Série 3 — Chaînes d'angles · Droites parallèles · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, de la plus simple à la plus difficile. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Le réflexe de la série : tracer ce qui manque. Une parallèle par chaque sommet d'une ligne brisée, une bissectrice qui fabrique un triangle isocèle, une hauteur commune entre deux bases parallèles. Et pour une aire, le rapport des longueurs se met au carré.

Exercices

Exercice 1

Dans la figure, $a \parallel b$ . Le point $A$ est sur $a$ , le point $B$ sur $b$ , et le point $P$ entre les deux droites. L'angle marqué en $A$ vaut $145^\circ$ , et $\widehat{APB} = 75^\circ$ . Que vaut l'angle $x$ marqué en $B$ , entre $b$ et $BP$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$40^\circ$
$140^\circ$
$70^\circ$
$110^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $40^\circ$

Corrigé :

180^\circ - 145^\circ = 35^\circ

l'angle entre a et AP du côté de P

75^\circ = 35^\circ + x

par P, la parallèle à a et b : l'angle en P se coupe en deux alternes-internes

\begin{aligned}x &= 75^\circ - 35^\circ \\ &= 40^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $40^\circ$ ». « $70^\circ$ » retranche directement $145^\circ - 75^\circ$ : le $145^\circ$ est mesuré du côté qui ne regarde pas $P$ . « $110^\circ$ » ajoute $35^\circ$ à $75^\circ$ au lieu de le retrancher : l'angle en $P$ contient déjà les deux morceaux. « $140^\circ$ » est le supplément de $40^\circ$ , l'autre angle entre $b$ et $BP$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Dans la figure, $a \parallel b$ . La ligne brisée $APQB$ va de $a$ à $b$ ; ses sommets $P$ et $Q$ sont entre les deux droites. Les angles marqués valent $34^\circ$ en $A$ , $70^\circ$ en $P$ et $58^\circ$ en $Q$ . Que vaut l'angle $x$ marqué en $B$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$46^\circ$
$18^\circ$
$12^\circ$
$22^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $22^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}70^\circ &= 34^\circ + \delta \;\Rightarrow\; \delta \\ &= 36^\circ\end{aligned}

par P, la parallèle à a : l'angle en P se coupe en 34° (alterne-interne) et δ, l'angle entre cette parallèle et PQ

58^\circ = \delta + x

par Q, la parallèle à b : l'angle en Q se coupe en δ (alterne-interne) et x

\begin{aligned}x &= 58^\circ - 36^\circ \\ &= 22^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $22^\circ$ ». « $46^\circ$ » échange les rôles de $P$ et de $Q$ : $34^\circ + 70^\circ - 58^\circ$ . « $18^\circ$ » traite la ligne brisée comme un triangle : $180^\circ - 34^\circ - 70^\circ - 58^\circ$ . « $12^\circ$ » oublie l'angle en $A$ : $70^\circ - 58^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Dans le triangle $ABC$ , le point $D$ est sur $AB$ , le point $E$ sur $AC$ , et $DE \parallel BC$ . On donne $AD = 4$ , $DB = 2$ , et l'aire du triangle $ADE$ vaut $20$ . Quelle est l'aire du trapèze $DBCE$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$25$
$10$
$45$
$5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $25$

Corrigé :

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

ADE est semblable à ABC

\begin{aligned}S_{ABC} &= 20 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 \\ &= 45\end{aligned}

le rapport des aires est le carré du rapport des longueurs

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 45 - 20 \\ &= 25\end{aligned}

