Série 2 — Polygones réguliers et hexagone

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions au format de l'examen, rangées de la plus simple à la plus exigeante. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours de méthode avant de continuer.

Le réflexe de la série : un polygone régulier se lit par son angle extérieur, 360∘n\frac{360^\circ}{n}, et un hexagone régulier par ses six triangles équilatéraux. Dès qu'un hexagone paraît, tracez en pensée ses trois grandes diagonales.

Exercices

Exercice 1

Un polygone convexe a tous ses angles extérieurs égaux à 24∘24^\circ, sauf un, qui mesure 48∘48^\circ. Combien de côtés a ce polygone ?

  1. 1717
  2. 1515
  3. 1313
  4. 1414
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 1414

Corrigé :

24∘⋅k+48∘=360∘24^\circ \cdot k + 48^\circ = 360^\circ

les angles extérieurs font un tour ; kk sommets ont un angle extérieur de 24∘24^\circ

k=31224=13n=13+1=14\begin{aligned}k &= \dfrac{312}{24} \\ &= 13 \\ \quad n &= 13 + 1 \\ &= 14\end{aligned}

La bonne réponse : « 1414 ». « 1515 » divise 360∘360^\circ par 24∘24^\circ sans tenir compte du sommet différent. « 1313 » ne compte que les sommets de 24∘24^\circ et oublie celui de 48∘48^\circ. « 1717 » ajoute les 48∘48^\circ au lieu de les retirer : 360+4824\frac{360 + 48}{24}.

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Exercice 2

aABCDEF

Dans l'hexagone régulier ABCDEFABCDEF de côté aa, quelle est la longueur de la diagonale ACAC ?

  1. a3a\sqrt{3}
  2. 2a2a
  3. a32\dfrac{a\sqrt{3}}{2}
  4. a2a\sqrt{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A a3a\sqrt{3}

Corrigé :

∠ABC=120∘\angle ABC = 120^\circ

le triangle ABCABC est isocèle en BB

AC=2⋅asin⁡60∘=a3\begin{aligned}AC &= 2 \cdot a \sin 60^\circ \\ &= a\sqrt{3}\end{aligned}

la hauteur issue de BB coupe ACAC en deux moitiés de a32\frac{a\sqrt{3}}{2}

La bonne réponse : « a3a\sqrt{3} ». « 2a2a » est la longueur de ADAD, la diagonale qui passe par le centre. « a2a\sqrt{2} » est la diagonale d'un carré de côté aa. « a32\dfrac{a\sqrt{3}}{2} » est la hauteur d'un triangle équilatéral : la moitié de ACAC seulement.

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Exercice 3

L'angle intérieur d'un polygone régulier vaut kk fois son angle extérieur. Combien de côtés a ce polygone ?

  1. 2k+22k + 2
  2. 2k2k
  3. k+1k + 1
  4. 180k+1\dfrac{180}{k + 1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 2k+22k + 2

Corrigé :

e+ke=180∘e + ke = 180^\circ

un angle intérieur et son angle extérieur font un angle plat

e=180∘k+1e = \dfrac{180^\circ}{k + 1}
n=360∘e=2(k+1)=2k+2\begin{aligned}n &= \dfrac{360^\circ}{e} \\ &= 2(k + 1) \\ &= 2k + 2\end{aligned}

La bonne réponse : « 2k+22k + 2 ». Par exemple, pour k=4k = 4 : e=36∘e = 36^\circ et n=10n = 10. « k+1k + 1 » écrit e+ke=360∘e + ke = 360^\circ, un tour au lieu d'un angle plat. « 2k2k » écrit ke=180∘ke = 180^\circ : il oublie l'angle extérieur lui-même dans l'angle plat. « 180k+1\dfrac{180}{k + 1} » s'arrête à l'angle extérieur, en degrés.

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Exercice 4

ABCDEF

L'hexagone régulier ABCDEFABCDEF a une aire de 9090. Quelle est l'aire du quadrilatère grisé ABCEABCE ?

