Série 5 — Format examen · Droites parallèles · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, de la plus simple à la plus difficile. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Le réflexe du jour J : la figure ne prouve rien. On ne lit sur le dessin ni un parallélisme ni une mesure ; on les déduit. Devant quatre affirmations, cherchez celle qu'une propriété impose, pas celle qui a l'air vraie.

Activité interactive

Échauffement : forcé, ou pas ?

Les affirmations qui reviennent dans les questions « nécessairement vrai ».

a \parallel b,\ b \perp c \ \Rightarrow\ a \perp c

Voir la réponse et le corrigé

Forcé : $c$ fait $90^\circ$ avec $b$ , donc son correspondant sur $a$ vaut aussi $90^\circ$ .

AB \parallel \text{axe des } x \ \Rightarrow\ y_A = y_B

Voir la réponse et le corrigé

Forcé : un segment parallèle à l'axe des $x$ a ses deux extrémités à la même ordonnée.

ABCD \text{ trapèze} \ \Rightarrow\ \widehat{A} = \widehat{C}

Voir la réponse et le corrigé

Pas forcé : seul un parallélogramme a ses angles opposés égaux. Un trapèze n'a qu'une paire de parallèles.

\text{alternes-internes égaux} \ \Rightarrow\ a \parallel b

Voir la réponse et le corrigé

Forcé : c'est la réciproque, et elle est vraie.

a, b \text{ ne se coupent pas sur le dessin} \ \Rightarrow\ a \parallel b

Voir la réponse et le corrigé

Pas forcé : deux droites presque parallèles se coupent loin de la feuille.

Faire l'activité sur elev

Exercices

Exercice 1

La droite $d$ coupe les droites $a$ , $b$ et $c$ . Les angles marqués valent $74^\circ$ sur $a$ , $106^\circ$ sur $b$ et $76^\circ$ sur $c$ , chacun à la place que montre la figure. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$a$ et $b$ se coupent
$a \parallel b \parallel c$
$a \parallel b$ , et $c$ coupe $a$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $a \parallel b$ , et $c$ coupe $a$

Corrigé :

180^\circ - 106^\circ = 74^\circ

sur b, le voisin du 106° est à la place du 74° de a : deux correspondants égaux, donc a ∥ b

\text{sur } c : 76^\circ

le 76° est opposé par le sommet à l'angle de c qui est à la place du 74°

76^\circ \neq 74^\circ \;\Rightarrow\; c \not\parallel a

des correspondants inégaux : c coupe a, et b aussi

La bonne réponse : « $a \parallel b$ , et $c$ coupe $a$ ». « $a \parallel b \parallel c$ » recopie le $76^\circ$ sans voir qu'il n'est pas égal à $74^\circ$ : deux degrés suffisent à couper. « $a$ et $b$ se coupent » compare $106^\circ$ à $74^\circ$ directement ; ce n'est pas la même place, il faut passer par le voisin, $180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » oublie que les angles suffisent à décider, dans un sens comme dans l'autre.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Dans un repère, $A(1,\, k)$ , $B(6,\, 2k - 4)$ et $C(k,\, 2k + 2)$ . Le segment $AB$ est parallèle à l'axe des $x$ . Quelle est l'aire du triangle $ABC$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$18$
$25$
$30$
$15$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $15$

Corrigé :

\begin{aligned}k &= 2k - 4 \;\Rightarrow\; k \\ &= 4\end{aligned}

parallèle à l'axe des x : A et B ont la même ordonnée

C(4,\ 10)

on remplace k dans les coordonnées de C

\begin{aligned}AB &= 6 - 1 \\ &= 5\end{aligned}

la base, lue sur les abscisses

\begin{aligned}h &= 10 - 4 \\ &= 6\end{aligned}

la hauteur : l'écart d'ordonnée entre C et la droite AB

\begin{aligned}S &= \frac{5 \cdot 6}{2} \\ &= 15\end{aligned}

La bonne réponse : « $15$ ». « $30$ » oublie de diviser par $2$ . « $25$ » prend pour hauteur l'ordonnée de $C$ , $10$ , au lieu de son écart à $AB$ . « $18$ » prend pour base l'abscisse de $B$ , $6$ , au lieu de $6 - 1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Dans le parallélogramme $ABCD$ , $AH$ est la hauteur issue de $A$ sur $BC$ , et $H$ est entre $B$ et $C$ . On donne $\widehat{D} = 58^\circ$ et $\widehat{HAC} = 20^\circ$ . Que vaut $x = \widehat{ACD}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$38^\circ$
$70^\circ$
$52^\circ$
$32^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $52^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{B} &= \widehat{D} \\ &= 58^\circ\end{aligned}

angles opposés d'un parallélogramme

\begin{aligned}\widehat{BAH} &= 90^\circ - 58^\circ \\ &= 32^\circ\end{aligned}

le triangle ABH, rectangle en H

\begin{aligned}x &= \widehat{CAB} \\ &= 32^\circ + 20^\circ \\ &= 52^\circ\end{aligned}

