Sans calculatrice : l’ordre de grandeur · Le formulaire et les règles du jeu · Psychométriques

Vingt questions en vingt minutes : une minute par question, lecture comprise.

La difficulté n’est pas mathématique, elle est chronométrique. Les notions sont celles du collège ; c’est la vitesse qui trie.

Une question sur trois se règle sans faire le calcul. Les quatre réponses sont données : il suffit souvent d’éliminer les impossibles.

Trois techniques d’élimination

1

L’ordre de grandeur. 47 % de 812, c’est « un peu moins que la moitié de 800 ». Si une seule réponse est proche de 400, c’est fini.

2

Le dernier chiffre. $37 \times 24$ finit forcément par 8. Deux réponses sur quatre tombent souvent là-dessus.

3

Le signe et la parité. Un produit de deux négatifs est positif ; une somme d’impairs en nombre pair est paire.

Activité interactive

Estimer avant de calculer

L’arrondi d’abord, la droite ensuite : une seule option est proche.

47\% \text{ de } 812 \approx \ ?

\tfrac{47 \times 812}{100}

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C’est le calcul exact : trop long pour une estimation.

\tfrac{1}{2} \times 800 = 400

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47 % est un peu moins que la moitié.

50\% \text{ de } 1\,000 = 500

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Arrondir 812 à 1 000, c’est trop loin : l’estimation dérape de 20 %.

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47 % de 812 vaut 381,64. Seule l’option 382 est proche de 400.

19{,}8 \times 51 \approx \ ?

20 \times 50 = 1\,000

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Deux arrondis légers, en sens contraires.

19 \times 51

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Ce n’est pas plus simple : ce produit se pose encore.

20 \times 100 = 2\,000

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Arrondir 51 à 100, c’est doubler le résultat.

Voir la réponse et le corrigé

19,8 × 51 = 1 009,8. Les autres options sont à plus de 400 de l’estimation.

3\,012 \div 49 \approx \ ?

3\,000 \div 100 = 30

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Arrondir 49 à 100, c’est le doubler : le quotient est divisé par deux.

3\,012 \div 49 \text{ posée}

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C’est le calcul exact, pas une estimation.

3\,000 \div 50 = 60

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Deux arrondis légers.

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3 012 ÷ 49 ≈ 61,5. Les trois autres sont loin de 60.

Faire l'activité sur elev

Ne cherchez la réponse exacte que si l’élimination laisse deux candidates. Sur une section entière, cette discipline vaut trois à quatre questions supplémentaires traitées.

La règle des soixante secondes

Une question pas engagée au bout d’une minute : marquez-la et passez.

Toutes les questions valent autant de points. S’acharner sur la plus dure et laisser deux faciles sans réponse, c’est la façon la plus courante de perdre des points.

Sans poser l’opération : $19 \times 21$ vaut-il 399 ou 401 ?

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399. $19 \times 21 = (20-1)(20+1) = 400 - 1$ . L’identité $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ est sur la page des formules, et elle sert bien plus souvent au calcul mental qu’à l’algèbre.

Exercices

Exercice 1

Sans poser l’opération : combien vaut $48 \times 52$ ?

2596
2500
2496
2400

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Réponse : C 2496

Corrigé :

\begin{aligned}48 \times 52 &= (50-2)(50+2) \\ &= 2500 - 4\end{aligned}

Identité remarquable.

= 2496

Reconnaître deux nombres symétriques autour d’un nombre rond transforme une multiplication posée en une soustraction de tête.

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Exercice 2

Par quel chiffre se termine $63 \times 47$ ?

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Réponse : D 1

Corrigé :

63 \times 47 \Rightarrow 3 \times 7 = 21

Seul le dernier chiffre compte.

Cette technique élimine à elle seule deux réponses sur quatre dans la plupart des questions de multiplication.

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Exercice 3

38 % de 1 240 vaut approximativement :

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Réponse : C 470

Corrigé :

40\% \text{ de } 1240 = 496

On arrondit le pourcentage, pas le nombre.

\approx 470

38 % est un peu moins.

Les quatre réponses sont assez écartées pour que l’approximation suffise : c’est justement le signe qu’il ne faut pas calculer exactement.

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Exercice 4

$a$ et $b$ sont deux nombres négatifs. Que peut-on dire de $a \times b - a$ ?

Cela dépend des valeurs
C’est toujours nul
C’est toujours positif
C’est toujours négatif

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Réponse : C C’est toujours positif

Corrigé :

a \times b > 0

Le produit de deux négatifs est positif.

-a > 0

L’opposé d’un négatif est positif.

Somme de deux quantités positives : le résultat l’est aussi, quelles que soient les valeurs. Aucun calcul n’est nécessaire.

