On résout ensemble · Droites parallèles · Psychométriques

Cinq questions, une par geste du chapitre : la sécante, la ligne brisée, le triangle posé sur les parallèles, la bissectrice dans le parallélogramme, la parallèle qui coupe un triangle. Chacune est d'abord résolue avec vous, un choix à chaque pas, puis vous attend en bas de page sous une forme jumelle.

À chaque pas, choisissez ce que vous feriez avant de lire les explications. Un mauvais choix ne coûte rien ici ; à l'examen, il coûte la question.

Le réflexe à installer : avant de chercher $x$ , remplissez la figure. Les angles d'une figure de parallèles se copient et se complètent à $180^\circ$ ; une fois tous écrits, la question est presque toujours une lecture.

1 — Une sécante, deux nombres

Activité interactive

Question 1 — Une sécante, deux nombres

Dans la figure, $a \parallel b$ et la droite $c$ les coupe. L'angle marqué en haut à gauche mesure $125^\circ$ . Que vaut $x$ ?

$55^\circ$

$125^\circ$

$65^\circ$

$35^\circ$

Par quoi commence-t-on ?

On écrit $180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$ sur les angles voisins du $125^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. La figure ne contient que deux nombres, et le second est le supplément du premier. Une fois les deux écrits partout, la question devient une lecture.

On dit $x = 125^\circ$ , parce que les deux angles se ressemblent.

Voir la réponse et le corrigé

« Se ressembler » n'est pas une règle. Un angle aigu et un angle obtus se ressemblent souvent sur un dessin qui n'est pas à l'échelle.

On cherche un triangle pour utiliser la somme $180^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Il n'y a aucun triangle dans la figure : deux parallèles et une sécante ne se referment jamais.

180^\circ - 125^\circ = 55^\circ

Les angles aigus de la figure valent tous $55^\circ$ , les obtus $125^\circ$ .

Quel angle connu est du même type que $x$ ?

Le $55^\circ$ en haut à droite : $x$ est son correspondant, en bas à droite.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Même position aux deux intersections — « à droite de la sécante, au-dessus de la parallèle » — donc même valeur.

Le $125^\circ$ : $x$ est son alterne-interne.

Voir la réponse et le corrigé

Un alterne-interne est de l'autre côté de la sécante ET entre les parallèles. Le $125^\circ$ est à l'extérieur, en haut : ce n'est pas la bonne paire.

Aucun : $x$ est à une autre intersection, on ne peut pas le relier.

Voir la réponse et le corrigé

C'est justement ce que les parallèles permettent : chaque angle du haut a un jumeau exact en bas.

x = 55^\circ

Le correspondant d'un angle de $55^\circ$ vaut $55^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $55^\circ$ ». « $125^\circ$ » est le piège de la figure — l'autre valeur, choisie à l'œil. « $65^\circ$ » et « $35^\circ$ » ne peuvent apparaître dans aucune figure à deux parallèles et une sécante où un angle vaut $125^\circ$ .

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Votre question jumelle : la première de la liste, en bas de page.

2 — La ligne brisée

Activité interactive

Question 2 — La ligne brisée

Dans la figure, $a \parallel b$ . Le point $A$ est sur $a$ , $B$ est sur $b$ , et $P$ est entre les deux droites. On donne $42^\circ$ en $A$ et $28^\circ$ en $B$ . Que vaut $x = \widehat{APB}$ ?

$70^\circ$

$110^\circ$

$14^\circ$

$56^\circ$

Le sommet $P$ n'est sur aucune des deux parallèles. Que fait-on ?

On trace par $P$ la parallèle à $a$ et à $b$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. C'est LE geste de la ligne brisée : la nouvelle parallèle coupe $x$ en deux morceaux, et chaque morceau a un jumeau sur $a$ ou sur $b$ .

On relie $A$ et $B$ pour obtenir un triangle.

Voir la réponse et le corrigé

Ça marche, mais il faut ensuite calculer deux angles du triangle avec des alternes-internes — trois étapes au lieu d'une. Gardez cette méthode en secours.

