Série 3 — Retirer, accoler, relier · Polygones · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, rangées de la plus simple à la plus exigeante. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours de méthode avant de continuer.

Le réflexe de la série : ce qu'on retire se nomme avant de se soustraire. Coins d'un quadrillage, triangles hors d'un hexagone, demi-carrés aux coins d'un octogone : écrivez chaque morceau et sa mesure. Et quand deux polygones sont reliés par une équation, gardez le $(n - 2)$ des deux côtés.

Exercices

Exercice 1

Un octogone convexe a deux angles droits, et ses six autres angles sont égaux. Combien mesure chacun de ces six angles ?

$120^\circ$
$165^\circ$
$135^\circ$
$150^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $150^\circ$

Corrigé :

(8 - 2) \cdot 180^\circ = 1\,080^\circ

la somme des angles de l'octogone

\begin{aligned}\dfrac{1\,080^\circ - 2 \cdot 90^\circ}{6} &= \dfrac{900^\circ}{6} \\ &= 150^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $150^\circ$ ». « $135^\circ$ » est l'angle de l'octogone RÉGULIER : il oublie les deux angles droits. « $120^\circ$ » partage $720^\circ$ , la somme de l'hexagone. « $165^\circ$ » ne retire qu'un angle droit.

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Exercice 2

Sur un quadrillage de carreaux de côté $1$ , on a coupé les quatre coins d'un rectangle de $8$ carreaux sur $6$ pour obtenir l'octogone grisé de la figure. Deux coins opposés sont des triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit mesurent $3$ carreaux chacun ; les deux autres, des triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit mesurent $1$ carreau chacun. Quelle est l'aire de l'octogone ?

$42$
$38$
$34$
$28$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $38$

Corrigé :

8 \times 6 = 48

le rectangle englobant

\begin{aligned}2 \cdot \dfrac{3 \times 3}{2} + 2 \cdot \dfrac{1 \times 1}{2} &= 9 + 1 \\ &= 10\end{aligned}

deux coins de côtés $3$ et $3$ , deux coins de côtés $1$ et $1$

48 - 10 = 38

La bonne réponse : « $38$ ». « $42$ » compte comme entiers les demi-carreaux coupés restés dans l'octogone : il ne retire que les carreaux entiers des coins. « $34$ » compte comme entiers les demi-carreaux coupés du côté des coins. « $28$ » retire aux coins des carrés entiers, $3 \times 3$ et $1 \times 1$ , au lieu de demi-carrés.

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Exercice 3

Un polygone convexe a $n$ côtés. On lui ajoute un sommet pour obtenir un polygone convexe à $n + 1$ côtés. Combien de diagonales le nouveau polygone a-t-il de plus que l'ancien ?

$n$
$n - 2$
$n - 3$
$n - 1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $n - 1$

Corrigé :

\dfrac{(n + 1)(n - 2)}{2} - \dfrac{n(n - 3)}{2}

= \dfrac{n^2 - n - 2 - n^2 + 3n}{2} = n - 1

La bonne réponse : « $n - 1$ ». Le nouveau sommet porte $n - 2$ diagonales, et le côté qu'il remplace devient une diagonale de plus. « $n - 2$ » ne compte que les diagonales du nouveau sommet. « $n - 3$ » applique « $n - 3$ diagonales par sommet » au polygone de départ. « $n$ » compte tous les segments du nouveau sommet vers les $n$ anciens, ses deux côtés compris.

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Exercice 4

L'hexagone régulier $ABCDEF$ a une aire de $72$ . Quelle est l'aire du rectangle grisé $ABDE$ ?

$48$
$36$
$24$
$60$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $48$

Corrigé :

\begin{aligned}S_{BCD} &= S_{EFA} \\ &= \dfrac{72}{6} \\ &= 12\end{aligned}

chaque triangle laissé dehors vaut un des six équilatéraux

\begin{aligned}S_{ABDE} &= 72 - 12 - 12 \\ &= 48\end{aligned}

La bonne réponse : « $48$ ». « $36$ » prend $ABDE$ pour un demi-hexagone. « $60$ » ne retire qu'un des deux triangles laissés dehors. « $24$ » prend chaque triangle retiré pour un tiers de l'hexagone.

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Exercice 5

Le polygone convexe $Q$ a $k$ côtés de plus que le polygone convexe $P$ , et la somme de ses angles intérieurs est le double de celle de $P$ . Combien de côtés a $P$ ?

$k$
$k - 2$
$k + 2$
$k + 4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $k + 2$

Corrigé :

(n + k - 2) \cdot 180^\circ = 2(n - 2) \cdot 180^\circ

si $P$ a $n$ côtés

\begin{aligned}n + k - 2 &= 2n - 4 \Rightarrow n \\ &= k + 2\end{aligned}

La bonne réponse : « $k + 2$ ». Par exemple, pour $k = 3$ : un pentagone ( $540^\circ$ ) et un octogone ( $1\,080^\circ$ ). « $k$ » double le nombre de côtés au lieu de la somme : $n + k = 2n$ . « $k - 2$ » ne retranche $2$ que d'un côté : $n + k - 2 = 2n$ . « $k + 4$ » oublie le $-2$ de $Q$ : $n + k = 2(n - 2)$ .

