On résout ensemble

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Six questions, une par geste central du chapitre : la somme des angles en équation, deux polygones accolés, un pavage, le côté face au rayon, l'étoile dans l'hexagone, l'octogone dans son carré. Chacune est d'abord résolue avec vous, un choix à chaque pas, puis vous attend en bas de page sous une forme jumelle.

Avant chaque pas à pas, une figure à manipuler : essayez d'abord seul. Puis, à chaque pas, choisissez ce que vous feriez avant de lire les explications.

Le réflexe à installer : ramenez tout polygone à des triangles et à des tours complets. Une somme d'angles, c'est n−2n - 2 triangles ; un angle de polygone régulier, c'est un tour partagé en nn ; un pavage, c'est un tour rempli ; une aire d'hexagone, c'est des équilatéraux comptés.

1 — Deux polygones, une équation

Votre question jumelle : la première de la liste, en bas de page.

2 — Un hexagone et un carré accolés

Votre question jumelle : la deuxième de la liste, en bas de page.

3 — Un pavage à trois polygones

Votre question jumelle : la troisième de la liste, en bas de page.

4 — Le côté face au rayon

Votre question jumelle : la quatrième de la liste, en bas de page.

5 — Le petit hexagone de l'étoile

Votre question jumelle : la cinquième de la liste, en bas de page.

6 — L'octogone dans son carré

Votre question jumelle : la sixième de la liste, en bas de page.

Si vos six jumelles tombent juste, passez aux séries : elles varient l'habillage de ces six gestes, et les combinent parfois deux par deux.

Exercices

Exercice 1

180°180°180°180°A
Depuis un sommet, un polygone à nn côtés se découpe en n−2n - 2 triangles de 180∘180^\circ : la somme de ses angles est proportionnelle à n−2n - 2, pas à nn.

Le polygone QQ a 66 côtés de plus que le polygone PP, et la somme des angles intérieurs de QQ est le triple de celle de PP. Combien de côtés QQ a-t-il ?

  1. 99
  2. 1212
  3. 55
  4. 1111
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 1111

Corrigé :

(n+6−2)⋅180=3⋅(n−2)⋅180(n + 6 - 2) \cdot 180 = 3 \cdot (n - 2) \cdot 180

P a n côtés, Q en a n + 6

n+4=3n−6 ⇒ n=5\begin{aligned}n + 4 &= 3n - 6 \ \Rightarrow\ n \\ &= 5\end{aligned}

P est un pentagone

n+6=11n + 6 = 11

Q a onze côtés : 1 620°, le triple de 540°

La bonne réponse : « 1111 ». Même équation que la première question, avec un triple. « 55 » est le nombre de côtés de PP : la question porte sur QQ. « 99 » vient de n+6=3nn + 6 = 3n, qui triple les côtés au lieu des sommes (n=3n = 3). « 1212 » oublie le « −2-2 » de QQ : n+6=3(n−2)n + 6 = 3(n - 2) donne n=6n = 6.

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Exercice 2

?ABCDEFG

Le pentagone régulier ABCDEABCDE et le carré ABFGABFG ont le côté ABAB en commun, le carré à l'extérieur du pentagone. Que vaut l'angle AEG^\widehat{AEG} ?

  1. 18∘18^\circ
  2. 9∘9^\circ
  3. 81∘81^\circ
  4. 162∘162^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 9∘9^\circ

Corrigé :

EAG^=360∘−108∘−90∘=162∘\begin{aligned}\widehat{EAG} &= 360^\circ - 108^\circ - 90^\circ \\ &= 162^\circ\end{aligned}

le tour de A, moins l'angle du pentagone et celui du carré

AE=AB=AG\begin{aligned}AE &= AB \\ &= AG\end{aligned}

le triangle AEG est isocèle de sommet A

AEG^=180∘−162∘2=9∘\begin{aligned}\widehat{AEG} &= \dfrac{180^\circ - 162^\circ}{2} \\ &= 9^\circ\end{aligned}

les deux angles de base se partagent le reste

La bonne réponse : « 9∘9^\circ ». Même figure que la deuxième question, avec un pentagone. « 162∘162^\circ » est l'angle en AA. « 18∘18^\circ » est le reste du triangle, qu'il faut encore partager en deux. « 81∘81^\circ » coupe l'angle en AA en deux.

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Exercice 3

?

Autour d'un point, un triangle équilatéral, deux carrés et un quatrième polygone régulier, tous de même côté, se rencontrent sans trou ni chevauchement. Combien de côtés le quatrième polygone a-t-il ?

  1. 55
  2. 44
  3. 1212
  4. 66
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 66

Corrigé :

360∘−60∘−2⋅90∘=120∘360^\circ - 60^\circ - 2 \cdot 90^\circ = 120^\circ

ce qui reste du tour

180∘−120∘=60∘ ⇒ n=360÷60=6\begin{aligned}180^\circ - 120^\circ &= 60^\circ \ \Rightarrow\ n \\ &= 360 \div 60 \\ &= 6\end{aligned}

l'angle extérieur donne le nombre de côtés

La bonne réponse : « 66 ». C'est un hexagone. « 44 » serait un troisième carré : 60∘+3⋅90∘=330∘60^\circ + 3 \cdot 90^\circ = 330^\circ, il manque 30∘30^\circ. « 55 » est le pentagone, dont les 108∘108^\circ laisseraient un trou de 12∘12^\circ. « 1212 » est le dodécagone, d'angle 150∘150^\circ : 60∘+2⋅90∘+150∘=390∘60^\circ + 2 \cdot 90^\circ + 150^\circ = 390^\circ, il chevaucherait.

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Exercice 4

90°45°

Un carré et un octogone régulier sont inscrits dans deux cercles de même rayon rr. On note a4a_4 le côté du carré et a8a_8 celui de l'octogone. Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

  1. Le carré a le plus grand périmètre
  2. a8<r<a4a_8 < r < a_4
  3. a8=ra_8 = r
  4. a4<r<a8a_4 < r < a_8
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B a8<r<a4a_8 < r < a_4

Corrigé :

AOB^=360∘4=90∘>60∘ ⇒ a4>r\begin{aligned}\widehat{AOB} &= \dfrac{360^\circ}{4} \\ &= 90^\circ > 60^\circ \ \Rightarrow\ a_4 > r\end{aligned}

pour le carré, l'angle au centre est le plus grand angle du triangle

AOB^=360∘8=45∘<60∘ ⇒ a8<r\begin{aligned}\widehat{AOB} &= \dfrac{360^\circ}{8} \\ &= 45^\circ < 60^\circ \ \Rightarrow\ a_8 < r\end{aligned}

pour l'octogone, c'est le plus petit

La bonne réponse : « a8<r<a4a_8 < r < a_4 ». Même raisonnement que la quatrième question : l'angle au centre comparé à 60∘60^\circ. Le carré a même un côté connu, a4=r2a_4 = r\sqrt{2}. « a4<r<a8a_4 < r < a_8 » inverse les deux polygones. « a8=ra_8 = r » est le cas de l'hexagone. « Le carré a le plus grand périmètre » est faux : l'octogone, plus proche du cercle, a le plus grand périmètre, environ 6,12 r6{,}12\,r contre 42 r≈5,66 r4\sqrt{2}\,r \approx 5{,}66\,r.

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Exercice 5

ABCDEF

L'hexagone régulier ABCDEFABCDEF a une aire de 5454. On trace les triangles ACEACE et BDFBDF, qui forment une étoile à six pointes. Quelle est l'aire de l'étoile ?

  1. 1818
  2. 5454
  3. 3636
  4. 2727
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 3636

Corrigé :

hexagone=18eˊtoile=9+3=12\begin{aligned}\text{hexagone} &= 18 \\ \quad \text{étoile} &= 9 + 3 \\ &= 12\end{aligned}

en petits triangles : ACE en compte 9, et BDF ajoute ses trois pointes

54⋅1218=3654 \cdot \dfrac{12}{18} = 36

l'étoile occupe les deux tiers

La bonne réponse : « 3636 ». Même découpage que la cinquième question. « 2727 » est l'aire d'un seul des deux triangles. « 5454 » additionne les deux triangles, 27+2727 + 27, en comptant deux fois leur partie commune. « 1818 » est l'aire du petit hexagone central.

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Exercice 6

22

On coupe les quatre coins d'un carré selon des triangles rectangles isocèles dont les côtés de l'angle droit mesurent 22, et l'on obtient un octogone régulier. Quelle est l'aire de l'octogone ?

  1. 24+16224 + 16\sqrt{2}
  2. 16+16216 + 16\sqrt{2}
  3. 20+16220 + 16\sqrt{2}
  4. 8+1628 + 16\sqrt{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 16+16216 + 16\sqrt{2}

Corrigé :

a=22c=2+22+2=4+22\begin{aligned}a &= 2\sqrt{2} \\ \quad c &= 2 + 2\sqrt{2} + 2 \\ &= 4 + 2\sqrt{2}\end{aligned}

le côté de l'octogone, puis celui du carré

c2=16+162+8=24+162\begin{aligned}c^2 &= 16 + 16\sqrt{2} + 8 \\ &= 24 + 16\sqrt{2}\end{aligned}

l'aire du carré

S=24+162−4⋅2⋅22=16+162\begin{aligned}S &= 24 + 16\sqrt{2} - 4 \cdot \dfrac{2 \cdot 2}{2} \\ &= 16 + 16\sqrt{2}\end{aligned}

moins les quatre coins

La bonne réponse : « 16+16216 + 16\sqrt{2} ». Même découpage que la sixième question. « 24+16224 + 16\sqrt{2} » est l'aire du carré entier. « 8+1628 + 16\sqrt{2} » retire quatre carrés de côté 22 au lieu de quatre demi-carrés. « 20+16220 + 16\sqrt{2} » ne retire que deux coins.

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Exercice 7

PQ

Le polygone QQ a 88 côtés de plus que le polygone PP, et la somme des angles intérieurs de QQ est le triple de celle de PP. Combien de côtés PP a-t-il ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

(n+6)⋅180=3⋅(n−2)⋅180(n + 6) \cdot 180 = 3 \cdot (n - 2) \cdot 180

P a n côtés, Q en a n + 8 : n + 6 triangles

n+6=3n−6⇒n=6\begin{aligned}n + 6 &= 3n - 6 \Rightarrow n \\ &= 6\end{aligned}

on divise par 180

66. 720∘720^\circ contre 2 160∘2\,160^\circ pour le polygone à 1414 côtés : le triple. Le piège : 1414, le nombre de côtés de QQ.

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Exercice 8

?ABCDEFGHIJKLMN

Le dodécagone régulier ABCDEFGHIJKLABCDEFGHIJKL et le carré ABMNABMN ont le côté ABAB en commun, le carré à l'extérieur du dodécagone. L'angle LAN^\widehat{LAN} mesure 120∘120^\circ.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

180∘−360∘12=150∘180^\circ - \dfrac{360^\circ}{12} = 150^\circ

l'angle du dodécagone

360∘−150∘−90∘=120∘360^\circ - 150^\circ - 90^\circ = 120^\circ

ce qui reste du tour en A

Vrai. Le piège : 150∘−90∘=60∘150^\circ - 90^\circ = 60^\circ, comme si les deux polygones se recouvraient.

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Exercice 9

?

Autour d'un point, deux triangles équilatéraux, un carré et un quatrième polygone régulier, tous de même côté, se rencontrent sans trou ni chevauchement. Combien de côtés a le quatrième polygone ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

360∘−2⋅60∘−90∘=150∘360^\circ - 2 \cdot 60^\circ - 90^\circ = 150^\circ

l'angle qui reste

180∘−150∘=30∘360÷30=12\begin{aligned}180^\circ - 150^\circ &= 30^\circ \\ \quad 360 \div 30 &= 12\end{aligned}

par l'angle extérieur

1212, le dodécagone. Le piège : 360÷150360 \div 150, qui divise le tour par l'angle INTÉRIEUR.

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Exercice 10

Un octogone régulier et un hexagone régulier sont inscrits dans deux cercles de même rayon. Le côté de l'octogone est plus long que celui de l'hexagone.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

AOB^=45∘<60∘\widehat{AOB} = 45^\circ < 60^\circ

l'octogone : un angle au centre plus petit

a8<R=a6a_8 < R = a_6

le côté fait face à cet angle

Faux. Plus de côtés, des côtés plus courts — mais un périmètre plus long. Le piège : confondre le côté et le périmètre.

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Exercice 11

ABCDEF

L'hexagone régulier ABCDEFABCDEF a une aire de 9090. On trace les triangles ACEACE et BDFBDF. Quelle est l'aire du petit hexagone qui leur est commun, grisé sur la figure ?

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Réponse : 30

Corrigé :

618=13\dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}

6 petits triangles sur 18

90⋅13=3090 \cdot \dfrac{1}{3} = 30

l'aire

3030. Le piège : 4545, la moitié, l'aire de ACEACE et non de la partie commune.

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Exercice 12

44

On coupe les quatre coins d'un carré selon des triangles rectangles isocèles dont les côtés de l'angle droit mesurent 44, et l'on obtient un octogone régulier. Quelle est l'aire de l'octogone ?

  1. 64+32264 + 32\sqrt{2}
  2. 32+64232 + 64\sqrt{2}
  3. 64+64264 + 64\sqrt{2}
  4. 96+64296 + 64\sqrt{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 64+64264 + 64\sqrt{2}

Corrigé :

c=4+42+4=8+42\begin{aligned}c &= 4 + 4\sqrt{2} + 4 \\ &= 8 + 4\sqrt{2}\end{aligned}

le côté du carré

c2=64+642+32=96+642\begin{aligned}c^2 &= 64 + 64\sqrt{2} + 32 \\ &= 96 + 64\sqrt{2}\end{aligned}

l'aire du carré

4⋅4⋅42=324 \cdot \dfrac{4 \cdot 4}{2} = 32

les quatre coins

96+642−32=64+64296 + 64\sqrt{2} - 32 = 64 + 64\sqrt{2}

l'octogone

La bonne réponse : « 64+64264 + 64\sqrt{2} ». « 64+32264 + 32\sqrt{2} » oublie le double produit en développant c2c^2. « 32+64232 + 64\sqrt{2} » retire quatre carrés entiers. « 96+64296 + 64\sqrt{2} » est le carré, coins compris.

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