On écrit $x = 180^\circ - 42^\circ - 28^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Ce serait la somme des angles d'un triangle. Il n'y a pas de triangle, et $x$ n'est pas dans un triangle avec ces deux angles.

\text{parallèle à } a \text{ par } P

La figure contient maintenant trois parallèles et deux Z.

Que vaut le morceau de $x$ situé du côté de $A$ ?

$42^\circ$ : c'est l'alterne-interne du $42^\circ$ en $A$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Le segment $AP$ est une sécante des parallèles $a$ et « la nouvelle » : les angles alternes-internes sont égaux.

$138^\circ$ : c'est le supplément du $42^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Le supplément apparaît du même côté de la sécante. Ici l'angle est de l'autre côté : il se recopie tel quel.

42^\circ

Et de la même façon, le morceau du côté de $B$ vaut $28^\circ$ .

Et donc ?

$x = 42^\circ + 28^\circ = 70^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Les deux morceaux se touchent le long de la parallèle tracée : $x$ est leur somme.

$x = 42^\circ - 28^\circ = 14^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

On soustrait quand les deux angles sont du même côté de la parallèle par $P$ — ce qui donnerait une figure en forme de N, pas de Z. Ici ils se répartissent de part et d'autre.

\begin{aligned}x &= 42^\circ + 28^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

Une parallèle tracée, deux Z, une addition.

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $70^\circ$ ». « $110^\circ$ » est le supplément : l'angle que l'on verrait en prolongeant $AP$ au-delà de $P$ . « $14^\circ$ » soustrait au lieu d'ajouter. « $56^\circ$ » double le $28^\circ$ sans raison.

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Votre question jumelle : la deuxième de la liste.

3 — Un isocèle posé sur les parallèles

Activité interactive

Question 3 — Un isocèle posé sur les parallèles

Dans la figure, $a \parallel b$ . Le sommet $A$ est sur $a$ , les sommets $B$ et $C$ sur $b$ , et $AB = AC$ . On donne $\widehat{BAC} = 40^\circ$ . Que vaut $x$ , l'angle entre la droite $a$ et le côté $AC$ ?

$70^\circ$

$40^\circ$

$110^\circ$

$50^\circ$

Que donne $AB = AC$ ?

$\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ : les angles à la base, en face des côtés égaux.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Dans un isocèle, les angles égaux sont ceux qui ne touchent pas le sommet d'où partent les deux côtés égaux.

$\widehat{BAC} = \widehat{ACB}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Ces deux angles ne se font pas face aux côtés égaux : $\widehat{BAC}$ est l'angle au sommet, il est différent des deux autres.

Le triangle est équilatéral.

Voir la réponse et le corrigé

Rien ne dit que $BC = AB$ . Avec un angle de $40^\circ$ au sommet, c'est même impossible.

\begin{aligned}\widehat{ABC} &= \widehat{ACB} \\ &= \dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} \\ &= 70^\circ\end{aligned}

Le reste des $180^\circ$ , partagé en deux.

Comment relier $x$ à un angle du triangle ?

$x$ est l'alterne-interne de $\widehat{ACB}$ : $AC$ est une sécante de $a$ et $b$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. $x$ est entre les parallèles, du côté droit de $AC$ ; $\widehat{ACB}$ est entre les parallèles, du côté gauche. Le Z est là.

$x = \widehat{BAC}$ , parce que les deux sont en $A$ .

Voir la réponse et le corrigé

Être au même sommet ne donne aucune relation. $x$ et $\widehat{BAC}$ sont deux angles voisins, pas égaux : ensemble avec le troisième angle en $A$ , ils font $180^\circ$ .

$x$ et $\widehat{ACB}$ sont co-intérieurs : $x = 180^\circ - 70^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Co-intérieurs veut dire du MÊME côté de la sécante. Ils sont de part et d'autre de $AC$ : ce sont des alternes, donc égaux.

\begin{aligned}x &= \widehat{ACB} \\ &= 70^\circ\end{aligned}

Un angle de la base, recopié au sommet par les parallèles.

