Série 4 — D'une figure à l'autre · Droites parallèles · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, de la plus simple à la plus difficile. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Le réflexe de la série : suivre l'angle d'une figure à l'autre en écrivant chaque étape. Un angle ne se transporte que le long de la sécante qui le porte ; un trapèze inscrit dans un cercle est isocèle ; deux segments qui se chevauchent sur une base comptent deux fois leur partie commune.

Exercices

Exercice 1

Dans le quadrilatère $ABCD$ , $\widehat{A} = 110^\circ$ , $\widehat{B} = 70^\circ$ et $\widehat{C} = 110^\circ$ . Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$AC \perp BD$
$AC = BD$
$AB = CD$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $AB = CD$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{A} + \widehat{B} &= 110^\circ + 70^\circ \\ &= 180^\circ \;\Rightarrow\; AD \parallel BC\end{aligned}

deux co-intérieurs de somme 180°, le long de AB

\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ \;\Rightarrow\; AB \parallel DC

de même le long de BC

ABCD \text{ parallélogramme} \;\Rightarrow\; AB = CD

La bonne réponse : « $AB = CD$ ». « $AC = BD$ » est vraie dans un rectangle seulement : il faudrait des angles de $90^\circ$ . « $AC \perp BD$ » est vraie dans un losange seulement : rien ne dit que deux côtés voisins sont égaux. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » oublie la réciproque : des co-intérieurs de somme $180^\circ$ prouvent le parallélisme, et deux paires suffisent.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Dans la figure, $a \parallel b$ et $c \parallel d$ . L'angle marqué entre $d$ et $e$ vaut $42^\circ$ , l'angle marqué entre $a$ et $e$ vaut $31^\circ$ . Que vaut l'angle $x$ marqué entre $b$ et $c$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$11^\circ$
$107^\circ$
$73^\circ$
$149^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $107^\circ$

Corrigé :

180^\circ - 42^\circ - 31^\circ = 107^\circ

le troisième angle du triangle formé par a, d et e, entre a et d

x = 107^\circ

il se recopie de d à c le long de a (correspondants), puis de a à b le long de c

La bonne réponse : « $107^\circ$ ». « $73^\circ$ » est le supplément de $107^\circ$ , la somme $42^\circ + 31^\circ$ : l'angle extérieur du triangle, et non l'angle entre $b$ et $c$ du côté marqué. « $11^\circ$ » fait la simple différence $42^\circ - 31^\circ$ . « $149^\circ$ » est le voisin du $31^\circ$ sur $a$ , $180^\circ - 31^\circ$ : il ne passe pas par le triangle.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Dans le trapèze $ABCD$ , $AD \parallel BC$ , $\widehat{A} = 112^\circ$ et $\widehat{C} = 49^\circ$ . La parallèle à $AB$ menée par $D$ coupe $BC$ en $E$ . Que vaut $x = \widehat{EDC}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$68^\circ$
$131^\circ$
$19^\circ$
$63^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $63^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{B} &= 180^\circ - 112^\circ \\ &= 68^\circ\end{aligned}

A et B aux deux bouts de la jambe AB : co-intérieurs

\begin{aligned}\widehat{DEC} &= \widehat{B} \\ &= 68^\circ\end{aligned}

correspondants : DE ∥ AB, coupées par BC

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 68^\circ - 49^\circ \\ &= 63^\circ\end{aligned}

la somme des angles du triangle DEC

La bonne réponse : « $63^\circ$ ». « $19^\circ$ » prend $\widehat{DEC}$ égal à $112^\circ$ : il confond le correspondant de $\widehat{B}$ avec son supplément. « $131^\circ$ » est l'angle $\widehat{ADC}$ entier, $180^\circ - 49^\circ$ . « $68^\circ$ » s'arrête à l'angle $\widehat{DEC}$ , égal à $\widehat{B}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Dans le triangle $ABC$ , le point $D$ est sur $AB$ , le point $E$ sur $AC$ , et $DE \parallel BC$ . L'aire du triangle $ADE$ vaut $S$ , celle du trapèze $DBCE$ vaut $3S$ . Que vaut le rapport $\frac{AD}{DB}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$\frac{1}{2}$
$1$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{1}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $1$

Corrigé :

\begin{aligned}S_{ABC} &= S + 3S \\ &= 4S\end{aligned}

\begin{aligned}\left(\frac{AD}{AB}\right)^2 &= \frac{S}{4S} \;\Rightarrow\; \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

le rapport des aires est le carré du rapport des longueurs

\begin{aligned}AD &= DB \;\Rightarrow\; \frac{AD}{DB} \\ &= 1\end{aligned}

La bonne réponse : « $1$ ». « $\frac{1}{2}$ » est $\frac{AD}{AB}$ , pris sur le côté entier, et non $\frac{AD}{DB}$ . « $\frac{1}{3}$ » prend le rapport des aires $\frac{S}{3S}$ pour un rapport de longueurs. « $\frac{\sqrt{3}}{3}$ » prend la racine du rapport $\frac{S}{3S}$ : $ADE$ est semblable à $ABC$ , pas au trapèze.