  1. 6060
  2. 4545
  3. 3030
  4. 7575
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 6060

Corrigé :

SCDE=SEFA=906=15\begin{aligned}S_{CDE} &= S_{EFA} \\ &= \dfrac{90}{6} \\ &= 15\end{aligned}

chaque triangle laissé dehors vaut un des six équilatéraux

SABCE=90−15−15=60\begin{aligned}S_{ABCE} &= 90 - 15 - 15 \\ &= 60\end{aligned}

La bonne réponse : « 6060 ». « 7575 » ne retire qu'un des deux triangles laissés dehors. « 4545 » prend ABCEABCE pour un demi-hexagone, comme si CECE passait par le centre. « 3030 » prend chaque triangle retiré pour un tiers de l'hexagone : 90−30−3090 - 30 - 30.

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Exercice 5

85°xP

Deux pentagones réguliers et un triangle ont un sommet commun PP et ne se chevauchent pas, comme sur la figure, qui n'est pas à l'échelle. L'angle du triangle en PP mesure 85∘85^\circ. Combien mesure l'angle xx ?

  1. 167∘167^\circ
  2. 59∘59^\circ
  3. 35∘35^\circ
  4. 131∘131^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 59∘59^\circ

Corrigé :

(5−2)⋅180∘5=108∘\dfrac{(5 - 2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ

l'angle du pentagone régulier

x=360∘−2⋅108∘−85∘=59∘\begin{aligned}x &= 360^\circ - 2 \cdot 108^\circ - 85^\circ \\ &= 59^\circ\end{aligned}

autour de PP, un tour

La bonne réponse : « 59∘59^\circ ». « 167∘167^\circ » ne retire qu'un des deux pentagones. « 35∘35^\circ » donne au pentagone l'angle de 120∘120^\circ, celui de l'hexagone. « 131∘131^\circ » lui donne 72∘72^\circ, son angle extérieur.

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Exercice 6

βABCDEF

Dans l'hexagone convexe ABCDEFABCDEF de la figure, les angles en AA, BB et CC sont droits, et l'angle en DD mesure β\beta. Que vaut la somme des angles en EE et en FF ?

  1. 270∘−β270^\circ - \beta
  2. 450∘−β450^\circ - \beta
  3. 720∘−β720^\circ - \beta
  4. 630∘−β630^\circ - \beta
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 450∘−β450^\circ - \beta

Corrigé :

(6−2)⋅180∘=720∘(6 - 2) \cdot 180^\circ = 720^\circ

la somme des angles de l'hexagone

720∘−3⋅90∘−β=450∘−β720^\circ - 3 \cdot 90^\circ - \beta = 450^\circ - \beta

La bonne réponse : « 450∘−β450^\circ - \beta ». « 270∘−β270^\circ - \beta » part de 540∘540^\circ, la somme du pentagone. « 630∘−β630^\circ - \beta » ne retire qu'un des trois angles droits. « 720∘−β720^\circ - \beta » oublie les trois angles droits.

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Exercice 7

Laquelle des données suivantes suffit à connaître le périmètre d'un losange ?

  1. la longueur d'une de ses diagonales
  2. son aire et un de ses angles
  3. son aire
  4. deux de ses angles
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B son aire et un de ses angles

Corrigé :

S=c2sin⁡θS = c^2 \sin \theta

l'aire d'un losange de côté cc et d'angle θ\theta

c=Ssin⁡θP=4c\begin{aligned}c &= \sqrt{\dfrac{S}{\sin \theta}} \\ \quad P &= 4c\end{aligned}

l'aire et l'angle donnent le côté

La bonne réponse : « son aire et un de ses angles ». « son aire » ne suffit pas : un carré de côté 55 et un losange de côté 50\sqrt{50} et d'angle 30∘30^\circ ont tous deux une aire de 2525. « la longueur d'une de ses diagonales » laisse l'autre libre : une diagonale de 66 va avec un côté de 55 comme avec un côté de 1010. « deux de ses angles » fixent la forme, pas la taille.

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Exercice 8

Parmi les angles d'un polygone convexe, il y en a trois dont les mesures sont deux à deux différentes. Lequel des polygones suivants ce polygone ne peut-il pas être ?