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Exercice 5

La somme de quatre nombres impairs consécutifs est :

toujours divisible par 4 seulement si le premier est positif
parfois paire, parfois impaire
toujours paire
toujours impaire

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Réponse : C toujours paire

Corrigé :

\text{impair} + \text{impair} = \text{pair}

Deux paires d’impairs.

\text{pair} + \text{pair} = \text{pair}

Un exemple suffisait à éliminer trois réponses : $1+3+5+7 = 16$ . Tester un cas est souvent plus rapide que raisonner.

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Exercice 6

Un article coûte 240 ₪. Son prix baisse de 25 %, puis remonte de 20 %. Quel est le prix final ?

216 ₪
228 ₪
240 ₪
210 ₪

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Réponse : A 216 ₪

Corrigé :

240 \times 0{,}75 = 180

Une baisse de 25 %, c’est multiplier par 0,75.

180 \times 1{,}2 = 216

Une hausse de 20 %, c’est multiplier par 1,2.

Le distracteur 240 ₪ attend celui qui croit qu’une baisse suivie d’une hausse « s’annule ». Les pourcentages ne s’additionnent jamais : ils se multiplient.

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Exercice 7

Sans poser l’opération : combien vaut $29 \times 31$ ?

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Réponse : 899

Corrigé :

\begin{aligned}29 \times 31 &= (30-1)(30+1) \\ &= 30^2 - 1^2\end{aligned}

deux nombres symétriques autour de 30

= 900 - 1 = 899

Le réflexe : reconnaître $(a-b)(a+b)$ . Le piège est $901$ , le signe de l’identité retourné.

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Exercice 8

Le produit $53 \times 47$ se termine par le chiffre $1$ .

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Réponse : Vrai

Corrigé :

3 \times 7 = 21

seuls les chiffres des unités comptent

53 \times 47 = 2\,491

le calcul complet le confirme

Vrai. Le dernier chiffre d’un produit ne dépend que des derniers chiffres des facteurs.

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Exercice 9

Sans calculer : ce résultat est-il positif ou négatif ?

Positif
Négatif

$-3^2$
$(-1)^{7}$
$(-2)^4$
$(-3) \times (-5) \times (-2)$
$(-3)^2$
$(-4) \times (-6)$

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Réponse : $(-3) \times (-5) \times (-2)$ — Négatif · $(-2)^4$ — Positif · $(-1)^{7}$ — Négatif · $(-4) \times (-6)$ — Positif · $-3^2$ — Négatif · $(-3)^2$ — Positif

Corrigé :

\Rightarrow

On compte les facteurs négatifs : un nombre pair donne un produit positif.

-3^2 = -9

sans parenthèses, la puissance ne porte que sur le 3

Le piège est $-3^2$ : il vaut $-9$ , alors que $(-3)^2$ vaut $9$ .

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Exercice 10

Associez chaque calcul à son ordre de grandeur.

$51 \times 19$
$4{,}9 \times 21$
$0{,}52 \times 19{,}6$
$498 \times 21$

environ $1\,000$
environ $10\,000$
environ $10$
environ $100$

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Réponse : $51 \times 19$ — environ $1\,000$ · $4{,}9 \times 21$ — environ $100$ · $0{,}52 \times 19{,}6$ — environ $10$ · $498 \times 21$ — environ $10\,000$

Corrigé :

50 \times 20 = 1\,000

5 \times 20 = 100

0{,}5 \times 20 = 10

500 \times 20 = 10\,000

Un arrondi à un chiffre par facteur suffit : on cherche la puissance de dix, pas la valeur exacte.

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Exercice 11

Rangez ces calculs du plus petit au plus grand, sans les poser.

$12\%$ de $410$
$19 \times 21$
$3\,012 \div 49$
$51\%$ de $380$
$9 \times 11$

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Réponse : $12\%$ de $410$ · $3\,012 \div 49$ · $9 \times 11$ · $51\%$ de $380$ · $19 \times 21$

Corrigé :

12\% \text{ de } 410 \approx 50, \quad 3\,012 \div 49 \approx 60

\begin{aligned}9 \times 11 &= 99 \\ \quad 51\% \text{ de } 380 \approx 190 \\ \quad 19 \times 21 &= 399\end{aligned}

Une estimation par calcul suffit pour ranger : $50 < 60 < 99 < 190 < 399$ .

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Exercice 12

Combien vaut $(-2) \times 37 \times (-5)$ ?

$370$
$-370$
$-3\,700$
$3\,700$

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Réponse : A $370$

Corrigé :

(-2) \times (-5) = 10

deux négatifs : le signe est positif

10 \times 37 = 370

Le signe élimine deux options, l’ordre de grandeur la troisième. Regrouper $(-2) \times (-5)$ d’abord rend le calcul immédiat.

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