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Exercice 6

Trois des angles d'un polygone convexe mesurent $60^\circ$ , $100^\circ$ et $150^\circ$ . Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

Le polygone est un quadrilatère
Le polygone a au moins cinq côtés
Le polygone n'est pas un trapèze
Le polygone n'a aucun angle droit

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C Le polygone n'est pas un trapèze

Corrigé :

60^\circ + 100^\circ + 150^\circ + 50^\circ = 360^\circ

si c'est un quadrilatère, son quatrième angle mesure $50^\circ$

60 + 50,\; 60 + 100,\; 60 + 150,\; 100 + 50,\; 100 + 150,\; 150 + 50 \ne 180

aucune paire supplémentaire : pas de côtés parallèles, donc pas de trapèze

60^\circ + 100^\circ + 150^\circ + 90^\circ + 140^\circ = 540^\circ

un pentagone existe aussi, et il peut avoir un angle droit

La bonne réponse : « Le polygone n'est pas un trapèze ». Dans un trapèze, les deux angles d'un même côté non parallèle sont supplémentaires. « Le polygone a au moins cinq côtés » oublie le quadrilatère dont le quatrième angle mesure $50^\circ$ . « Le polygone est un quadrilatère » oublie que le polygone peut avoir d'autres angles que les trois cités : un pentagone convient aussi. « Le polygone n'a aucun angle droit » ne regarde que les trois angles cités ; le pentagone de $540^\circ$ peut compléter avec $90^\circ$ et $140^\circ$ .

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Exercice 7

Un pentagone régulier $ABCDE$ et un carré $ABFG$ ont le côté $AB$ en commun ; ils se trouvent de part et d'autre de $AB$ (figure). Combien mesure l'angle $AEG$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$9^\circ$
$18^\circ$
$81^\circ$
$162^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $9^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\angle EAG &= 360^\circ - 108^\circ - 90^\circ \\ &= 162^\circ\end{aligned}

autour de $A$ , un tour

\begin{aligned}AE &= AB \\ &= AG\end{aligned}

le triangle $AEG$ est isocèle en $A$

\begin{aligned}\angle AEG &= \dfrac{180^\circ - 162^\circ}{2} \\ &= 9^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $9^\circ$ ». « $162^\circ$ » est l'angle en $A$ , pas en $E$ . « $18^\circ$ » oublie de partager entre les deux angles égaux de la base. « $81^\circ$ » prend l'angle en $A$ pour $18^\circ$ , le supplément de $162^\circ$ , puis calcule $\frac{180^\circ - 18^\circ}{2}$ .

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Exercice 8

Un hexagone régulier de côté $a$ est inscrit dans un rectangle, comme sur la figure : deux de ses côtés sont posés sur les grands côtés du rectangle, et ses deux autres sommets touchent les petits côtés. Quelle est l'aire du rectangle ?

$3\sqrt{3}\,a^2$
$2\sqrt{3}\,a^2$
$\sqrt{3}\,a^2$
$4a^2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $2\sqrt{3}\,a^2$

Corrigé :

\text{largeur} = 2a

deux sommets opposés : la grande diagonale, deux côtés

\begin{aligned}\text{hauteur} &= 2 \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \\ &= a\sqrt{3}\end{aligned}

deux hauteurs de triangle équilatéral

2a \cdot a\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\,a^2

La bonne réponse : « $2\sqrt{3}\,a^2$ ». « $4a^2$ » prend la hauteur égale à deux côtés, comme la largeur. « $\sqrt{3}\,a^2$ » prend pour hauteur celle d'UN seul triangle équilatéral. « $3\sqrt{3}\,a^2$ » prend la largeur égale à trois côtés.

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Exercice 9

Un octogone régulier de côté $a$ est inscrit dans un carré : quatre de ses côtés sont posés sur les côtés du carré (figure). Quel est le côté du carré ?

$a(2 + \sqrt{2})$
$3a$
$a\left(1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$a(1 + \sqrt{2})$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $a(1 + \sqrt{2})$

Corrigé :

\begin{aligned}x\sqrt{2} &= a \Rightarrow x \\ &= \dfrac{a}{\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

chaque coin est un demi-carré d'hypoténuse $a$

\begin{aligned}x + a + x &= a + a\sqrt{2} \\ &= a(1 + \sqrt{2})\end{aligned}

un côté du carré

La bonne réponse : « $a(1 + \sqrt{2})$ ». « $3a$ » confond les côtés de l'angle droit du coin avec le côté de l'octogone. « $a\left(1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ » oublie un des deux coins du côté. « $a(2 + \sqrt{2})$ » prend le côté $a$ pour un côté de l'angle droit du coin : l'hypoténuse $a\sqrt{2}$ se retrouve au milieu.

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Exercice 10

Le polygone régulier $Q$ a deux fois plus de côtés que le polygone régulier $P$ , et son angle intérieur dépasse de $30^\circ$ celui de $P$ . Combien de côtés a $Q$ ?

$24$
$6$
$12$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $12$

Corrigé :

\dfrac{360^\circ}{n} - \dfrac{360^\circ}{2n} = \dfrac{180^\circ}{n}

l'écart des angles intérieurs est l'écart des angles extérieurs

\begin{aligned}\dfrac{180^\circ}{n} &= 30^\circ \Rightarrow n \\ &= 6\end{aligned}

$P$ est un hexagone

2n = 12

La bonne réponse : « $12$ ». Un hexagone ( $120^\circ$ ) et un dodécagone ( $150^\circ$ ). « $6$ » est le nombre de côtés de $P$ . « $24$ » prend $30^\circ$ pour l'angle extérieur de $P$ : $n = 12$ , puis double. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut connaître un des deux angles ; l'écart et le rapport des côtés suffisent.

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Exercices

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