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $70^\circ$ ». Vérifiez sur la droite $a$ : à gauche de $AB$ un angle de $70^\circ$ , puis $\widehat{BAC} = 40^\circ$ , puis $x = 70^\circ$ — total $180^\circ$ , la somme des angles du triangle, lue sur une seule droite. « $40^\circ$ » prend l'angle au sommet. « $110^\circ$ » applique la règle des co-intérieurs à des alternes. « $50^\circ$ » est $90^\circ - 40^\circ$ , un angle droit que rien ne donne.

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Votre question jumelle : la troisième de la liste.

4 — La bissectrice dans le parallélogramme

CE

est la bissectrice : les deux arcs en

C

marquent deux angles égaux.

Activité interactive

Question 4 — La bissectrice dans le parallélogramme

$ABCD$ est un parallélogramme. La bissectrice de $\widehat{BCD}$ coupe le côté $AD$ en $E$ . On donne $\widehat{DEC} = 35^\circ$ . Que vaut $x = \widehat{ABC}$ ?

$110^\circ$

$70^\circ$

$35^\circ$

$145^\circ$

Que vaut $\widehat{ECB}$ ?

$35^\circ$ : c'est l'alterne-interne de $\widehat{DEC}$ , entre les parallèles $AD$ et $BC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. $EC$ est une sécante des deux côtés parallèles, et les deux angles sont de part et d'autre.

$70^\circ$ : le double, à cause de la bissectrice.

Voir la réponse et le corrigé

La bissectrice partage l'angle en $C$ , pas l'angle en $E$ . On ne sait encore rien de $\widehat{BCD}$ .

On ne peut pas le savoir : $E$ n'est pas au milieu de $AD$ .

Voir la réponse et le corrigé

La position de $E$ sur $AD$ n'importe pas. Le parallélisme de $AD$ et $BC$ suffit.

\begin{aligned}\widehat{ECB} &= \widehat{DEC} \\ &= 35^\circ\end{aligned}

Alternes-internes : $AD \parallel BC$ , sécante $EC$ .

Que vaut $\widehat{BCD}$ ?

$2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$ : la bissectrice fait deux moitiés égales.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. $\widehat{ECB}$ est l'une des deux moitiés de $\widehat{BCD}$ .

$180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Ce serait le supplément d'une moitié, une quantité sans nom sur la figure.

$35^\circ$ , comme $\widehat{ECB}$ .

Voir la réponse et le corrigé

$\widehat{ECB}$ n'est que la moitié de l'angle en $C$ .

\begin{aligned}\widehat{BCD} &= 2 \cdot 35^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

Au passage : $\widehat{DEC} = \widehat{DCE} = 35^\circ$ , donc $DE = DC$ — le triangle isocèle de la bissectrice.

Et $x = \widehat{ABC}$ ?

$180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ : $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ sont consécutifs.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont co-intérieurs entre $AB$ et $DC$ : leur somme est $180^\circ$ .

$70^\circ$ : $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ sont opposés, donc égaux.

Voir la réponse et le corrigé

$\widehat{B}$ est opposé à $\widehat{D}$ , pas à $\widehat{C}$ . $B$ et $C$ sont deux sommets voisins.

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 70^\circ \\ &= 110^\circ\end{aligned}

Consécutifs : la somme fait $180^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $110^\circ$ ». « $70^\circ$ » est $\widehat{C}$ — ou $\widehat{A}$ , son opposé — pris pour $\widehat{B}$ . « $35^\circ$ » s'arrête à la première étape. « $145^\circ$ » est $180^\circ - 35^\circ$ , le supplément d'une demi-mesure.

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Votre question jumelle : la quatrième de la liste.

5 — L'aire du trapèze qui reste

Activité interactive

Question 5 — L'aire du trapèze qui reste

Dans le triangle $ABC$ , le point $D$ est sur $AB$ , le point $E$ sur $AC$ , et $DE \parallel BC$ . On donne $AD = 6$ , $DB = 3$ , et l'aire du triangle $ADE$ vaut $12$ . Quelle est l'aire du trapèze $DBCE$ ?

