Série 1 — Un angle qui voyage · Droites parallèles · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, de la plus simple à la plus difficile. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Le réflexe de la série : même type, même valeur. Avant de calculer, demandez-vous si l'angle cherché est du même type que l'angle donné, aigu avec aigu : même type, il lui est égal ; type opposé, il vaut $180^\circ$ moins lui. Un transport, puis un seul calcul.

Exercices

Exercice 1

Dans la figure, $a \parallel b$ et la droite $c$ les coupe. L'angle marqué sur $a$ vaut $64^\circ$ . Que vaut $x$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$26^\circ$
$64^\circ$
$244^\circ$
$116^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $116^\circ$

Corrigé :

\text{correspondant de } 64^\circ \text{ sur } b = 64^\circ

au-dessus de la droite, à droite de c, aux deux intersections

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 64^\circ \\ &= 116^\circ\end{aligned}

x est le voisin de ce correspondant sur la droite b

La bonne réponse : « $116^\circ$ ». « $64^\circ$ » recopie l'angle donné : $x$ n'est pas à la même position que lui, il est de l'autre côté de $c$ . « $26^\circ$ » complète $64^\circ$ à $90^\circ$ : aucun angle droit dans la figure. « $244^\circ$ » ajoute $180^\circ$ au lieu de le retrancher ; un angle de la figure ne dépasse jamais $180^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Dans la figure, $a \parallel b$ et la droite $c$ les coupe. Les deux angles marqués valent $3x - 20^\circ$ et $x + 40^\circ$ . Que vaut $x$ ?

$30^\circ$
$40^\circ$
$10^\circ$
$70^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $30^\circ$

Corrigé :

3x - 20^\circ = x + 40^\circ

les deux angles sont entre les parallèles, de part et d'autre de c : alternes-internes, donc égaux

\begin{aligned}2x &= 60^\circ \;\Rightarrow\; x \\ &= 30^\circ\end{aligned}

chaque angle vaut alors 70°

La bonne réponse : « $30^\circ$ ». « $40^\circ$ » écrit que les deux angles font $180^\circ$ ensemble ( $4x + 20^\circ = 180^\circ$ ) : c'est la règle des co-intérieurs, du même côté de la sécante, pas celle-ci. « $70^\circ$ » est la valeur de chaque angle ; la question demande $x$ . « $10^\circ$ » fait passer le $20^\circ$ du mauvais côté : $2x = 40^\circ - 20^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Dans la figure, $a \parallel b$ . Le sommet $A$ du triangle $ABC$ est sur $a$ , et le côté $BC$ sur $b$ . L'angle marqué entre $a$ et $AB$ vaut $47^\circ$ , et $\widehat{ACB} = 68^\circ$ . Que vaut $x$ ?

$21^\circ$
$65^\circ$
$133^\circ$
$115^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $65^\circ$

Corrigé :

\widehat{ABC} = 47^\circ

alterne-interne de l'angle marqué sur a, le long de AB

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 47^\circ - 68^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

la somme des angles du triangle ABC

La bonne réponse : « $65^\circ$ ». « $133^\circ$ » est le voisin du $47^\circ$ sur la droite $a$ : il contient $x$ et aussi l'angle entre $AC$ et $a$ . « $115^\circ$ » additionne les deux angles donnés : c'est l'angle extérieur en $A$ , le supplément de $x$ . « $21^\circ$ » fait la simple différence $68^\circ - 47^\circ$ , qui ne correspond à aucun angle.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Dans la figure, $a \parallel b$ . Le point $A$ est sur $a$ , le point $B$ sur $b$ , et le point $P$ entre les deux droites. Les angles marqués en $A$ et en $B$ valent $38^\circ$ et $45^\circ$ . Que vaut $x = \widehat{APB}$ ?

$277^\circ$
$7^\circ$
$97^\circ$
$83^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $83^\circ$

Corrigé :

\text{par } P,\ d \parallel a \parallel b

on trace par P la parallèle aux deux droites

\begin{aligned}x &= 38^\circ + 45^\circ \\ &= 83^\circ\end{aligned}

chaque angle donné se recopie en P (alternes-internes), un au-dessus de d, l'autre en dessous

La bonne réponse : « $83^\circ$ ». « $97^\circ$ » est le supplément de $83^\circ$ : la parallèle tracée ne change pas un angle en son supplément. « $7^\circ$ » fait la différence $45^\circ - 38^\circ$ , comme si les deux angles tombaient du même côté de la parallèle tracée. « $277^\circ$ » est l'angle rentrant en $P$ , $360^\circ - 83^\circ$ , du côté qui ne regarde pas la figure.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Le trapèze $ABCD$ a pour bases $AD$ et $BC$ , avec $AD \parallel BC$ . On donne $\widehat{B} = 72^\circ$ et $\widehat{D} = 115^\circ$ . Que vaut $\widehat{C}$ ?

$72^\circ$
$65^\circ$
$108^\circ$
$115^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $65^\circ$

Corrigé :

\widehat{C} + \widehat{D} = 180^\circ

C et D sont aux deux bouts de la jambe CD, entre les bases parallèles : co-intérieurs

\begin{aligned}\widehat{C} &= 180^\circ - 115^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $65^\circ$ ». « $115^\circ$ » recopie l'angle opposé, comme dans un parallélogramme ; un trapèze n'a qu'une paire de côtés parallèles. « $108^\circ$ » complète $\widehat{B}$ à $180^\circ$ : c'est la règle de la jambe $AB$ , et elle donne $\widehat{A}$ , pas $\widehat{C}$ . « $72^\circ$ » suppose le trapèze isocèle ( $\widehat{C} = \widehat{B}$ ), ce que l'énoncé ne dit pas.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Dans la figure, $a \parallel b$ , et la droite $c$ est perpendiculaire à $a$ . La droite $d$ coupe $a$ , $c$ et $b$ . L'angle marqué entre $a$ et $d$ vaut $34^\circ$ . Que vaut $x$ ?