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Exercice 5

Dans la figure, $a \parallel b$ , et la droite $c$ est perpendiculaire à $a$ . L'angle marqué entre $a$ et $d$ vaut $70^\circ$ , l'angle marqué entre $c$ et $f$ vaut $118^\circ$ . Que vaut $x$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$82^\circ$
$172^\circ$
$98^\circ$
$42^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $82^\circ$

Corrigé :

c \perp b

une perpendiculaire à l'une de deux parallèles l'est aussi à l'autre

\text{angle entre } b \text{ et } d = 70^\circ

correspondant de l'angle marqué sur a, le long de d

\begin{aligned}x &= 360^\circ - 90^\circ - 70^\circ - 118^\circ \\ &= 82^\circ\end{aligned}

la somme des angles du quadrilatère formé par b, c, d et f

La bonne réponse : « $82^\circ$ ». « $42^\circ$ » transporte le $70^\circ$ en son supplément $110^\circ$ : $360^\circ - 90^\circ - 110^\circ - 118^\circ$ . « $98^\circ$ » est le supplément de $x$ , l'angle extérieur du quadrilatère en ce sommet. « $172^\circ$ » oublie l'angle droit entre $c$ et $b$ : $360^\circ - 70^\circ - 118^\circ$ .

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Exercice 6

Dans le trapèze $ABCD$ , $AD \parallel BC$ et $AB = AD = DC$ . On donne $\widehat{C} = 64^\circ$ . Que vaut $x = \widehat{BDC}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$116^\circ$
$52^\circ$
$84^\circ$
$32^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $84^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{ABC} &= \widehat{C} \\ &= 64^\circ\end{aligned}

AB = DC : le trapèze est isocèle, les angles d'une même base sont égaux

\begin{aligned}\widehat{ABD} &= \widehat{ADB} \\ &= \widehat{DBC}\end{aligned}

AB = AD (isocèle), puis alternes-internes (AD ∥ BC) : BD coupe l'angle B en deux

\begin{aligned}\widehat{DBC} &= 32^\circ \\ \quad x &= 180^\circ - 64^\circ - 32^\circ \\ &= 84^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $84^\circ$ ». « $52^\circ$ » suppose $\widehat{DBC} = \widehat{C}$ , comme si $DB = DC$ : $180^\circ - 2 \cdot 64^\circ$ . « $32^\circ$ » est l'angle $\widehat{DBC}$ , en $B$ , et non l'angle en $D$ . « $116^\circ$ » est l'angle $\widehat{ADC}$ entier, $180^\circ - 64^\circ$ .

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Exercice 7

Dans la figure, $a \parallel b$ . Les droites $c$ et $d$ se croisent en $P$ , au-dessus de $a$ . L'angle marqué entre $a$ et $c$ vaut $124^\circ$ , et l'angle en $P$ vaut $38^\circ$ . Que vaut l'angle $x$ marqué entre $b$ et $d$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$162^\circ$
$18^\circ$
$86^\circ$
$94^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $94^\circ$

Corrigé :

180^\circ - 124^\circ = 56^\circ

l'angle entre a et c du côté du triangle, recopié sur b (correspondants le long de c)

180^\circ - 56^\circ - 38^\circ = 86^\circ

l'angle du triangle formé par b, c et d, sur d

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 86^\circ \\ &= 94^\circ\end{aligned}

x est son voisin sur b

La bonne réponse : « $94^\circ$ ». « $86^\circ$ » est l'angle du triangle sur $d$ , le voisin de $x$ . « $18^\circ$ » prend $124^\circ$ pour un angle du triangle : $180^\circ - 124^\circ - 38^\circ$ . « $162^\circ$ » additionne les deux angles donnés.