  1. un quadrilatère qui a deux angles droits
  2. un pentagone
  3. un trapèze
  4. un parallélogramme
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D un parallélogramme

Corrigé :

α,  180∘−α,  α,  180∘−α\alpha,\; 180^\circ - \alpha,\; \alpha,\; 180^\circ - \alpha

les angles d'un parallélogramme : deux valeurs au plus

90∘,90∘,60∘,120∘90^\circ, 90^\circ, 60^\circ, 120^\circ

un trapèze rectangle, qui a aussi deux angles droits : trois valeurs

100∘,100∘,110∘,110∘,120∘100^\circ, 100^\circ, 110^\circ, 110^\circ, 120^\circ

un pentagone : trois valeurs

La bonne réponse : « un parallélogramme ». « un pentagone » suppose que le polygone n'a que les trois angles cités, donc qu'il est un triangle ; il peut en avoir d'autres. « un trapèze » pense au seul trapèze isocèle, qui n'a que deux valeurs ; un trapèze rectangle en a trois. « un quadrilatère qui a deux angles droits » croit que les deux autres angles sont alors égaux ; ils peuvent valoir 60∘60^\circ et 120∘120^\circ.

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Exercice 9

k

Un hexagone régulier est inscrit dans un rectangle, comme sur la figure : deux de ses côtés sont posés sur les grands côtés du rectangle, et ses deux autres sommets touchent les petits côtés. Le petit côté du rectangle mesure kk. Quel est le périmètre de l'hexagone ?

  1. 3k3k
  2. 6k6k
  3. 32 k3\sqrt{2}\,k
  4. 23 k2\sqrt{3}\,k
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 23 k2\sqrt{3}\,k

Corrigé :

k=2⋅a32=a3\begin{aligned}k &= 2 \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \\ &= a\sqrt{3}\end{aligned}

le petit côté vaut deux hauteurs de triangle équilatéral

a=k3a = \dfrac{k}{\sqrt{3}}
6a=6k3=23 k\begin{aligned}6a &= \dfrac{6k}{\sqrt{3}} \\ &= 2\sqrt{3}\,k\end{aligned}

La bonne réponse : « 23 k2\sqrt{3}\,k ». « 3k3k » prend le petit côté pour la grande diagonale, k=2ak = 2a : c'est le GRAND côté du rectangle qui la porte. « 32 k3\sqrt{2}\,k » utilise 2\sqrt{2}, comme dans un carré : a=k2a = \frac{k}{\sqrt{2}}. « 6k6k » prend le petit côté égal au côté de l'hexagone.

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Exercice 10

rABCDEFO

Un cercle de rayon rr est tangent aux six côtés d'un hexagone régulier. Que vaut l'aire de cet hexagone ?

  1. 23 r22\sqrt{3}\,r^2
  2. 43 r24\sqrt{3}\,r^2
  3. 63 r26\sqrt{3}\,r^2
  4. 332 r2\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,r^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 23 r22\sqrt{3}\,r^2

Corrigé :

r=a32⇒a=2r3\begin{aligned}r &= \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a \\ &= \dfrac{2r}{\sqrt{3}}\end{aligned}

le rayon inscrit est la hauteur d'un des six triangles équilatéraux

6⋅a⋅r2=3ar=3⋅2r3⋅r=23 r2\begin{aligned}6 \cdot \dfrac{a \cdot r}{2} &= 3ar \\ &= 3 \cdot \dfrac{2r}{\sqrt{3}} \cdot r \\ &= 2\sqrt{3}\,r^2\end{aligned}

six triangles de base aa et de hauteur rr

La bonne réponse : « 23 r22\sqrt{3}\,r^2 ». « 332 r2\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,r^2 » prend rr pour le rayon du cercle CIRCONSCRIT, qui vaut le côté. « 43 r24\sqrt{3}\,r^2 » oublie de diviser par 22 l'aire de chaque triangle. « 63 r26\sqrt{3}\,r^2 » prend rr pour la moitié du côté, a=2ra = 2r.

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