$15$

$18$

$27$

$6$

Quel rapport de longueurs décrit la réduction de $ABC$ en $ADE$ ?

$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ : le côté du petit sur le côté ENTIER du grand.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Le triangle $ADE$ est semblable à $ABC$ , et le rapport se lit depuis le sommet commun $A$ jusqu'au côté parallèle, sur toute la longueur.

$\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{6}{3} = 2$ .

Voir la réponse et le corrigé

$DB$ n'est le côté d'aucun des deux triangles. Le rapport $AD : DB$ sert au partage des côtés, pas à la similitude.

$\dfrac{DB}{AB} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est la part du côté qui reste sous $D$ , pas la taille du triangle $ADE$ .

\begin{aligned}k &= \dfrac{AD}{AB} \\ &= \dfrac{6}{6 + 3} \\ &= \dfrac{2}{3}\end{aligned}

Chaque longueur de $ADE$ vaut les deux tiers de la longueur correspondante de $ABC$ .

Et le rapport des aires ?

$k^2 = \dfrac{4}{9}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Une aire est un produit de deux longueurs : chacune a été multipliée par $\frac{2}{3}$ .

$k = \dfrac{2}{3}$ , comme les longueurs.

Voir la réponse et le corrigé

Ce serait vrai pour un périmètre. Une aire se réduit deux fois.

$2k = \dfrac{4}{3}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Un rapport d'aires entre un triangle et un triangle qui le contient ne peut pas dépasser $1$ .

\begin{aligned}\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}} &= \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \\ &= \dfrac{4}{9}\end{aligned}

Le petit triangle occupe les quatre neuvièmes du grand.

On termine.

$S_{ABC} = 12 \cdot \dfrac{9}{4} = 27$ , donc le trapèze vaut $27 - 12 = 15$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Le trapèze est ce qui reste du grand triangle une fois le petit retiré.

$S_{ABC} = 12 \cdot \dfrac{3}{2} = 18$ , donc le trapèze vaut $6$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est le rapport des longueurs appliqué aux aires — l'erreur que le pas précédent écartait.

Le trapèze vaut $\dfrac{5}{9}$ de $12$ .

Voir la réponse et le corrigé

Les $\frac{5}{9}$ sont la part du GRAND triangle, pas du petit. Il faut d'abord remonter à $S_{ABC}$ .

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 27 - 12 \\ &= 15\end{aligned}

Le trapèze occupe les cinq neuvièmes du grand triangle : $27 \cdot \frac{5}{9} = 15$ .

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $15$ ». « $27$ » est l'aire du grand triangle, pas celle du trapèze. « $18$ » et « $6$ » viennent du rapport $\frac{2}{3}$ appliqué directement aux aires.

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Votre question jumelle : la cinquième de la liste.

Si vos cinq jumelles tombent juste, passez aux séries : elles varient l'habillage de ces cinq gestes, et les combinent parfois deux par deux.

Exercices

Exercice 1

Dans la figure, $a \parallel b$ et la droite $c$ les coupe. L'angle marqué en haut mesure $118^\circ$ . Que vaut $x$ ?

$72^\circ$
$28^\circ$
$118^\circ$
$62^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $62^\circ$

Corrigé :

180^\circ - 118^\circ = 62^\circ

les angles aigus de la figure

x = 62^\circ

x est en bas à gauche, du type aigu : l'alterne-externe du 62° en haut à droite

La bonne réponse : « $62^\circ$ ». Même scène que la première question : on écrit $118^\circ$ et $62^\circ$ partout, puis on lit. « $118^\circ$ » est l'autre nombre de la figure. « $28^\circ$ » et « $72^\circ$ » n'existent pas dans une figure de parallèles à $118^\circ$ .

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Exercice 2

Dans la figure, $a \parallel b$ . Le point $A$ est sur $a$ , $B$ sur $b$ , et $P$ entre les deux droites. On donne $36^\circ$ en $A$ et $44^\circ$ en $B$ . Que vaut $x = \widehat{APB}$ ?

$80^\circ$
$8^\circ$
$72^\circ$
$100^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $80^\circ$

Corrigé :

\text{parallèle à } a \text{ par } P

la ligne brisée devient deux Z

\begin{aligned}x &= 36^\circ + 44^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

chaque angle traverse sa parallèle sans changer

La bonne réponse : « $80^\circ$ ». « $100^\circ$ » est le supplément, l'angle obtenu en prolongeant $AP$ . « $8^\circ$ » soustrait. « $72^\circ$ » double le $36^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Dans la figure, $a \parallel b$ . Le sommet $A$ est sur $a$ , les sommets $B$ et $C$ sur $b$ , et $AB = AC$ . On donne $\widehat{BAC} = 52^\circ$ . Que vaut $x$ , l'angle entre la droite $a$ et le côté $AC$ ?

$52^\circ$
$64^\circ$
$116^\circ$
$26^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $64^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{ACB} &= \dfrac{180^\circ - 52^\circ}{2} \\ &= 64^\circ\end{aligned}

un angle à la base de l'isocèle

\begin{aligned}x &= \widehat{ACB} \\ &= 64^\circ\end{aligned}

alternes-internes : AC est une sécante de a et b

La bonne réponse : « $64^\circ$ ». Sur la droite $a$ : $64^\circ + 52^\circ + 64^\circ = 180^\circ$ . « $52^\circ$ » est l'angle au sommet. « $116^\circ$ » traite les alternes comme des co-intérieurs. « $26^\circ$ » est la moitié de l'angle au sommet, qui n'apparaît nulle part.

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Exercice 4

$ABCD$ est un parallélogramme. La bissectrice de $\widehat{BCD}$ coupe le côté $AD$ en $E$ . On donne $\widehat{DEC} = 28^\circ$ . Que vaut $x = \widehat{ABC}$ ?

$28^\circ$
$56^\circ$
$152^\circ$
$124^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $124^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{ECB} &= \widehat{DEC} \\ &= 28^\circ\end{aligned}

alternes-internes entre AD et BC

\begin{aligned}\widehat{BCD} &= 2 \cdot 28^\circ \\ &= 56^\circ\end{aligned}

la bissectrice

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 56^\circ \\ &= 124^\circ\end{aligned}

angles consécutifs du parallélogramme

La bonne réponse : « $124^\circ$ ». « $56^\circ$ » est $\widehat{C}$ , pris pour $\widehat{B}$ . « $28^\circ$ » est une demi-mesure. « $152^\circ$ » est $180^\circ - 28^\circ$ , le supplément de la moitié.

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Exercice 5

Dans le triangle $ABC$ , le point $D$ est sur $AB$ , le point $E$ sur $AC$ , et $DE \parallel BC$ . On donne $AD = 4$ , $DB = 4$ , et l'aire du triangle $ADE$ vaut $7$ . Quelle est l'aire du trapèze $DBCE$ ?

$21$
$14$
$7$
$28$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $21$

Corrigé :

\begin{aligned}k &= \dfrac{AD}{AB} \\ &= \dfrac{4}{8} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}

D est le milieu de AB

\begin{aligned}S_{ABC} &= 7 \cdot 2^2 \\ &= 28\end{aligned}

les aires sont dans le rapport k² = 1/4

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 28 - 7 \\ &= 21\end{aligned}

le trapèze est le reste

La bonne réponse : « $21$ ». Quand $D$ est le milieu, le petit triangle est le quart du grand, et le trapèze en est les trois quarts. « $28$ » est l'aire du grand triangle. « $14$ » double au lieu de quadrupler. « $7$ » suppose que les deux morceaux ont la même aire.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Dans la figure, $a \parallel b$ et la droite $c$ les coupe. L'angle marqué en haut à gauche vaut $109^\circ$ . Que vaut $x$ , en degrés ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 71

Corrigé :

180^\circ - 109^\circ = 71^\circ

les deux nombres de la figure

x = 71^\circ

$x$ est aigu, l'angle donné obtus : types opposés

$71^\circ$ . Le piège : $109^\circ$ , en recopiant sans regarder le type de $x$ .