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Exercice 8

Le trapèze $ABCD$ , de bases $AB$ et $DC$ ( $AB \parallel DC$ ), est inscrit dans un cercle. On trace la diagonale $BD$ , et l'on donne $\widehat{ABD} = 22^\circ$ et $\widehat{DBC} = 48^\circ$ . Que vaut $x = \widehat{ADB}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$62^\circ$
$88^\circ$
$70^\circ$
$110^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $88^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{ABC} &= 22^\circ + 48^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}\widehat{BAD} &= \widehat{ABC} \\ &= 70^\circ\end{aligned}

un trapèze inscrit dans un cercle est isocèle : entre deux cordes parallèles, les arcs AD et BC sont égaux, donc AD = BC

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 70^\circ - 22^\circ \\ &= 88^\circ\end{aligned}

la somme des angles du triangle ABD

La bonne réponse : « $88^\circ$ ». « $110^\circ$ » est l'angle $\widehat{ADC}$ entier, $180^\circ - 70^\circ$ , dont $x$ n'est qu'une partie. « $70^\circ$ » est l'angle $\widehat{BAD}$ , en $A$ . « $62^\circ$ » retranche $48^\circ$ de $\widehat{ADC}$ ; or $\widehat{BDC} = \widehat{ABD} = 22^\circ$ (alternes-internes) : l'angle a été mal transporté.

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Exercice 9

Le triangle $ABC$ est équilatéral, de côté $a$ . Le point $D$ est sur $AB$ , avec $BD = p$ , et la parallèle à $AC$ menée par $D$ coupe $BC$ en $E$ . Le point $F$ est sur $AC$ , avec $CF = q$ , et la parallèle à $AB$ menée par $F$ coupe $BC$ en $G$ . On sait que $p + q > a$ . Que vaut $GE$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$2a - p - q$
$a - p - q$
$p + q - a$
$p + q$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $p + q - a$

Corrigé :

\begin{aligned}BE &= BD \\ &= p\end{aligned}

DBE a deux angles de 60° (l'angle B, et l'angle en E, correspondant de C) : il est équilatéral

\begin{aligned}GC &= CF \\ &= q\end{aligned}

de même pour FGC

\begin{aligned}BE + GC &= BC + GE \;\Rightarrow\; GE \\ &= p + q - a\end{aligned}

BE et GC se chevauchent sur GE : ce segment est compté deux fois

La bonne réponse : « $p + q - a$ ». « $a - p - q$ » soustrait les deux longueurs du côté au lieu de compter le chevauchement ; ce nombre est négatif. « $p + q$ » additionne $BE$ et $GC$ sans retrancher le côté entier. « $2a - p - q$ » est $BG + EC$ , ce que les deux petits triangles laissent de la base.

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Exercice 10

Dans la figure, $a \parallel b$ , et la sécante $AB$ les coupe en $A$ et $B$ . En $A$ , la droite $AP$ coupe l'angle entre $a$ et $AB$ en deux angles égaux, marqués $\theta$ ; en $B$ , la droite $BP$ coupe de même l'angle entre $b$ et $BA$ en deux angles marqués $\varphi$ . On donne $PA = p$ et $PB = q$ . Quelle est la distance entre $a$ et $b$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$\frac{2pq}{p + q}$
$\frac{pq}{\sqrt{p^2 + q^2}}$
$\sqrt{p^2 + q^2}$
$\frac{2pq}{\sqrt{p^2 + q^2}}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{2pq}{\sqrt{p^2 + q^2}}$

Corrigé :

\begin{aligned}2\theta + 2\varphi &= 180^\circ \;\Rightarrow\; \theta + \varphi \\ &= 90^\circ\end{aligned}

les deux angles coupés en deux sont co-intérieurs : leur somme fait 180°

\begin{aligned}\widehat{APB} &= 90^\circ \\ \quad AB &= \sqrt{p^2 + q^2}\end{aligned}

h = \frac{pq}{\sqrt{p^2 + q^2}}

la distance de P à AB, par l'aire du triangle rectangle APB

\begin{aligned}\text{distance} &= 2h \\ &= \frac{2pq}{\sqrt{p^2 + q^2}}\end{aligned}

P est sur deux bissectrices : il est à la même distance h de a, de AB et de b

La bonne réponse : « $\frac{2pq}{\sqrt{p^2 + q^2}}$ ». « $\frac{pq}{\sqrt{p^2 + q^2}}$ » est la distance de $P$ à une seule des deux droites ; $P$ est à mi-chemin. « $\sqrt{p^2 + q^2}$ » est la longueur $AB$ , oblique, plus longue que la distance entre les parallèles. « $\frac{2pq}{p + q}$ » prend $AB = p + q$ , comme si $P$ était sur $AB$ .

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Exercices

La suite se pratique sur elev