tout couple de nombres, $a \odot b = 2a - b$ . Sachant que $k \odot 4 = 10$ , que vaut $k$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

k \odot 4 = 2k - 4

On remplace.

\begin{aligned}2k - 4 &= 10 \;\Rightarrow\; 2k \\ &= 14\end{aligned}

L'opération a disparu.

k = 7

$7$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Pour tout $x$ , on définit $\odot x = 1 - x$ . Que vaut $\odot(\odot(\odot x))$ ?

$1 - x$
$x$
$3 - 3x$
$x - 1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $1 - x$

Corrigé :

\begin{aligned}\odot(\odot x) &= 1 - (1 - x) \\ &= x\end{aligned}

Deux applications ramènent au départ.

\begin{aligned}\odot(\odot(\odot x)) &= \odot x \\ &= 1 - x\end{aligned}

Trois applications valent donc une seule.

$1 - x$ . La proposition $3 - 3x$ est ce qu'on obtient en croyant que l'opération se distribue trois fois.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Avec $a \star b = a + 2b$ , l'égalité $a \star b = b \star a$ est-elle vraie pour tous $a$ et $b$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}1 \star 2 &= 1 + 4 \\ &= 5\end{aligned}

Un premier calcul.

\begin{aligned}2 \star 1 &= 2 + 2 \\ &= 4\end{aligned}

Et l'autre ordre.

5 \neq 4

Un contre-exemple suffit.

Faux. Cette opération n'est pas commutative — presque aucune opération inventée ne l'est.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Pour tout $x$ non nul, $\odot x = \dfrac{2}{x}$ . Que vaut $\odot x \cdot \odot(x^3)$ ?

$\dfrac{2}{x^4}$
$\dfrac{4}{x^3}$
$\dfrac{4}{x^4}$
$\dfrac{4}{x^6}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\dfrac{4}{x^4}$

Corrigé :

\begin{aligned}\odot x &= \frac{2}{x} \\ \quad \odot(x^3) &= \frac{2}{x^3}\end{aligned}

Deux remplacements séparés.

\frac{2}{x} \cdot \frac{2}{x^3} = \frac{4}{x^4}

Les numérateurs se multiplient aussi.

$\dfrac{4}{x^4}$ . La proposition $\dfrac{2}{x^4}$ oublie de multiplier les deux $2$ ; $\dfrac{4}{x^6}$ multiplie les exposants au lieu de les additionner.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Pour tout entier $n$ , $\#n$ désigne le nombre de zéros dans l'écriture de $n$ . Que vaut $\#(\#(1000) \times 500)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $2$

Corrigé :

\#(1000) = 3

Trois zéros dans $1000$ .

3 \times 500 = 1500

On calcule le produit avant de compter quoi que ce soit.

\#(1500) = 2

$2$ . Choisir $3$ , c'est avoir compté les zéros de $1000$ et s'être arrêté là : l'opération s'applique au résultat du produit, pas à l'étape qui le précède.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

Pour tous nombres $a$ et $b$ , $a \star b = 3a - b$ . Que vaut $2 \star (1 \star 1)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}1 \star 1 &= 3 - 1 \\ &= 2\end{aligned}

La parenthèse d'abord.

\begin{aligned}2 \star 2 &= 6 - 2 \\ &= 4\end{aligned}

Puis l'extérieur, avec la même définition.

$4$ . Le piège : calculer $2 \star 1$ d'abord. La parenthèse est à droite — elle passe avant.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

Une opération vérifie $a \triangle b = ab - a$ . À quoi est égal $(a \triangle b) - (b \triangle a)$ ?

$0$
$a - b$
$2ab - a - b$
$b - a$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $b - a$

Corrigé :

a \triangle b = ab - a

Premier remplacement.

b \triangle a = ba - b

Les places s'échangent : c'est $b$ qu'on retranche.

(ab - a) - (ab - b) = b - a

Les produits s'annulent.

$b - a$ . La proposition $0$ suppose l'opération commutative ; $a - b$ se trompe d'ordre en soustrayant.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

Avec $a \odot b = 2a - b$ , le nombre $k = 3$ vérifie l'équation $k \odot 3 = 3 \odot k$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

k \odot 3 = 2k - 3

On remplace à gauche.

3 \odot k = 6 - k

Puis à droite : les places ont changé.

\begin{aligned}2k - 3 &= 6 - k \;\Rightarrow\; 3k \\ &= 9 \;\Rightarrow\; k \\ &= 3\end{aligned}

Une équation ordinaire.

Vrai. Les deux membres valent $3$ quand $k = 3$ . Remplacer chaque membre à sa façon : l'opération n'est pas symétrique.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

On définit $a \circ b = 2ab$ . L'égalité $a \circ (b + c) = a \circ b + a \circ c$ est vraie pour tous $a$ , $b$ , $c$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}a \circ (b + c) &= 2a(b + c) \\ &= 2ab + 2ac\end{aligned}

Membre de gauche : $b + c$ prend la place de $b$ , avec ses parenthèses.

a \circ b + a \circ c = 2ab + 2ac

Membre de droite.

2ab + 2ac = 2ab + 2ac

Les deux développements coïncident.

Vrai. Aucun contre-exemple ne peut exister : on l'a prouvé en développant. Essayer deux nombres n'aurait rien prouvé.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

Avec $a \oplus b = a^2 - b^2$ , à quoi est égal $(3a) \oplus (3b)$ ?

$(a \oplus b)^2$
$6 \cdot (a \oplus b)$
$9 \cdot (a \oplus b)$
$3 \cdot (a \oplus b)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $9 \cdot (a \oplus b)$

Corrigé :

(3a) \oplus (3b) = (3a)^2 - (3b)^2

On remplace, avec les parenthèses.

9a^2 - 9b^2 = 9(a^2 - b^2)

On factorise.

9(a^2 - b^2) = 9 \cdot (a \oplus b)

Et on relit la définition à l'envers.

$9 \cdot (a \oplus b)$ . La proposition $3 \cdot (a \oplus b)$ oublie que le $3$ est élevé au carré avec la lettre.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

Pour tout $x$ non nul, $\odot x = \dfrac{1}{x}$ . Que vaut $\odot(\odot(\odot(\odot(\odot x))))$ , soit cinq applications ?

$x$
$\dfrac{1}{x^5}$
$x^5$
$\dfrac{1}{x}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{1}{x}$

Corrigé :

\begin{aligned}\odot(\odot x) &= \dfrac{1}{1/x} \\ &= x\end{aligned}

Deux applications ramènent au départ.

5 = 2 \times 2 + 1

Deux allers-retours, puis une application de plus.

\odot x = \dfrac{1}{x}

$\dfrac{1}{x}$ . Un nombre impair d'applications vaut une seule. $\dfrac{1}{x^5}$ multiplie au lieu de composer.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

Pour tout entier $n$ , $\#n$ désigne le nombre de zéros dans l'écriture de $n$ . Que vaut $\#(25 \times 40) - \#(40)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

25 \times 40 = 1000

Le produit d'abord.

\begin{aligned}\#(1000) &= 3 \\ \quad \#(40) &= 1\end{aligned}

On compte les zéros de chaque nombre écrit.

3 - 1 = 2

$2$ . Compter les zéros de $25$ et de $40$ avant de multiplier donne $1$ : c'est le piège. Le produit en a trois.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

Pour $x > 0$ , $\boxdot x = \dfrac{x}{x + 1}$ . Que vaut $\boxdot(\boxdot(\boxdot 1))$ ? Donnez la réponse en nombre décimal.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

\boxdot 1 = \dfrac{1}{2}

L'intérieur.

\begin{aligned}\boxdot\tfrac12 &= \dfrac{1/2}{3/2} \\ &= \dfrac{1}{3}\end{aligned}

On remet le résultat à l'entrée.

\begin{aligned}\boxdot\tfrac13 &= \dfrac{1/3}{4/3} \\ &= \dfrac{1}{4} \\ &= 0{,}25\end{aligned}

Une troisième fois.

$0{,}25$ . La suite $\tfrac12, \tfrac13, \tfrac14$ se voit vite. Le piège, $\left(\tfrac12\right)^3 = 0{,}125$ , confond composer et élever à une puissance.

Vérifier la réponse sur elev

La seule idée du chapitre

Forme 1 — la composition emboîtée

Forme 2 — les parenthèses ne se déplacent pas

Forme 3 — l'équation qui contient l'opération

Forme 4 — « laquelle est nécessairement correcte ? »

Forme 5 — quand les réponses contiennent l'opération

Forme 6 — l'opération qui revient sur ses pas

Forme 7 — l'opération qui regarde l'écriture, pas la valeur

Le cas des fractions

Sur la feuille, le jour J

Exercices

La suite se pratique sur elev