$34^\circ$
$124^\circ$
$146^\circ$
$56^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $56^\circ$

Corrigé :

c \perp b

une perpendiculaire à l'une de deux parallèles l'est aussi à l'autre

\text{angle entre } b \text{ et } d = 34^\circ

correspondant de l'angle marqué sur a, le long de d

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 90^\circ - 34^\circ \\ &= 56^\circ\end{aligned}

le triangle formé par b, c et d

La bonne réponse : « $56^\circ$ ». « $34^\circ$ » recopie l'angle donné en $x$ : $x$ est à la rencontre de $c$ et de $d$ , pas sur une parallèle. « $146^\circ$ » est le supplément de $34^\circ$ , l'autre angle entre $a$ et $d$ . « $124^\circ$ » est le voisin de $x$ sur la droite $d$ , à l'extérieur du triangle ( $90^\circ + 34^\circ$ ).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

Dans le parallélogramme $ABCD$ , $\widehat{A} = \alpha$ . On prolonge le côté $BC$ au-delà de $C$ . Que vaut l'angle $x$ entre ce prolongement et le côté $CD$ ?

$180^\circ - \alpha$
$180^\circ - 2\alpha$
$90^\circ - \alpha$
$\alpha$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $180^\circ - \alpha$

Corrigé :

\widehat{B} = 180^\circ - \alpha

A et B aux deux bouts du côté AB, entre AD et BC parallèles : co-intérieurs

x = \widehat{B}

AB et DC sont parallèles, coupées par la droite BC : correspondants

La bonne réponse : « $180^\circ - \alpha$ ». « $\alpha$ » est l'angle intérieur $\widehat{C}$ , égal à $\widehat{A}$ ; $x$ est son voisin sur la droite $BC$ . « $90^\circ - \alpha$ » complète $\alpha$ à $90^\circ$ : rien n'est droit dans la figure. « $180^\circ - 2\alpha$ » retranche deux fois $\alpha$ , comme si $x$ complétait à la fois $\widehat{A}$ et $\widehat{C}$ .

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Exercice 8

Dans le triangle $ABC$ , le point $D$ est sur $AB$ , le point $E$ sur $AC$ , et $DE \parallel BC$ . On donne $\widehat{ABC} = 58^\circ$ et $\widehat{AED} = 74^\circ$ . Que vaut $x = \widehat{BAC}$ ?

$132^\circ$
$48^\circ$
$16^\circ$
$106^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $48^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{ACB} &= \widehat{AED} \\ &= 74^\circ\end{aligned}

correspondants : DE et BC sont parallèles, coupées par AC

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 58^\circ - 74^\circ \\ &= 48^\circ\end{aligned}

la somme des angles du triangle ABC

La bonne réponse : « $48^\circ$ ». « $132^\circ$ » additionne les deux angles : c'est l'angle extérieur en $A$ , le supplément de $x$ . « $16^\circ$ » fait la différence $74^\circ - 58^\circ$ , qui ne mesure rien. « $106^\circ$ » ne retranche que $74^\circ$ et oublie l'angle en $B$ .

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Exercice 9

Dans la figure, $a \parallel b$ . Le triangle $ABC$ a son sommet $A$ sur $a$ et sa base $BC$ sur $b$ , avec $AB = AC$ . L'angle marqué entre $a$ et $AB$ vaut $66^\circ$ . Que vaut $x = \widehat{BAC}$ ?

$66^\circ$
$48^\circ$
$57^\circ$
$114^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $48^\circ$

Corrigé :

\widehat{ABC} = 66^\circ

alterne-interne de l'angle marqué, le long de AB

\widehat{ACB} = 66^\circ

AB = AC : les deux angles de la base sont égaux

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 2 \cdot 66^\circ \\ &= 48^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $48^\circ$ ». « $57^\circ$ » prend $66^\circ$ pour l'angle au sommet et calcule $\frac{180^\circ - 66^\circ}{2}$ : or $66^\circ$ se recopie sur un angle de la base. « $114^\circ$ » est le voisin du $66^\circ$ sur $a$ ; il contient $x$ et aussi l'angle entre $AC$ et $a$ , qui vaut encore $66^\circ$ . « $66^\circ$ » recopie l'angle donné : c'est un angle de la base, pas l'angle au sommet.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Dans la figure, $a \parallel b$ . Les droites $c$ et $d$ coupent les deux parallèles et se croisent en $P$ , sous $b$ . Les angles marqués sur $a$ valent $108^\circ$ et $118^\circ$ . Que vaut l'angle $x$ en $P$ ?

$62^\circ$
$134^\circ$
$10^\circ$
$46^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $46^\circ$

Corrigé :

180^\circ - 108^\circ = 72^\circ

l'angle du triangle sur c : le 108° se recopie sur b (correspondants), et l'angle du triangle est son voisin

180^\circ - 118^\circ = 62^\circ

de même sur d

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 72^\circ - 62^\circ \\ &= 46^\circ\end{aligned}

la somme des angles du triangle formé par b, c et d

La bonne réponse : « $46^\circ$ ». « $10^\circ$ » fait la simple différence $118^\circ - 108^\circ$ . « $134^\circ$ » est l'angle obtus en $P$ , le supplément de $x$ : il confond l'angle et son supplément. « $62^\circ$ » s'arrête à l'angle du triangle sur $d$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev