Série 4 — Hexagone, octogone et cercle · Polygones · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, rangées de la plus simple à la plus exigeante. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours de méthode avant de continuer.

Le réflexe de la série : ramenez chaque longueur au côté. Dans l'hexagone, le rayon inscrit vaut $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ ; dans l'octogone, les coins ont des côtés $\frac{a}{\sqrt{2}}$ . Écrivez la relation avec $a$ , puis seulement remplacez.

Exercices

Exercice 1

Un polygone régulier est inscrit dans un cercle de rayon $10$ , et chacun de ses côtés mesure au moins $11$ . Combien de côtés ce polygone peut-il avoir, au plus ?

$7$
$6$
$5$
Aucun nombre : le côté est toujours plus court que le rayon

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $5$

Corrigé :

\begin{aligned}n &= 6 : \text{côté} \\ &= 10 < 11\end{aligned}

l'hexagone inscrit a un côté égal au rayon

\begin{aligned}n &= 5 : \text{côté} \\ &= 2 \cdot 10 \sin 36^\circ \approx 11{,}76\end{aligned}

l'angle au centre de $72^\circ$ dépasse $60^\circ$ : le côté dépasse le rayon

n \le 5

plus il y a de côtés, plus ils sont courts

La bonne réponse : « $5$ ». « $6$ » croit que l'hexagone convient ; son côté vaut le rayon, $10$ , moins que $11$ . « $7$ » renverse le sens : plus il y a de côtés, plus ils sont courts. « Aucun nombre : le côté est toujours plus court que le rayon » oublie le triangle, le carré et le pentagone, dont le côté dépasse le rayon.

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Exercice 2

Autour d'un point, on veut poser sans trou ni chevauchement un carré, un hexagone régulier et des triangles équilatéraux, tous de même côté. Combien de triangles faut-il ?

$4$
Aucun nombre ne convient
$3$
$2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B Aucun nombre ne convient

Corrigé :

360^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 150^\circ

l'angle qui reste au point

\dfrac{150^\circ}{60^\circ} = 2{,}5

pas un nombre entier de triangles

La bonne réponse : « Aucun nombre ne convient ». « $2$ » donne à l'hexagone l'angle de $150^\circ$ : il resterait $120^\circ$ . « $4$ » oublie le carré : $\frac{240^\circ}{60^\circ}$ . « $3$ » arrondit $2{,}5$ ; un demi-triangle laisse un trou.

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Exercice 3

Un hexagone régulier a pour périmètre $p$ . Quel est le rayon du cercle inscrit dans cet hexagone ?

$\dfrac{p}{6}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{12}\,p$
$\dfrac{\sqrt{3}}{6}\,p$
$\dfrac{p}{12}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\dfrac{\sqrt{3}}{12}\,p$

Corrigé :

a = \dfrac{p}{6}

le côté

\begin{aligned}r &= \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{12}\,p\end{aligned}

le rayon inscrit est la hauteur d'un des six triangles équilatéraux

La bonne réponse : « $\dfrac{\sqrt{3}}{12}\,p$ ». « $\dfrac{p}{6}$ » prend le rayon inscrit pour le rayon circonscrit, qui vaut le côté. « $\dfrac{p}{12}$ » prend la moitié du côté. « $\dfrac{\sqrt{3}}{6}\,p$ » vaut $a\sqrt{3}$ : deux hauteurs, la diagonale $AC$ , au lieu d'une.

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Exercice 4

On additionne tous les angles intérieurs d'un polygone convexe, sauf un, et l'on trouve $1\,000^\circ$ . Combien de côtés a ce polygone ?

$6$
$8$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$7$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $8$

Corrigé :

\begin{aligned}(n - 2) \cdot 180^\circ &= 1\,000^\circ + x \\ \quad 0^\circ < x < 180^\circ\end{aligned}

$x$ est l'angle oublié

1\,000 < (n - 2) \cdot 180 < 1\,180 \Rightarrow (n - 2) \cdot 180 = 1\,080

le seul multiple de $180$ dans l'intervalle

\begin{aligned}n &= 8 \\ \quad x &= 80^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $8$ ». La somme doit être un multiple de $180^\circ$ , et l'angle oublié est plus petit qu'un angle plat. « $7$ » arrondit $\frac{1\,000}{180} \approx 5{,}6$ vers le bas avant d'ajouter $2$ : la somme serait alors inférieure aux angles déjà comptés. « $6$ » arrondit $5{,}6$ à $6$ et oublie d'ajouter $2$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut connaître l'angle oublié ; la contrainte $0^\circ < x < 180^\circ$ le fixe.

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Exercice 5

On prolonge les côtés d'un pentagone régulier jusqu'à ce qu'ils se coupent : on obtient une étoile à cinq branches (la figure montre le pentagone et l'amorce des prolongements). Combien mesure l'angle à la pointe de chaque branche ?

$144^\circ$
$36^\circ$
$108^\circ$
$72^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $36^\circ$

Corrigé :

180^\circ - 108^\circ = 72^\circ

chaque angle à la base d'une branche est un angle extérieur du pentagone

180^\circ - 2 \cdot 72^\circ = 36^\circ

la branche est un triangle isocèle

La bonne réponse : « $36^\circ$ ». « $72^\circ$ » est l'angle à la BASE de la branche, l'angle extérieur du pentagone. « $108^\circ$ » est l'angle intérieur du pentagone. « $144^\circ$ » est la somme des deux angles à la base, qu'il fallait retirer de $180^\circ$ .

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Exercice 6

La distance entre deux côtés opposés d'un octogone régulier est $10$ (figure). Quel est le côté de l'octogone ?

$10(\sqrt{2} - 1)$
$10(2 - \sqrt{2})$
$10 - 5\sqrt{2}$
$\dfrac{10}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $10(\sqrt{2} - 1)$

Corrigé :

\begin{aligned}\dfrac{a}{\sqrt{2}} + a + \dfrac{a}{\sqrt{2}} &= a(1 + \sqrt{2}) \\ &= 10\end{aligned}

un côté, et deux projections de côtés à $45^\circ$

\begin{aligned}a &= \dfrac{10}{1 + \sqrt{2}} \\ &= 10(\sqrt{2} - 1)\end{aligned}

La bonne réponse : « $10(\sqrt{2} - 1)$ ». « $\dfrac{10}{3}$ » prend chaque projection égale au côté : $3a = 10$ . « $10(2 - \sqrt{2})$ » oublie une des deux projections : $a\left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 10$ . « $10 - 5\sqrt{2}$ » prend $a$ pour un côté de l'angle droit du coin : $a + a\sqrt{2} + a = 10$ .

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Exercice 7

Dans le pentagone régulier $ABCDE$ , les diagonales $AC$ et $BD$ se coupent en $P$ (figure). Combien mesure l'angle $APB$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$72^\circ$
$90^\circ$
$36^\circ$
$108^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $72^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\angle BAC &= \dfrac{180^\circ - 108^\circ}{2} \\ &= 36^\circ\end{aligned}

le triangle $ABC$ est isocèle en $B$

\begin{aligned}\angle ABD &= 108^\circ - \angle CBD \\ &= 108^\circ - 36^\circ \\ &= 72^\circ\end{aligned}

le triangle $BCD$ est isocèle en $C$

\begin{aligned}\angle APB &= 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ \\ &= 72^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $72^\circ$ ». « $108^\circ$ » est l'angle voisin, $\angle APD$ , son supplément. « $36^\circ$ » est l'angle $BAC$ , en $A$ et non en $P$ . « $90^\circ$ » suppose les diagonales perpendiculaires, comme dans un carré.

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Exercice 8

Combien d'angles aigus un octogone convexe peut-il avoir, au plus ?

$8$
$4$
$3$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données

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Réponse : C $3$

Corrigé :

\text{angle aigu} \Rightarrow \text{angle extérieur} > 90^\circ

4 \cdot 90^\circ = 360^\circ

quatre angles extérieurs de plus de $90^\circ$ dépasseraient le tour

3 \cdot 100^\circ + 5 \cdot 12^\circ = 360^\circ

trois angles de $80^\circ$ et cinq de $168^\circ$ : trois suffisent

La bonne réponse : « $3$ ». « $4$ » accepte quatre angles extérieurs de $90^\circ$ pile ; un angle aigu en laisse un de PLUS de $90^\circ$ . « $8$ » ne voit aucune contrainte : il oublie que les angles extérieurs font un seul tour. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit que la réponse dépend de la forme ; la borne vaut pour tout polygone convexe.

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Exercice 9

Quelle est l'aire d'un octogone régulier de côté $a$ ?

$a^2(1 + 2\sqrt{2})$
$7a^2$
$a^2(3 + 2\sqrt{2})$
$2a^2(1 + \sqrt{2})$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $2a^2(1 + \sqrt{2})$

Corrigé :

\begin{aligned}c &= a(1 + \sqrt{2}) \\ \quad c^2 &= a^2(3 + 2\sqrt{2})\end{aligned}

le carré qui l'entoure

4 \cdot \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = a^2

les quatre coins, des demi-carrés de côtés $\frac{a}{\sqrt{2}}$

a^2(3 + 2\sqrt{2}) - a^2 = 2a^2(1 + \sqrt{2})

La bonne réponse : « $2a^2(1 + \sqrt{2})$ ». « $a^2(1 + 2\sqrt{2})$ » retire des coins CARRÉS, $4 \cdot \frac{a^2}{2}$ , au lieu de demi-carrés. « $a^2(3 + 2\sqrt{2})$ » oublie de retirer les coins. « $7a^2$ » prend les côtés de l'angle droit des coins égaux à $a$ : un carré de $3a$ , moins $2a^2$ .

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Exercice 10

La figure montre le cas

n = 9

Un polygone régulier à $n$ côtés est inscrit dans un cercle. $A$ et $B$ sont deux sommets voisins, et $P$ est un autre sommet. Combien mesure l'angle $APB$ ?

$\dfrac{360^\circ}{n}$
$90^\circ - \dfrac{180^\circ}{n}$
$\dfrac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$
$\dfrac{180^\circ}{n}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{180^\circ}{n}$

Corrigé :

\angle AOB = \dfrac{360^\circ}{n}

l'angle au centre qui intercepte le côté $AB$

\begin{aligned}\angle APB &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{360^\circ}{n} \\ &= \dfrac{180^\circ}{n}\end{aligned}

$P$ est sur le cercle : l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre

La bonne réponse : « $\dfrac{180^\circ}{n}$ ». « $\dfrac{360^\circ}{n}$ » est l'angle au centre, pas l'angle inscrit. « $\dfrac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$ » est l'angle intérieur du polygone. « $90^\circ - \dfrac{180^\circ}{n}$ » est l'angle $OAB$ , à la base du triangle isocèle $AOB$ .

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Exercices

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