Le réflexe parallèles

Une question de droites parallèles se reconnaît en une seconde : deux droites marquées $a \parallel b$, une ou deux sécantes, un angle donné et un angle demandé.

L'examen en pose une presque à chaque session, souvent en tête de la section quantitative. Et le même outil revient partout : triangle, parallélogramme, trapèze, rapports d'aires.

Ce chapitre tient en huit gestes : quatre pour les angles, deux pour les longueurs et les aires, deux pour ce que l'examen appelle « nécessairement vrai ».

Une droite qui coupe deux parallèles fabrique huit angles.

Parmi eux, deux valeurs seulement : un angle aigu et son supplément — ou $90^\circ$ partout, quand la sécante est perpendiculaire.

Décidez seulement : cet angle est-il du même type que celui qu'on donne (aigu avec aigu) ? Même type : égal. Type opposé : $180^\circ$ moins.

Devant une figure de parallèles, la méthode la plus sûre est mécanique.

Écrivez l'angle donné sur ses trois copies, puis $180^\circ$ moins cet angle sur les quatre autres. En dix secondes, la question devient une lecture.

Parfois une ligne brisée relie les deux parallèles, avec un sommet entre elles. L'angle demandé est à ce sommet.

Le geste : tracer par ce sommet la parallèle aux deux autres. La ligne brisée devient deux Z.

L'angle demandé est alors la somme des deux angles donnés — ou leur différence, s'ils tombent du même côté de la parallèle tracée.

Un triangle a un sommet sur une droite, et sa base sur la parallèle.

Chaque angle de la base se recopie au sommet, comme alterne-interne.

C'est la preuve que les trois angles d'un triangle font $180^\circ$. Et c'est surtout un outil : un angle donné sur $b$ devient un angle connu sur $a$.

Un parallélogramme, c'est deux paires de parallèles ; un trapèze, une seule.

Deux angles consécutifs le long d'un côté qui relie les parallèles sont co-intérieurs : somme $180^\circ$. Deux angles opposés d'un parallélogramme sont égaux.

Le cas préféré de l'examen : une bissectrice qui part d'un sommet et coupe le côté opposé. L'angle qu'elle forme avec ce côté est l'alterne-interne de la moitié qu'elle vient de créer — le triangle qu'elle découpe est donc isocèle.

Une droite parallèle à un côté d'un triangle découpe un petit triangle semblable au grand.

Tous les rapports de longueurs sont égaux. Le formulaire imprime la règle : si $AD \parallel BE \parallel CF$, alors $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{DE}{EF}$.

Et le rapport des aires est le carré du rapport des longueurs : si le petit triangle a des côtés $k$ fois plus courts, son aire est $k^2$ fois plus petite. C'est ce que l'examen demande le plus souvent, sous la forme « quelle est l'aire du trapèze qui reste ».

Deux droites parallèles restent à distance constante.

Un triangle de base sur l'une et de sommet sur l'autre a donc toujours la même hauteur : même base, même aire, où que soit le sommet.

Une question sur quatre de ce chapitre ne demande aucun calcul : elle propose quatre affirmations et demande laquelle est forcément vraie. Voici celles qui reviennent, et ce qu'elles valent.

Le contraire compte aussi : des correspondants de $88^\circ$ et de $92^\circ$ disent que les droites ne sont pas parallèles.

Et si l'énoncé ne dit pas que deux droites sont parallèles, aucune règle de ce chapitre ne s'applique : on ne lit jamais un parallélisme sur un dessin.

En résumé. Une figure de parallèles ne contient que deux nombres, $x$ et $180^\circ - x$ : on les écrit partout. Une ligne brisée se redresse par la parallèle à son sommet. Triangle, parallélogramme, trapèze ne font qu'habiller la même règle.

Une parallèle à un côté fabrique un triangle semblable, aires au carré. Entre deux parallèles, même base veut dire même aire. Et « nécessairement vrai » se décide avec des propriétés, jamais avec les yeux.