Série 5 — Le niveau de l'examen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions au format de l'examen, rangées de la plus simple à la plus exigeante. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours de méthode avant de continuer.

À ce niveau, chaque question cache une étape : un angle inscrit qui vaut la moitié de l'angle au centre, un triangle isocèle né de deux côtés égaux, un nombre de côtés qui doit être entier. Avant de cocher, vérifiez que votre nn est un entier et que votre angle est possible.

Exercices

Exercice 1

On additionne tous les angles intérieurs d'un polygone convexe et tous ses angles extérieurs, un par sommet. On trouve 2 520∘2\,520^\circ. Combien de côtés a ce polygone ?

  1. 1616
  2. 77
  3. 1414
  4. 1212
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Réponse : C 1414

Corrigé :

angle inteˊrieur+angle exteˊrieur=180∘\text{angle intérieur} + \text{angle extérieur} = 180^\circ

en chaque sommet

180∘⋅n=2 520∘⇒n=14\begin{aligned}180^\circ \cdot n &= 2\,520^\circ \Rightarrow n \\ &= 14\end{aligned}

La bonne réponse : « 1414 ». Autre lecture : (n−2)⋅180∘+360∘=180∘⋅n(n - 2) \cdot 180^\circ + 360^\circ = 180^\circ \cdot n. « 1616 » écrit (n−2)⋅180∘=2 520∘(n - 2) \cdot 180^\circ = 2\,520^\circ : il oublie les angles extérieurs. « 1212 » retire bien les 360∘360^\circ des angles extérieurs, mais oublie d'ajouter 22 : 2 160180=12\frac{2\,160}{180} = 12 est n−2n - 2. « 77 » divise par 360∘360^\circ au lieu de 180∘180^\circ.

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Exercice 2

La somme des angles intérieurs du polygone convexe QQ dépasse de 50 %50\,\% celle du polygone convexe PP, et QQ a 33 côtés de plus que PP. Combien de côtés a PP ?

  1. 88
  2. 1212
  3. 66
  4. 1414
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 88

Corrigé :

SQ−SP=3⋅180∘=540∘\begin{aligned}S_Q - S_P &= 3 \cdot 180^\circ \\ &= 540^\circ\end{aligned}

trois côtés de plus, trois angles plats de plus

540∘=50 % de SP⇒SP=1 080∘\begin{aligned}540^\circ &= 50\,\% \text{ de } S_P \Rightarrow S_P \\ &= 1\,080^\circ\end{aligned}
n−2=6⇒n=8\begin{aligned}n - 2 &= 6 \Rightarrow n \\ &= 8\end{aligned}

La bonne réponse : « 88 ». Un octogone (1 080∘1\,080^\circ) et un hendécagone (1 620∘1\,620^\circ). « 66 » rend les nombres de côtés proportionnels aux sommes : n+3=1,5 nn + 3 = 1{,}5\,n. « 1212 » oublie le −2-2 de QQ : n+3=1,5(n−2)n + 3 = 1{,}5(n - 2). « 1414 » compte 360∘360^\circ par côté ajouté : SP=2 160∘S_P = 2\,160^\circ.

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Exercice 3

L'angle intérieur d'un polygone régulier mesure un nombre entier de degrés. Lequel des nombres suivants ne peut pas être cette mesure ?

  1. 160∘160^\circ
  2. 162∘162^\circ
  3. 173∘173^\circ
  4. 175∘175^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 173∘173^\circ

Corrigé :

180∘−x doit diviser 360∘180^\circ - x \text{ doit diviser } 360^\circ

l'angle extérieur partage le tour en nn parts égales

20→18,18→20,5→7220 \to 18,\quad 18 \to 20,\quad 5 \to 72

160∘160^\circ, 162∘162^\circ et 175∘175^\circ conviennent

3607≈51,4\dfrac{360}{7} \approx 51{,}4

173∘173^\circ laisse un angle extérieur de 7∘7^\circ : impossible

La bonne réponse : « 173∘173^\circ ». « 160∘160^\circ » teste si l'angle INTÉRIEUR divise 360∘360^\circ ; c'est l'angle extérieur, 20∘20^\circ, qui le divise : 1818 côtés. « 162∘162^\circ » retourne la formule de la somme, 162180+2\frac{162}{180} + 2, comme si 162∘162^\circ était une somme d'angles ; l'angle extérieur, 18∘18^\circ, donne 2020 côtés. « 175∘175^\circ » croit qu'un angle si proche de 180∘180^\circ est impossible ; il donne 7272 côtés.

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Exercice 4

ABCDEF

Dans l'hexagone régulier ABCDEFABCDEF de côté aa, quel est le périmètre du triangle grisé ACDACD ?

