Série 2 — Triangles sur les parallèles · Droites parallèles · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, de la plus simple à la plus difficile. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Le réflexe de la série : descendre l'angle dans le triangle. Recopiez d'abord sur le triangle tout ce que les parallèles donnent, puis seulement appliquez la somme de $180^\circ$ , l'angle extérieur ou l'isocèle. Et devant deux tangentes issues d'un même point, le centre est sur la bissectrice : on prend la moitié de l'angle.

Exercices

Exercice 1

Dans le triangle $ABC$ , le point $D$ est sur $AB$ , le point $E$ sur $AC$ , et $DE \parallel BC$ . On donne $AD = 6$ , $DB = 3$ et $DE = 8$ . Que vaut $BC$ ?

$12$
$4$
$11$
$16$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $12$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{6}{6 + 3} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

le petit triangle ADE est semblable à ABC ; le rapport se prend depuis A, sur le côté entier

\begin{aligned}BC &= 8 \cdot \frac{3}{2} \\ &= 12\end{aligned}

La bonne réponse : « $12$ ». « $16$ » prend le rapport $\frac{AD}{DB} = 2$ au lieu de $\frac{AD}{AB}$ : $8 \cdot \frac{6}{3}$ . « $4$ » retourne le rapport : $8 \cdot \frac{3}{6}$ ; le grand côté $BC$ ne peut pas être plus court que $DE$ . « $11$ » ajoute $3$ à $8$ , comme si les longueurs croissaient de la même quantité : un raisonnement additif là où il faut un rapport.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Dans la figure, $a \parallel b$ et la droite $c$ les coupe. Les deux angles marqués valent $2x$ et $3x + 30^\circ$ . Que vaut le plus grand des deux ?

$228^\circ$
$30^\circ$
$60^\circ$
$120^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $120^\circ$

Corrigé :

2x + (3x + 30^\circ) = 180^\circ

les deux angles sont entre les parallèles, du même côté de c : co-intérieurs

\begin{aligned}5x &= 150^\circ \;\Rightarrow\; x \\ &= 30^\circ\end{aligned}

3x + 30^\circ = 120^\circ

et 2x = 60° : la somme fait bien 180°

La bonne réponse : « $120^\circ$ ». « $30^\circ$ » est $x$ , pas un angle. « $60^\circ$ » est le plus petit des deux angles, $2x$ . « $228^\circ$ » écrit $5x + 30^\circ = 360^\circ$ , d'où $x = 66^\circ$ et $3x + 30^\circ = 228^\circ$ : un angle de la figure ne dépasse pas $180^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

La droite $c$ coupe les droites $a$ et $b$ . Deux angles correspondants valent $79^\circ$ et $81^\circ$ , comme sur la figure. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$a \parallel b$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$a \perp b$
$a$ et $b$ se coupent

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $a$ et $b$ se coupent

Corrigé :

79^\circ \neq 81^\circ

deux correspondants inégaux

a \parallel b \;\Rightarrow\; \text{correspondants égaux}

si les droites étaient parallèles, les deux angles seraient égaux : elles ne le sont donc pas

81^\circ - 79^\circ = 2^\circ

l'angle entre a et b, quelque part loin de la figure

La bonne réponse : « $a$ et $b$ se coupent ». « $a \parallel b$ » lit le parallélisme sur le dessin ; des correspondants de valeurs différentes prouvent le contraire. « $a \perp b$ » demande un angle de $90^\circ$ entre $a$ et $b$ ; elles se coupent sous un angle de $2^\circ$ seulement. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » oublie que des correspondants suffisent : égaux, ils prouvent le parallélisme ; inégaux, ils l'excluent.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Dans la figure, $a \parallel b$ . Le sommet $A$ du triangle $ABC$ est sur $a$ , la base $BC$ sur $b$ , et l'on prolonge $BC$ au-delà de $C$ . L'angle marqué entre $a$ et $AB$ vaut $50^\circ$ , l'angle extérieur marqué en $C$ vaut $118^\circ$ . Que vaut $x = \widehat{BAC}$ ?

$130^\circ$
$168^\circ$
$62^\circ$
$68^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $68^\circ$

Corrigé :

\widehat{B} = 50^\circ

alterne-interne de l'angle marqué sur a

118^\circ = \widehat{B} + x

l'angle extérieur en C vaut la somme des deux angles qui ne le touchent pas

\begin{aligned}x &= 118^\circ - 50^\circ \\ &= 68^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $68^\circ$ ». « $168^\circ$ » additionne au lieu de retrancher : $118^\circ + 50^\circ$ . « $62^\circ$ » est $180^\circ - 118^\circ$ , l'angle intérieur en $C$ , pas en $A$ . « $130^\circ$ » est le voisin du $50^\circ$ sur $a$ ; il oublie l'angle entre $a$ et $AC$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Dans le parallélogramme $ABCD$ , $AB = 7$ et $BC = 12$ . La bissectrice de l'angle $\widehat{B}$ coupe le côté $AD$ en $E$ . Que vaut $ED$ ?

$7$
$6$
$5$
$19$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $5$

Corrigé :

\widehat{AEB} = \widehat{EBC}

alternes-internes : AD et BC sont parallèles, coupées par BE

\begin{aligned}\widehat{EBC} &= \widehat{ABE} \;\Rightarrow\; AE \\ &= AB \\ &= 7\end{aligned}

BE est la bissectrice : le triangle ABE a deux angles égaux, il est isocèle

\begin{aligned}ED &= AD - AE \\ &= 12 - 7 \\ &= 5\end{aligned}

AD = BC dans un parallélogramme

La bonne réponse : « $5$ ». « $7$ » est $AE$ , la partie isocèle, et non $ED$ . « $6$ » suppose que la bissectrice coupe $AD$ en son milieu ; elle coupe l'angle en deux, pas le côté. « $19$ » additionne $AB$ et $BC$ : la moitié du périmètre.

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Exercice 6

Dans la figure, $a \parallel b$ . Le point $A$ est sur $a$ , les points $B$ et $C$ sur $b$ , et $CA = CB$ . L'angle marqué en $C$ , entre $b$ et $CA$ , vaut $140^\circ$ . Que vaut $x$ ?

$70^\circ$
$40^\circ$
$20^\circ$
$110^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $70^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{ACB} &= 180^\circ - 140^\circ \\ &= 40^\circ\end{aligned}

angle plat en C

\begin{aligned}\widehat{CBA} &= \widehat{CAB} \\ &= \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} \\ &= 70^\circ\end{aligned}

le triangle est isocèle de sommet C

\begin{aligned}x &= \widehat{ABC} \\ &= 70^\circ\end{aligned}

alternes-internes : a et b coupées par AB

La bonne réponse : « $70^\circ$ ». « $20^\circ$ » prend $140^\circ$ pour l'angle au sommet : $\frac{180^\circ - 140^\circ}{2}$ . L'angle au sommet est le voisin du $140^\circ$ . « $40^\circ$ » est l'angle au sommet $\widehat{ACB}$ , pas un angle de la base. « $110^\circ$ » est le supplément de $70^\circ$ : il confond alternes-internes et supplémentaires.

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Exercice 7

Dans la figure, $a \parallel b$ . Les segments $AC$ et $BD$ relient les deux droites et se croisent en $P$ . L'angle marqué en $A$ , entre $a$ et $AC$ , vaut $130^\circ$ ; l'angle marqué en $D$ , entre $b$ et $DB$ , vaut $60^\circ$ . Que vaut $x = \widehat{APB}$ ?

$110^\circ$
$50^\circ$
$70^\circ$
$10^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $70^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{PAB} &= 180^\circ - 130^\circ \\ &= 50^\circ\end{aligned}

angle plat en A

\widehat{PBA} = 60^\circ

alterne-interne de l'angle marqué en D, le long de BD

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

la somme des angles du triangle PAB

La bonne réponse : « $70^\circ$ ». « $110^\circ$ » est l'angle voisin de $x$ en $P$ , son supplément. « $50^\circ$ » est l'angle en $A$ du triangle, et non l'angle en $P$ . « $10^\circ$ » transporte le $60^\circ$ en son supplément $120^\circ$ : $180^\circ - 50^\circ - 120^\circ$ .

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Exercice 8

Dans la figure, les droites parallèles $a$ et $b$ sont tangentes au cercle de centre $O$ . La droite $t$ , tangente au cercle elle aussi, coupe $a$ en $P$ et $b$ en $Q$ . L'angle marqué en $P$ , entre $a$ et $t$ , vaut $116^\circ$ . Que vaut $x = \widehat{OQP}$ ?

$58^\circ$
$32^\circ$
$148^\circ$
$64^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $32^\circ$

Corrigé :

180^\circ - 116^\circ = 64^\circ

l'angle en Q entre b et t, du côté du cercle : co-intérieur du 116°

\begin{aligned}x &= \frac{64^\circ}{2} \\ &= 32^\circ\end{aligned}

b et t sont deux tangentes issues de Q : le centre O est à égale distance des deux, donc QO est la bissectrice de cet angle

La bonne réponse : « $32^\circ$ ». « $64^\circ$ » est l'angle entier en $Q$ : il oublie que $QO$ le coupe en deux. « $58^\circ$ » est la moitié de $116^\circ$ : c'est l'angle $\widehat{OPQ}$ , en $P$ , et non en $Q$ . « $148^\circ$ » est l'angle entre $QO$ et $b$ de l'autre côté, $180^\circ - 32^\circ$ .

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Exercice 9

Dans la figure, $a \parallel b$ ; les points $P$ et $R$ sont sur $a$ , le point $Q$ sur $b$ , et $PQ \perp QR$ . L'angle marqué entre $b$ et $QP$ vaut $58^\circ$ . Que vaut $x$ ?

$58^\circ$
$122^\circ$
$148^\circ$
$32^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $148^\circ$

Corrigé :

\widehat{QPR} = 58^\circ

alterne-interne de l'angle marqué, le long de PQ

\begin{aligned}\widehat{PRQ} &= 180^\circ - 90^\circ - 58^\circ \\ &= 32^\circ\end{aligned}

la somme des angles du triangle PQR

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 32^\circ \\ &= 148^\circ\end{aligned}

angle plat en R

La bonne réponse : « $148^\circ$ ». « $32^\circ$ » est l'angle du triangle en $R$ ; $x$ est son voisin sur $a$ . « $122^\circ$ » est l'angle extérieur en $P$ ( $90^\circ + 32^\circ$ ), et non en $R$ . « $58^\circ$ » recopie l'angle donné sur la droite $a$ , à l'autre bout du segment.

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Exercice 10

Dans la figure, $a \parallel b$ et $c \parallel d$ . La droite $e$ coupe $a$ , $b$ et $d$ . Les angles marqués valent $\alpha$ et $\beta$ . Que vaut $x$ , l'angle entre $d$ et $e$ ?

$180^\circ - \alpha - \beta$
$\alpha + \beta$
$\beta - \alpha$
$180^\circ - \beta$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $180^\circ - \alpha - \beta$

Corrigé :

\text{angle entre } b \text{ et } e = \alpha

α est opposé par le sommet à l'angle au-dessus de a, qui se recopie sur b (correspondants le long de e)

\text{angle entre } b \text{ et } d = \beta

β se recopie de c à d (correspondants le long de a), puis de a à b (le long de d)

x = 180^\circ - \alpha - \beta

la somme des angles du triangle formé par b, d et e

La bonne réponse : « $180^\circ - \alpha - \beta$ ». « $\alpha + \beta$ » est l'angle extérieur, le supplément de $x$ . « $\beta - \alpha$ » transporte $\beta$ en son supplément : $180^\circ - \alpha - (180^\circ - \beta)$ . « $180^\circ - \beta$ » ne regarde que la droite $d$ : c'est le voisin de $\beta$ , pas un angle du triangle.

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Exercices

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