La bonne réponse : « $25$ ». « $10$ » prend le rapport des longueurs pour celui des aires : $20 \cdot \frac{3}{2} = 30$ , puis $30 - 20$ . « $5$ » prend le rapport $\frac{DB}{AD}$ au carré : $20 \cdot \left(\frac{2}{4}\right)^2$ . « $45$ » est l'aire du triangle $ABC$ entier ; il oublie de retrancher $ADE$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Dans le trapèze $ABCD$ , les bases sont $AD = 4$ et $BC = 10$ . On trace la diagonale $BD$ ; l'aire du triangle $ABD$ vaut $12$ . Quelle est l'aire du trapèze ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$87$
$24$
$30$
$42$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $42$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{S_{BCD}}{S_{ABD}} &= \frac{BC}{AD} \\ &= \frac{10}{4}\end{aligned}

les deux triangles ont la même hauteur, la distance entre les bases parallèles

\begin{aligned}S_{BCD} &= 12 \cdot \frac{10}{4} \\ &= 30\end{aligned}

\begin{aligned}S &= 12 + 30 \\ &= 42\end{aligned}

La bonne réponse : « $42$ ». « $30$ » est l'aire de $BCD$ seule ; il manque $ABD$ . « $24$ » donne aux deux triangles la même aire : c'est vrai de $ABD$ et $ACD$ , de même base $AD$ , pas de $ABD$ et $BCD$ . « $87$ » met le rapport des bases au carré ( $12 \cdot \frac{100}{16} = 75$ , plus $12$ ) : $ABD$ et $BCD$ ne sont pas semblables, leurs aires suivent le rapport simple.

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Exercice 5

Dans la figure, $a \parallel b$ . Le point $A$ est sur $a$ ; les points $B$ , $D$ et $C$ sont sur $b$ . $AC \perp AB$ , et $AD$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ . L'angle marqué entre $a$ et $AB$ vaut $\alpha$ . Que vaut $x = \widehat{ADC}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$45^\circ + \alpha$
$2\alpha$
$135^\circ - \alpha$
$90^\circ - \alpha$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $45^\circ + \alpha$

Corrigé :

\widehat{ABD} = \alpha

alterne-interne de l'angle marqué, le long de AB

\begin{aligned}\widehat{BAD} &= \frac{90^\circ}{2} \\ &= 45^\circ\end{aligned}

AD coupe l'angle droit en deux

\begin{aligned}x &= \widehat{ABD} + \widehat{BAD} \\ &= \alpha + 45^\circ\end{aligned}

x est l'angle extérieur en D du triangle ABD

La bonne réponse : « $45^\circ + \alpha$ ». « $135^\circ - \alpha$ » est l'angle $\widehat{ADB}$ , le voisin de $x$ sur $b$ . « $90^\circ - \alpha$ » est l'angle $\widehat{ACB}$ du triangle rectangle $ABC$ . « $2\alpha$ » prend $\alpha$ pour la moitié de l'angle $A$ : $\alpha + \alpha$ .

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Exercice 6

Dans la figure, les droites parallèles $a$ et $b$ sont tangentes au cercle de centre $O$ , et la droite $t$ , tangente elle aussi, coupe $a$ en $P$ et $b$ en $Q$ . L'angle marqué en $P$ , entre $a$ et $PO$ , vaut $34^\circ$ . Que vaut l'angle $x$ marqué en $Q$ , entre $b$ et $t$ , du côté opposé au cercle ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$56^\circ$
$34^\circ$
$112^\circ$
$68^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $68^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\text{en } P \\ \text{ angle entre } a \text{ et } t \text{ côté cercle} &= 2 \cdot 34^\circ \\ &= 68^\circ\end{aligned}

a et t sont deux tangentes issues de P : PO est la bissectrice de leur angle

x = 68^\circ

alternes-internes, le long de t

La bonne réponse : « $68^\circ$ ». « $34^\circ$ » oublie que $PO$ ne prend que la moitié de l'angle entre $a$ et $t$ . « $112^\circ$ » est l'angle en $Q$ du côté du cercle, le supplément de $x$ . « $56^\circ$ » est la moitié de cet angle, l'angle entre $QO$ et $b$ .