  1. a(3+3)a(3 + \sqrt{3})
  2. 5a5a
  3. a(2+3)a(2 + \sqrt{3})
  4. 33 a3\sqrt{3}\,a
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A a(3+3)a(3 + \sqrt{3})

Corrigé :

AC=a3AC = a\sqrt{3}

deux hauteurs de triangle équilatéral

CD=aAD=2a\begin{aligned}CD &= a \\ \quad AD &= 2a\end{aligned}

ADAD passe par le centre : deux rayons

a3+a+2a=a(3+3)a\sqrt{3} + a + 2a = a(3 + \sqrt{3})

La bonne réponse : « a(3+3)a(3 + \sqrt{3}) ». « 33 a3\sqrt{3}\,a » croit ACDACD équilatéral, comme ACEACE. « a(2+3)a(2 + \sqrt{3}) » prend ADAD égal au côté. « 5a5a » prend ACAC égal à 2a2a, comme ADAD.

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Exercice 5

L'angle intérieur du polygone régulier PP mesure α\alpha. L'angle extérieur du polygone régulier QQ est trois fois plus petit que celui de PP. Combien mesure l'angle intérieur de QQ ?

  1. 180∘−α3180^\circ - \dfrac{\alpha}{3}
  2. 60∘−α360^\circ - \dfrac{\alpha}{3}
  3. α3\dfrac{\alpha}{3}
  4. 120∘+α3120^\circ + \dfrac{\alpha}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 120∘+α3120^\circ + \dfrac{\alpha}{3}

Corrigé :

eP=180∘−αe_P = 180^\circ - \alpha

l'angle extérieur de PP

eQ=180∘−α3=60∘−α3\begin{aligned}e_Q &= \dfrac{180^\circ - \alpha}{3} \\ &= 60^\circ - \dfrac{\alpha}{3}\end{aligned}
180∘−eQ=120∘+α3180^\circ - e_Q = 120^\circ + \dfrac{\alpha}{3}

l'angle intérieur de QQ

La bonne réponse : « 120∘+α3120^\circ + \dfrac{\alpha}{3} ». Pour α=120∘\alpha = 120^\circ : un hexagone, puis un polygone à 1818 côtés, d'angle 160∘160^\circ. « α3\dfrac{\alpha}{3} » divise l'angle INTÉRIEUR par trois. « 60∘−α360^\circ - \dfrac{\alpha}{3} » s'arrête à l'angle extérieur de QQ. « 180∘−α3180^\circ - \dfrac{\alpha}{3} » prend le tiers de l'angle intérieur de PP pour l'angle extérieur de QQ.

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Exercice 6

ABJKL

Un décagone régulier ABCDEFGHIJABCDEFGHIJ et un carré ABKLABKL ont le côté ABAB en commun ; ils se trouvent de part et d'autre de ABAB (figure). Combien mesure l'angle AJLAJL ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

  1. 126∘126^\circ
  2. 27∘27^\circ
  3. 63∘63^\circ
  4. 54∘54^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 27∘27^\circ

Corrigé :

(10−2)⋅180∘10=144∘\dfrac{(10 - 2) \cdot 180^\circ}{10} = 144^\circ

l'angle du décagone régulier

∠JAL=360∘−144∘−90∘=126∘\begin{aligned}\angle JAL &= 360^\circ - 144^\circ - 90^\circ \\ &= 126^\circ\end{aligned}

autour de AA

∠AJL=180∘−126∘2=27∘\begin{aligned}\angle AJL &= \dfrac{180^\circ - 126^\circ}{2} \\ &= 27^\circ\end{aligned}

AJ=AB=ALAJ = AB = AL : le triangle AJLAJL est isocèle en AA

La bonne réponse : « 27∘27^\circ ». « 126∘126^\circ » est l'angle en AA. « 54∘54^\circ » oublie de partager 180∘−126∘180^\circ - 126^\circ entre les deux angles de la base. « 63∘63^\circ » partage en deux l'angle en AA lui-même, au lieu de ce qui reste du triangle.

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Exercice 7

rO

Un hexagone régulier et un carré sont inscrits dans le même cercle de rayon rr (figure). De combien le périmètre de l'hexagone dépasse-t-il celui du carré ?

