Série 1 — Les angles du polygone

Réponse : B $180k^\circ$

Corrigé :

La bonne réponse : « $180k^\circ$ ». Chaque côté ajouté ajoute un triangle, donc un angle plat. « $360k^\circ$ » compte un tour complet par côté ajouté au lieu d'un angle plat. « $(k - 2) \cdot 180^\circ$ » applique la formule de la somme à l'écart $k$ ; or le « $-2$ » de chaque polygone disparaît dans la différence. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut connaître $n$ : il s'élimine.

Réponse : C $15$

Corrigé :

La bonne réponse : « $15$ ». « $24$ » est la mesure de l'angle extérieur, pas le nombre de côtés. « $13$ » retranche $2$ à $15$, comme si l'on retournait la formule de la somme $(n - 2) \cdot 180^\circ$. « $30$ » divise $720^\circ$ par $24^\circ$ : les angles extérieurs font un seul tour, pas deux.

Réponse : C $360^\circ - \alpha$

Corrigé :

La bonne réponse : « $360^\circ - \alpha$ ». « $180^\circ - \alpha$ » part de $360^\circ$, la somme du quadrilatère, au lieu de $540^\circ$. « $540^\circ - \alpha$ » oublie de retirer les deux angles droits. « $450^\circ - \alpha$ » n'en retire qu'un.

Réponse : A $120^\circ - \alpha$

Corrigé :

La bonne réponse : « $120^\circ - \alpha$ ». « $240^\circ - \alpha$ » ne retire qu'un des deux hexagones. « $90^\circ - \alpha$ » donne à l'hexagone l'angle de $135^\circ$, celui de l'octogone. « $144^\circ - \alpha$ » lui donne $108^\circ$, l'angle du pentagone.

Réponse : D $148^\circ$

Corrigé :

La bonne réponse : « $148^\circ$ ». « $112^\circ$ » égale la somme à $360^\circ$, celle du quadrilatère : $x = 32^\circ$. « $68^\circ$ » est la valeur de $x$, le plus PETIT angle. « $184^\circ$ » égale la somme à $720^\circ$, celle de l'hexagone ; un angle de plus de $180^\circ$ aurait dû alerter : le pentagone est convexe.

Réponse : B un hexagone régulier

Corrigé :

La bonne réponse : « un hexagone régulier ». Une seule longueur le fixe. « un rectangle » a deux dimensions libres : $1 \times 36$ et $4 \times 9$ ont la même aire et pas le même périmètre. « un losange » a ses côtés égaux, mais son angle reste libre : un losange aplati de grand côté a la même aire qu'un carré plus petit. « un trapèze isocèle » a l'air « régulier », mais ses deux bases et sa hauteur se choisissent séparément.

Réponse : B $41$

Corrigé :

La bonne réponse : « $41$ ». « $45$ » compte comme entiers les demi-carreaux coupés qui restent dans l'octogone : il ne retire qu'un carreau par coin. « $37$ » compte comme entiers les demi-carreaux coupés du côté des coins : il retire trois carreaux par coin. « $33$ » retire aux coins des carrés $2 \times 2$ entiers, au lieu de demi-carrés.

Réponse : B un hexagone régulier

Corrigé :

La bonne réponse : « un hexagone régulier ». « un triangle équilatéral » divise $360^\circ$ par l'angle INTÉRIEUR, $120^\circ$ ; c'est l'angle extérieur qui partage le tour. « un octogone régulier » prête à l'octogone l'angle de $120^\circ$ ; le sien mesure $135^\circ$. « aucun polygone régulier ne convient » oublie le triangle : il resterait $180^\circ$, un angle plat qu'aucun polygone n'a.

Réponse : A $15$

Corrigé :

La bonne réponse : « $15$ ». « $12$ » vient de $\frac{n(n + 3)}{2} = 90$ : une erreur de signe dans la formule. « $10$ » compte tous les segments entre deux sommets, côtés compris, et oublie de diviser par $2$ : $10 \times 9 = 90$. « $93$ » prend $90$ pour le nombre de diagonales issues d'UN sommet : $n - 3 = 90$.

Réponse : C $110^\circ$

Corrigé :

La bonne réponse : « $110^\circ$ ». « $70^\circ$ » s'arrête au sixième angle EXTÉRIEUR. « $430^\circ$ » traite les angles extérieurs comme des angles intérieurs : $720^\circ - 290^\circ$. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut les autres angles intérieurs ; la somme des angles extérieurs suffit, elle vaut toujours $360^\circ$.