alternes-internes : AB ∥ DC, coupées par AC

La bonne réponse : « $52^\circ$ ». « $70^\circ$ » est l'angle $\widehat{ACB}$ du triangle $AHC$ ( $90^\circ - 20^\circ$ ), et non $\widehat{ACD}$ . « $32^\circ$ » s'arrête à l'angle $\widehat{BAH}$ . « $38^\circ$ » fait la simple différence $58^\circ - 20^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Dans le parallélogramme $ABCD$ , $\widehat{A} = \alpha$ . La bissectrice de l'angle $\widehat{D}$ coupe le côté $AB$ en $E$ . Que vaut $x = \widehat{DEB}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$90^\circ + \frac{\alpha}{2}$
$180^\circ - \alpha$
$90^\circ - \frac{\alpha}{2}$
$180^\circ - \frac{\alpha}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $90^\circ + \frac{\alpha}{2}$

Corrigé :

\widehat{D} = 180^\circ - \alpha

co-intérieurs le long de AD

\widehat{EDC} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}

la bissectrice

\widehat{AED} = \widehat{EDC}

alternes-internes : AB ∥ DC, coupées par DE

\begin{aligned}x &= 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) \\ &= 90^\circ + \frac{\alpha}{2}\end{aligned}

angle plat en E

La bonne réponse : « $90^\circ + \frac{\alpha}{2}$ ». « $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ » est l'angle $\widehat{AED}$ , le voisin de $x$ sur $AB$ . « $180^\circ - \alpha$ » est l'angle $\widehat{D}$ entier : il oublie de le couper en deux. « $180^\circ - \frac{\alpha}{2}$ » coupe en deux l'angle $\widehat{A}$ au lieu de l'angle $\widehat{D}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Le triangle $ABC$ est équilatéral, de côté $13$ . Le point $D$ est sur $AB$ ; la parallèle à $AC$ menée par $D$ coupe $BC$ en $E$ . Le point $F$ est sur $AC$ , avec $CF = 7$ ; la parallèle à $AB$ menée par $F$ coupe $BC$ en $G$ , et les deux parallèles se coupent en un point $H$ intérieur au triangle $ABC$ . Le périmètre du triangle $HGE$ vaut $12$ . Que vaut $BD$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$6$
$2$
$18$
$10$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $10$

Corrigé :

\begin{aligned}GE &= \frac{12}{3} \\ &= 4\end{aligned}

HGE a deux angles de 60° (correspondants) : il est équilatéral

\begin{aligned}GC &= CF \\ &= 7\end{aligned}

FGC est équilatéral

\begin{aligned}BE &= BC - GC + GE \\ &= 13 - 7 + 4 \\ &= 10\end{aligned}

BE et GC se chevauchent sur GE

\begin{aligned}BD &= BE \\ &= 10\end{aligned}

DBE est équilatéral

La bonne réponse : « $10$ ». « $18$ » prend le périmètre $12$ pour le côté $GE$ : $13 - 7 + 12$ . « $6$ » oublie le chevauchement : $13 - 7$ . « $2$ » retranche $GE$ au lieu de l'ajouter : $13 - 7 - 4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Le trapèze $ABCD$ , de bases $AB$ et $DC$ ( $AB \parallel DC$ ), est inscrit dans un cercle dont $AB$ est un diamètre. On donne $\widehat{DAB} = 64^\circ$ . Que vaut $x = \widehat{DBC}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$90^\circ$
$116^\circ$
$26^\circ$
$38^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $38^\circ$

Corrigé :

\widehat{ADB} = 90^\circ

un angle inscrit dans un demi-cercle est droit

\begin{aligned}\widehat{ABD} &= 180^\circ - 90^\circ - 64^\circ \\ &= 26^\circ\end{aligned}

le triangle ABD

\begin{aligned}\widehat{ABC} &= \widehat{DAB} \\ &= 64^\circ\end{aligned}

un trapèze inscrit est isocèle : les angles d'une même base sont égaux

\begin{aligned}x &= 64^\circ - 26^\circ \\ &= 38^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $38^\circ$ ». « $26^\circ$ » est l'angle $\widehat{ABD}$ (égal à $\widehat{BDC}$ , alterne-interne), et non $\widehat{DBC}$ . « $90^\circ$ » prend $\widehat{ABC} = 180^\circ - 64^\circ$ , comme si $AD$ et $BC$ étaient parallèles, puis retranche $26^\circ$ . « $116^\circ$ » s'arrête à ce faux $\widehat{ABC}$ , $180^\circ - 64^\circ$ : seules $AB$ et $DC$ sont parallèles.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

Dans le triangle $ABC$ , la droite $\ell$ passe par $A$ et est parallèle à $BC$ . Elle forme l'angle $\alpha$ avec $AB$ et l'angle $\beta$ avec $AC$ , comme sur la figure. La bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ coupe $BC$ en $D$ . Que vaut $x = \widehat{ADB}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$
$\frac{\alpha + \beta}{2}$
$90^\circ + \frac{\alpha - \beta}{2}$
$90^\circ + \frac{\beta - \alpha}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $90^\circ + \frac{\beta - \alpha}{2}$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{B} &= \alpha \\ \quad \widehat{C} &= \beta\end{aligned}

alternes-internes, le long de AB et de AC

\widehat{BAD} = \frac{180^\circ - \alpha - \beta}{2}

la moitié de l'angle A

\begin{aligned}x &= 180^\circ - \alpha - \frac{180^\circ - \alpha - \beta}{2} \\ &= 90^\circ + \frac{\beta - \alpha}{2}\end{aligned}

la somme des angles du triangle ABD

La bonne réponse : « $90^\circ + \frac{\beta - \alpha}{2}$ ». « $90^\circ + \frac{\alpha - \beta}{2}$ » est l'angle $\widehat{ADC}$ , le voisin de $x$ sur $BC$ . « $90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$ » est l'angle $\widehat{BAD}$ , la moitié de l'angle en $A$ . « $\frac{\alpha + \beta}{2}$ » prend la moitié de l'angle extérieur en $A$ pour l'angle en $D$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

Dans la figure, $a \parallel b$ . Le sommet $A$ du triangle $ABC$ est sur $a$ , sa base $BC$ sur $b$ . $AH$ est perpendiculaire à $b$ , et $AD$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ . Les angles marqués entre $a$ et les côtés $AB$ et $AC$ valent $40^\circ$ et $65^\circ$ . Que vaut $x = \widehat{DAH}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$50^\circ$
$12{,}5^\circ$
$37{,}5^\circ$
$25^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $12{,}5^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{B} &= 40^\circ \\ \quad \widehat{C} &= 65^\circ\end{aligned}

alternes-internes, le long de AB et de AC

\begin{aligned}\widehat{BAC} &= 180^\circ - 40^\circ - 65^\circ \\ &= 75^\circ \\ \quad \widehat{BAD} &= 37{,}5^\circ\end{aligned}

la bissectrice

\begin{aligned}\widehat{BAH} &= 90^\circ - 40^\circ \\ &= 50^\circ\end{aligned}

le triangle ABH, rectangle en H

\begin{aligned}x &= 50^\circ - 37{,}5^\circ \\ &= 12{,}5^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $12{,}5^\circ$ ». « $37{,}5^\circ$ » est l'angle $\widehat{BAD}$ , la moitié de l'angle $A$ . « $25^\circ$ » fait la différence $65^\circ - 40^\circ$ sans la diviser par deux. « $50^\circ$ » est l'angle $\widehat{BAH}$ , entre le côté et la hauteur.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

Dans le trapèze $ABCD$ , de bases $AD$ et $BC$ , les diagonales se coupent en $O$ . L'aire du triangle $AOD$ vaut $9$ , celle du triangle $BOC$ vaut $25$ . Quelle est l'aire du trapèze ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$34$
$49$
$64$
$68$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $64$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{OD}{OB} &= \frac{AD}{BC} \\ &= \sqrt{\frac{9}{25}} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

AOD et COB sont semblables (alternes-internes) : rapport des aires, carré du rapport des longueurs

\begin{aligned}S_{AOB} &= 9 \cdot \frac{5}{3} \\ &= 15\end{aligned}

AOD et AOB ont la même hauteur depuis A : leurs aires suivent OD et OB

S_{COD} = 15

de même

\begin{aligned}S &= 9 + 25 + 15 + 15 \\ &= 64\end{aligned}

La bonne réponse : « $64$ ». « $34$ » oublie les deux triangles des côtés, $AOB$ et $COD$ . « $49$ » ne compte qu'un des deux triangles des côtés. « $68$ » donne à chaque triangle des côtés la moyenne $\frac{9 + 25}{2} = 17$ ; c'est $\sqrt{9 \cdot 25} = 15$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Dans le triangle $ABC$ , le point $D$ est sur $AB$ , le point $E$ sur $AC$ et le point $F$ sur $BC$ , avec $DE \parallel BC$ et $EF \parallel AB$ . L'aire du triangle $ADE$ vaut $4$ , celle du triangle $EFC$ vaut $9$ . Quelle est l'aire du parallélogramme $DBFE$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$13$
$12$
$6$
$25$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $12$

Corrigé :

ADE \sim EFC

leurs angles sont égaux deux à deux (correspondants)

\begin{aligned}\frac{AE}{EC} &= \sqrt{\frac{4}{9}} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

le rapport des longueurs est la racine du rapport des aires

\begin{aligned}S_{ABC} &= 4 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2 \\ &= 25\end{aligned}

ADE est semblable à ABC, de rapport AE/AC = 2/5

\begin{aligned}S_{DBFE} &= 25 - 4 - 9 \\ &= 12\end{aligned}

La bonne réponse : « $12$ ». « $13$ » additionne les deux aires données. « $25$ » est l'aire du triangle $ABC$ entier. « $6$ » est $\sqrt{4 \cdot 9}$ : la moitié du parallélogramme seulement, l'un des deux triangles que coupe sa diagonale $DF$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev