Le réflexe polygones · Polygones · Psychométriques

Une question de polygones se reconnaît à son vocabulaire : pentagone, hexagone, octogone, « polygone régulier », « polygone à $n$ côtés ».

Les annales en posent une quinzaine, sous peu de formes : une somme d'angles, un angle de polygone régulier, un pavage ou deux polygones accolés, un polygone dans un cercle, l'hexagone découpé en triangles.

\text{gestes 1 à 4}

les angles : la somme, la formule retournée, l'angle extérieur, les pavages

\text{gestes 5 à 8}

les longueurs et les aires : les diagonales, le côté face au rayon, l'hexagone, l'octogone

Geste 1 — La somme des angles : $(n - 2) \cdot 180^\circ$

Un polygone convexe à $n$ côtés a $n$ sommets. Depuis un sommet, on trace toutes les diagonales : il y en a $n - 3$ .

Elles découpent le polygone en $n - 2$ triangles, et les angles de ces triangles remplissent exactement ceux du polygone.

\begin{aligned}S_n &= (n - 2) \cdot 180^\circ \\ &= 180n - 360\end{aligned}

Le formulaire l'imprime développée, $180n - 360$ : la même formule. Elle doit sortir sans réfléchir.

n = 5 : 540^\circ

pentagone — trois triangles

n = 6 : 720^\circ

hexagone — quatre triangles

n = 7 : 900^\circ

n = 8 : 1\,080^\circ

n = 10 : 1\,440^\circ

n = 12 : 1\,800^\circ

Les deux formules fausses qu'on reconstruit de mémoire.

S = n \cdot 180^\circ

S = (n - 2) \cdot 180^\circ

le triangle a trois côtés et $180^\circ$ , pas $540^\circ$ : vérifiez toujours la formule sur $n = 3$

S = (n - 1) \cdot 180^\circ

S = (n - 2) \cdot 180^\circ

sur le carré, $(4 - 1) \cdot 180^\circ = 540^\circ$ au lieu de $360^\circ$ : le test du carré suffit à l'éliminer

Que vaut la somme des angles intérieurs d'un polygone convexe à $9$ côtés ?

Voir la réponse et le corrigé

$1\,260^\circ$ . Neuf côtés, sept triangles : $7 \cdot 180^\circ = 1\,260^\circ$ .

Geste 2 — La formule à l'envers, et en équation

L'examen donne souvent la somme et demande le nombre de côtés. On retourne la formule : on divise par $180$ , puis on ajoute $2$ .

n = \dfrac{S}{180^\circ} + 2

Si la somme n'est pas un multiple de $180^\circ$ , aucun polygone ne la porte.

Chaque côté ajouté ajoute $180^\circ$ : il ajoute un triangle. L'écart entre deux polygones ne dépend donc que de leur écart de côtés.

Quand l'énoncé relie deux polygones par un rapport (« la somme de l'un est le double de celle de l'autre »), on écrit l'équation avec $(n - 2)$ de chaque côté : le $180^\circ$ disparaît.

Les raccourcis qui trahissent.

S_{n+5} - S_n = (5 - 2) \cdot 180^\circ

S_{n+5} - S_n = 5 \cdot 180^\circ

les « $-2$ » des deux polygones s'annulent : chaque côté de plus vaut $180^\circ$ , il n'y a rien à retrancher

\text{somme double} \Rightarrow \text{côtés doubles}

n + 1 = 2(n - 2)

la somme est proportionnelle à $n - 2$ , pas à $n$ : un hexagone n'a pas une somme double de celle du triangle

Un polygone a $4$ côtés de plus qu'un autre. De combien la somme de ses angles intérieurs dépasse-t-elle celle de l'autre ?

Voir la réponse et le corrigé

De $720^\circ$ . Quatre côtés de plus, quatre triangles de plus : $4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$ . On n'a pas besoin de savoir combien de côtés a le premier.

Geste 3 — L'angle extérieur, et le polygone régulier

L'angle extérieur d'un sommet est l'angle entre un côté et le prolongement du côté précédent. C'est le supplément de l'angle intérieur.