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Exercice 7

Dans la figure, $a \parallel b$ . Le point $A$ est sur $a$ , $B$ sur $b$ , et $P$ entre les deux droites. On donne $33^\circ$ en $A$ et $51^\circ$ en $B$ . Que vaut $x = \widehat{APB}$ , en degrés ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 84

Corrigé :

\text{par } P \text{, la parallèle à } a

deux Z

\begin{aligned}x &= 33^\circ + 51^\circ \\ &= 84^\circ\end{aligned}

chaque morceau recopie son angle

$84^\circ$ . Le piège : la différence, $18^\circ$ , qui ne sert que si les deux angles tombent du même côté de la parallèle tracée.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

Dans la figure, $a \parallel b$ . Le sommet $A$ est sur $a$ , $B$ et $C$ sur $b$ , et $AB = AC$ . On donne $\widehat{BAC} = 64^\circ$ . L'angle entre la droite $a$ et le côté $AB$ vaut $58^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{ABC} &= \dfrac{180^\circ - 64^\circ}{2} \\ &= 58^\circ\end{aligned}

les deux angles de la base de l'isocèle

\begin{aligned}\text{angle}(a, AB) &= \widehat{ABC} \\ &= 58^\circ\end{aligned}

alternes-internes, $AB$ comme sécante

Vrai. Le piège : diviser $64^\circ$ par deux. L'angle au sommet ne se partage pas ; ce sont les angles de la base qui se recopient.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

$ABCD$ est un parallélogramme. La bissectrice de $\widehat{BCD}$ coupe le côté $AD$ en $E$ . On donne $\widehat{DEC} = 41^\circ$ . Que vaut $x = \widehat{ABC}$ , en degrés ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 98

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{ECB} &= \widehat{DEC} \\ &= 41^\circ\end{aligned}

alternes-internes entre $AD$ et $BC$

\begin{aligned}\widehat{BCD} &= 2 \cdot 41^\circ \\ &= 82^\circ\end{aligned}

la bissectrice coupe l'angle en deux

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 82^\circ \\ &= 98^\circ\end{aligned}

deux angles consécutifs d'un parallélogramme

$98^\circ$ . Le piège : s'arrêter à $82^\circ$ , qui est $\widehat{BCD}$ , et pas l'angle demandé.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Dans le triangle $ABC$ , $DE \parallel BC$ avec $D$ sur $AB$ et $E$ sur $AC$ . On donne $AD = 3$ , $DB = 6$ , et l'aire du triangle $ADE$ vaut $5$ . L'aire du trapèze $DBCE$ vaut $10$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}\dfrac{AD}{AB} &= \dfrac{3}{9} \\ &= \dfrac{1}{3}\end{aligned}

sur le côté entier

\begin{aligned}S_{ABC} &= 5 \cdot 9 \\ &= 45\end{aligned}

aires au carré : $\times 9$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 45 - 5 \\ &= 40 \neq 10\end{aligned}

le trapèze est ce qui reste

Faux : $40$ . Le $10$ vient du rapport des longueurs ( $\times 3$ , soit $15 - 5$ ) : il oublie le carré.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

Dans le triangle $ABC$ , $DE \parallel BC$ avec $D$ sur $AB$ et $E$ sur $AC$ . On donne $AD = DB = 5$ , et l'aire du triangle $ADE$ vaut $9$ . Quelle est l'aire du trapèze $DBCE$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 27

Corrigé :

\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1}{2}

$D$ est le milieu de $AB$

\begin{aligned}S_{ABC} &= 9 \cdot 4 \\ &= 36\end{aligned}

aires au carré : $\times 4$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 36 - 9 \\ &= 27\end{aligned}

ce qui reste

$27$ . Le piège : $9$ , en croyant que la moitié des côtés coupe l'aire en deux moitiés. Le petit triangle n'est qu'un quart du grand.

Vérifier la réponse sur elev

1 — Une sécante, deux nombres

2 — La ligne brisée

3 — Un isocèle posé sur les parallèles

4 — La bissectrice dans le parallélogramme

5 — L'aire du trapèze qui reste

Exercices

La suite se pratique sur elev