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Exercice 7

Dans le parallélogramme $ABCD$ , les bissectrices des angles $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ se coupent en un point $E$ du côté $CD$ . Le périmètre du parallélogramme vaut $36$ . Que vaut $CD$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$12$
$18$
$9$
$6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $12$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{DEA} &= \widehat{EAB} \\ &= \widehat{DAE} \;\Rightarrow\; DE \\ &= AD\end{aligned}

alternes-internes (DC ∥ AB), puis la bissectrice : le triangle ADE est isocèle

\begin{aligned}EC &= BC \\ &= AD\end{aligned}

de même en B

\begin{aligned}CD &= DE + EC \\ &= 2\,AD\end{aligned}

\begin{aligned}2(AD + 2\,AD) &= 36 \;\Rightarrow\; AD \\ &= 6 \\ \ CD &= 12\end{aligned}

La bonne réponse : « $12$ ». « $9$ » divise le périmètre par $4$ , comme si les quatre côtés étaient égaux. « $18$ » est la moitié du périmètre, $AD + CD$ . « $6$ » est $AD$ , et non $CD$ .

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Exercice 8

Dans le losange $ABCD$ , $\widehat{ABC} = \beta$ . Que vaut l'angle $x = \widehat{ACD}$ , entre la diagonale $AC$ et le côté $CD$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$90^\circ - \frac{\beta}{2}$
$90^\circ + \frac{\beta}{2}$
$\frac{\beta}{2}$
$180^\circ - \beta$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $90^\circ - \frac{\beta}{2}$

Corrigé :

\widehat{BCD} = 180^\circ - \beta

B et C aux deux bouts du côté BC, entre AB et DC parallèles : co-intérieurs

\begin{aligned}x &= \frac{180^\circ - \beta}{2} \\ &= 90^\circ - \frac{\beta}{2}\end{aligned}

dans un losange, la diagonale AC coupe l'angle C en deux (le triangle ACD est isocèle, DA = DC)

La bonne réponse : « $90^\circ - \frac{\beta}{2}$ ». « $\frac{\beta}{2}$ » est la moitié de l'angle $\widehat{B}$ : c'est l'angle de l'autre diagonale, $BD$ , avec un côté. « $180^\circ - \beta$ » est l'angle $\widehat{BCD}$ entier, sans le couper en deux. « $90^\circ + \frac{\beta}{2}$ » est le supplément de $x$ : l'angle entre $AC$ et le prolongement de $CD$ .

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Exercice 9

Dans la figure, $a \parallel b$ . Les droites $c$ et $d$ se croisent en $P$ , au-dessus de $a$ . L'angle marqué entre $b$ et $c$ vaut $118^\circ$ , l'angle marqué entre $a$ et $d$ vaut $104^\circ$ . Que vaut l'angle $x$ en $P$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$14^\circ$
$138^\circ$
$42^\circ$
$76^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $42^\circ$

Corrigé :

180^\circ - 118^\circ = 62^\circ

l'angle du triangle sur c, en bas : le voisin du 118° sur b

180^\circ - 104^\circ = 76^\circ

l'angle entre a et d du côté du triangle, qui se recopie sur b (correspondants le long de d)

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 62^\circ - 76^\circ \\ &= 42^\circ\end{aligned}

la somme des angles du triangle formé par b, c et d

La bonne réponse : « $42^\circ$ ». « $14^\circ$ » fait la simple différence $118^\circ - 104^\circ$ . « $138^\circ$ » est le supplément de $x$ , l'angle entre $c$ et le prolongement de $d$ au-delà de $P$ . « $76^\circ$ » s'arrête à l'angle du triangle sur $d$ .

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Exercice 10

Dans la figure, les droites $AD$ , $BE$ et $CF$ sont parallèles. On donne $AB = 6$ , $BC = 9$ et $DE = 8$ . Que vaut $EF$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$\frac{16}{3}$
$11$
$12$
$20$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $12$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{EF}{DE} &= \frac{BC}{AB} \\ &= \frac{9}{6}\end{aligned}

des parallèles découpent sur deux sécantes des segments proportionnels

\begin{aligned}EF &= 8 \cdot \frac{9}{6} \\ &= 12\end{aligned}

La bonne réponse : « $12$ ». « $\frac{16}{3}$ » retourne le rapport : $8 \cdot \frac{6}{9}$ . « $11$ » ajoute à $8$ l'écart $9 - 6$ : un raisonnement additif là où il faut un rapport. « $20$ » est $DF$ , le segment entier ( $8 + 12$ ), et non $EF$ .

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Exercices

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