Faites le tour du polygone en marchant sur ses côtés : à chaque sommet, on tourne de l'angle extérieur. Revenu au départ, on a fait un tour.

\text{somme des angles extérieurs} = 360^\circ \quad \text{pour tout } n

Le calcul le confirme : $n \cdot 180^\circ$ d'angles intérieurs et extérieurs réunis, moins la somme intérieure $(n - 2) \cdot 180^\circ$ , laisse $2 \cdot 180^\circ$ .

Un polygone régulier a tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux.

Ses $n$ angles extérieurs se partagent les $360^\circ$ : chacun vaut $\dfrac{360^\circ}{n}$ . L'angle intérieur est son supplément.

\text{triangle équilatéral} : 60^\circ

extérieur $120^\circ$

\text{carré} : 90^\circ

extérieur $90^\circ$

\text{pentagone} : 108^\circ

extérieur $360^\circ \div 5 = 72^\circ$

\text{hexagone} : 120^\circ

extérieur $60^\circ$

\text{octogone} : 135^\circ

extérieur $45^\circ$

\text{décagone} : 144^\circ

extérieur $36^\circ$

\text{dodécagone} : 150^\circ

extérieur $30^\circ$

Pour retrouver $n$ d'après un angle intérieur, passez par l'extérieur. Un angle intérieur de $162^\circ$ ? L'extérieur vaut $18^\circ$ , et $360 \div 18 = 20$ côtés. C'est plus rapide que l'équation $\dfrac{(n - 2) \cdot 180}{n} = 162$ , et c'est la même réponse.

La division qui n'a pas de sens.

n = \dfrac{360^\circ}{\text{angle intérieur}}

n = \dfrac{360^\circ}{\text{angle extérieur}}

ce sont les angles EXTÉRIEURS qui se partagent le tour ; $360 \div 120 = 3$ ferait de l'hexagone un triangle

\text{angle intérieur } 130^\circ \text{ possible}

\dfrac{360}{50} = 7{,}2 \text{ : impossible}

un angle de polygone régulier doit laisser un angle extérieur qui divise exactement $360^\circ$

Geste 4 — Pavages et polygones accolés

Autour d'un point, les angles font $360^\circ$ .

Des dalles identiques en polygone régulier pavent un sol, sans trou ni chevauchement, seulement si leur angle intérieur divise $360^\circ$ .

6 \cdot 60^\circ

six triangles équilatéraux

4 \cdot 90^\circ

quatre carrés

3 \cdot 120^\circ

trois hexagones — les alvéoles d'une ruche

On peut aussi mélanger des polygones réguliers de même côté : il suffit que leurs angles, en chaque sommet, fassent $360^\circ$ .

Deux octogones et un carré : $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ = 360^\circ$ . C'est le carrelage classique à cabochons.

Quand deux polygones réguliers sont accolés par un côté, l'angle entre leurs deux autres côtés, au sommet commun, est ce qui reste du tour.

Et s'ils ont le même côté, le segment qui relie leurs sommets libres ferme un triangle isocèle.

Autour d'un point, peut-on assembler des triangles équilatéraux et des carrés de même côté, sans trou ni chevauchement ? Combien de chacun ?

Voir la réponse et le corrigé

Oui : trois triangles et deux carrés. $3 \cdot 60^\circ + 2 \cdot 90^\circ = 360^\circ$ . Aucun autre mélange des deux ne ferme le tour.

Geste 5 — Les diagonales : les compter, les ordonner

De chaque sommet partent $n - 3$ diagonales : vers tous les sommets, sauf lui-même et ses deux voisins.

\text{nombre de diagonales} = \dfrac{n(n - 3)}{2}

Pentagone $5$ — autant que de côtés —, hexagone $9$ , octogone $20$ , décagone $35$ .

Dans un polygone régulier, tous les sommets sont sur un même cercle. Chaque côté est vu depuis un sommet sous le même angle, $\dfrac{180^\circ}{n}$ .

Les diagonales issues d'un sommet partagent donc l'angle intérieur en $n - 2$ angles égaux.

Les cinq diagonales issues de

A

partagent l'angle de

135^\circ

en six angles égaux :

135^\circ \div 6 = 22{,}5^\circ = \dfrac{180^\circ}{8}

Leurs longueurs grandissent à mesure qu'elles sautent des sommets, jusqu'au milieu, puis rediminuent : dans l'heptagone régulier $ABCDEFG$ , $AB < AC < AD$ , puis $AE = AD$ et $AF = AC$ .

Un hexagone régulier $ABCDEF$ a des côtés de longueur $a$ . Que valent les trois diagonales issues de $A$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$AC = AE = a\sqrt{3}$ et $AD = 2a$ . $AD$ passe par le centre : c'est deux rayons, et le rayon vaut le côté. $AC$ est le double de la hauteur d'un triangle équilatéral de côté $a$ : $2 \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Deux façons de mal compter.

\dfrac{n(n - 1)}{2}

\dfrac{n(n - 3)}{2}

$\frac{n(n-1)}{2}$ compte tous les segments entre deux sommets, côtés compris

n(n - 3)

\dfrac{n(n - 3)}{2}

sans la division par 2, chaque diagonale est comptée deux fois

Geste 6 — Le côté contre le rayon, et le périmètre inscrit

Un polygone régulier à $n$ côtés, inscrit dans un cercle de rayon $R$ , se découpe en $n$ triangles isocèles de sommet $O$ , le centre.

L'angle au sommet de chacun vaut $\dfrac{360^\circ}{n}$ , et le côté du polygone lui fait face. On compare cet angle à $60^\circ$ : le plus grand côté fait face au plus grand angle.

\begin{aligned}n &= 6 : 60^\circ \Rightarrow a \\ &= R\end{aligned}

l'hexagone : six triangles équilatéraux

n > 6 : \text{angle} < 60^\circ \Rightarrow a < R

heptagone, octogone, décagone : le côté est plus court que le rayon

n < 6 : \text{angle} > 60^\circ \Rightarrow a > R

triangle, carré, pentagone : le côté est plus long que le rayon

Le périmètre, lui, va dans l'autre sens. Plus un polygone régulier inscrit a de côtés, plus il colle au cercle : son périmètre s'approche de $2\pi R$ , par en dessous. Il en va de même pour l'aire.

Côté court ne veut pas dire périmètre court.

a_8 < a_5 \Rightarrow P_8 < P_5

P_5 < P_8 < 2\pi R

l'octogone a des côtés plus courts que le pentagone inscrit dans le même cercle, mais il en a huit au lieu de cinq : son périmètre est le plus long

Un décagone régulier est inscrit dans un cercle de rayon $10$ . Son périmètre est-il plus grand ou plus petit que $60$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Plus grand. L'hexagone inscrit dans ce cercle a un périmètre de $6 \cdot 10 = 60$ , et le décagone, qui a plus de côtés, colle mieux au cercle. Son périmètre est entre $60$ et $20\pi \approx 62{,}8$ — alors que chacun de ses côtés est plus court que $10$ .

Geste 7 — L'hexagone : six équilatéraux

L'hexagone régulier de côté

a

: six triangles équilatéraux de côté

a

autour du centre

O

. Le rayon du cercle circonscrit est donc égal au côté.

\begin{aligned}S_{\text{hexagone}} &= 6 \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \\ &= \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2\end{aligned}

Toute question d'aire sur l'hexagone se ramène à compter ces triangles — ou de plus petits, quand la figure l'exige.

Le triangle $ACE$ relie un sommet sur deux : il est équilatéral, de côté $a\sqrt{3}$ .

Chaque triangle laissé dehors, comme $ABC$ , a deux côtés $a$ et un angle de $120^\circ$ entre eux. Rabattu sur sa corde, il tombe juste dans $ACE$ .

Tracez aussi $BDF$ : les deux triangles forment une étoile, et leur partie commune est un petit hexagone régulier.

Découpée en $18$ pièces de même aire, chaque figure tracée dans l'hexagone se lit comme une fraction simple.

ABC = \dfrac{1}{6}

trois sommets consécutifs

ACD = \dfrac{1}{3}

deux équilatéraux : AD est un diamètre

ACE = \dfrac{1}{2}

un sommet sur deux

\text{étoile} = \dfrac{2}{3}

12 petits triangles sur 18

\text{petit hexagone} = \dfrac{1}{3}

6 petits triangles sur 18 ; son côté vaut le tiers de AC

Ne calculez pas une aire d'hexagone : comptez des triangles. Les options de l'examen sont des fractions simples de l'hexagone ; dès que la figure est découpée en équilatéraux égaux, la réponse se lit.

Un hexagone régulier a une aire de $48$ . Quelle est l'aire de l'étoile formée par les triangles $ACE$ et $BDF$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$32$ . L'étoile vaut $12$ petits triangles sur $18$ , soit les deux tiers : $48 \cdot \dfrac{2}{3} = 32$ . Ajouter les deux triangles, $24 + 24 = 48$ , compte deux fois le petit hexagone central.

Geste 8 — L'octogone : un carré moins quatre demi-carrés

L'octogone régulier se range dans un carré. Les quatre coins du carré sont des demi-carrés : des triangles rectangles isocèles.

Si leurs côtés de l'angle droit valent $x$ , leur hypoténuse $x\sqrt{2}$ est un côté de l'octogone, et le carré a pour côté $x + x\sqrt{2} + x$ .

Pour un octogone de côté $a$ : une aire de $2a^2(1 + \sqrt{2})$ , et une largeur — la distance entre deux côtés opposés — de $a + a\sqrt{2}$ .

Le coin n'est pas un carré.

S = c^2 - 4x^2

S = c^2 - 4 \cdot \dfrac{x^2}{2}

chaque coin est un DEMI-carré : on retire $2x^2$ en tout, pas $4x^2$

c = a + 2a

c = a + 2 \cdot \dfrac{a}{\sqrt{2}}

les côtés de l'angle droit du coin ne valent pas le côté de l'octogone, mais $\frac{a}{\sqrt{2}}$

(n - 2) \cdot 180^\circ

la somme, en triangles ; chaque côté ajouté ajoute $180^\circ$

360^\circ

les angles extérieurs font un tour : c'est par eux qu'on trouve l'angle d'un polygone régulier, et son nombre de côtés

360^\circ \text{ autour d'un point}

pavages et polygones accolés

\dfrac{n(n - 3)}{2}

les diagonales

\begin{aligned}n &= 6 : a \\ &= R\end{aligned}

au-delà de six côtés, le côté est plus court que le rayon, mais le périmètre plus long

6 \text{ équilatéraux} \;/\; c^2 - 4 \cdot \tfrac{x^2}{2}

l'hexagone se compte en équilatéraux, l'octogone en carré moins quatre demi-carrés

Exercices

Exercice 1

Un polygone convexe a $11$ côtés. Quelle est la somme de ses angles intérieurs ?

$1\,620^\circ$
$1\,440^\circ$
$1\,800^\circ$
$1\,980^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $1\,620^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}n - 2 &= 11 - 2 \\ &= 9\end{aligned}

le nombre de triangles depuis un sommet

9 \cdot 180^\circ = 1\,620^\circ

la somme

La bonne réponse : « $1\,620^\circ$ ». Onze côtés, neuf triangles. « $1\,980^\circ$ » compte un triangle par côté, $11 \cdot 180^\circ$ : c'est la formule qui donnerait $540^\circ$ au triangle. « $1\,800^\circ$ » retranche $1$ au lieu de $2$ . « $1\,440^\circ$ » retranche $3$ : c'est le nombre de diagonales issues d'un sommet, pas le nombre de triangles.

Geste 1 — La somme des angles : (n−2)⋅180∘(n - 2) \cdot 180^\circ(n−2)⋅180∘

Geste 2 — La formule à l'envers, et en équation

Geste 3 — L'angle extérieur, et le polygone régulier

Geste 4 — Pavages et polygones accolés

Geste 5 — Les diagonales : les compter, les ordonner

Geste 6 — Le côté contre le rayon, et le périmètre inscrit

Geste 7 — L'hexagone : six équilatéraux

Geste 8 — L'octogone : un carré moins quatre demi-carrés

Exercices

La suite se pratique sur elev

Geste 1 — La somme des angles : $(n - 2) \cdot 180^\circ$