  1. r(6−22)r(6 - 2\sqrt{2})
  2. r(63−42)r(6\sqrt{3} - 4\sqrt{2})
  3. 2r2r
  4. r(6−42)r(6 - 4\sqrt{2})
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D r(6−42)r(6 - 4\sqrt{2})

Corrigé :

6⋅r=6r6 \cdot r = 6r

le côté de l'hexagone inscrit vaut le rayon

c2=2r⇒c=r24c=42 r\begin{aligned}c\sqrt{2} &= 2r \Rightarrow c \\ &= r\sqrt{2} \\ \quad 4c &= 4\sqrt{2}\,r\end{aligned}

la diagonale du carré est un diamètre

6r−42 r=r(6−42)6r - 4\sqrt{2}\,r = r(6 - 4\sqrt{2})

La bonne réponse : « r(6−42)r(6 - 4\sqrt{2}) ». « 2r2r » prend le côté du carré égal au rayon, comme celui de l'hexagone. « r(6−22)r(6 - 2\sqrt{2}) » prend le rayon, et non le diamètre, pour la diagonale du carré. « r(63−42)r(6\sqrt{3} - 4\sqrt{2}) » donne à l'hexagone des côtés de r3r\sqrt{3}, la longueur de la diagonale ACAC.

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Exercice 8

On cherche deux polygones réguliers, qui peuvent avoir le même nombre de côtés, dont les angles intérieurs ont pour somme 270∘270^\circ. Combien de paires de nombres de côtés conviennent, sans tenir compte de l'ordre ?

  1. 22
  2. une infinité
  3. 33
  4. 55
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Réponse : C 33

Corrigé :

360∘m+360∘n=360∘−270∘=90∘\begin{aligned}\dfrac{360^\circ}{m} + \dfrac{360^\circ}{n} &= 360^\circ - 270^\circ \\ &= 90^\circ\end{aligned}

les deux angles extérieurs

4m+4n=1  ⟺  (m−4)(n−4)=16\begin{aligned}\dfrac{4}{m} + \dfrac{4}{n} &= 1 \iff (m - 4)(n - 4) \\ &= 16\end{aligned}
{5,20},  {6,12},  {8,8}\{5, 20\},\; \{6, 12\},\; \{8, 8\}

16=1⋅16=2⋅8=4⋅416 = 1 \cdot 16 = 2 \cdot 8 = 4 \cdot 4

La bonne réponse : « 33 ». « 55 » compte les paires dans les deux ordres : (5,20)(5, 20) et (20,5)(20, 5) sont la même paire. « 22 » oublie la paire de deux octogones, 135∘+135∘135^\circ + 135^\circ. « une infinité » croit que toute répartition de 270∘270^\circ convient ; un angle de polygone régulier n'est pas quelconque.

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Exercice 9

On joint les milieux des côtés consécutifs d'un hexagone régulier : on obtient un second hexagone régulier, grisé sur la figure. Quelle fraction de l'aire du premier hexagone le second occupe-t-il ?

  1. 23\dfrac{2}{3}
  2. 34\dfrac{3}{4}
  3. 12\dfrac{1}{2}
  4. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 34\dfrac{3}{4}

Corrigé :

a′=a2⋅3=a32\begin{aligned}a' &= \dfrac{a}{2} \cdot \sqrt{3} \\ &= \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

deux demi-côtés de a2\frac{a}{2} et un angle de 120∘120^\circ, comme le triangle ABCABC à l'échelle 12\frac{1}{2}

(a′a)2=(32)2=34\begin{aligned}\left(\dfrac{a'}{a}\right)^2 &= \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\ &= \dfrac{3}{4}\end{aligned}

le rapport des aires est le carré du rapport des côtés

La bonne réponse : « 34\dfrac{3}{4} ». Chaque coin coupé vaut un quart d'un des six équilatéraux ; les six coins retirent donc 14\frac{1}{4} de l'hexagone. « 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} » est le rapport des côtés ; il faut l'élever au carré. « 12\dfrac{1}{2} » transpose le résultat du carré, dont les milieux forment un carré de moitié d'aire. « 23\dfrac{2}{3} » prend chaque coin pour une des 1818 pièces de l'étoile du cours : 618\frac{6}{18} retirés.

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Exercice 10

ABEHO

Les sommets A,B,C,…,LA, B, C, \ldots, L d'un dodécagone régulier se suivent dans cet ordre. Les diagonales AEAE et BHBH se coupent en PP (la figure montre le dodécagone et ces quatre sommets). Combien mesure l'angle APBAPB ?

  1. 15∘15^\circ
  2. 60∘60^\circ
  3. 120∘120^\circ
  4. 45∘45^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 60∘60^\circ

Corrigé :

AB⌢=30∘EH⌢=3⋅30∘=90∘\begin{aligned}\overset{\frown}{AB} &= 30^\circ \\ \quad \overset{\frown}{EH} &= 3 \cdot 30^\circ \\ &= 90^\circ\end{aligned}

chaque côté intercepte un arc de 360∘12\frac{360^\circ}{12}

∠APB=AB⌢+EH⌢2=30∘+90∘2=60∘\begin{aligned}\angle APB &= \dfrac{\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{EH}}{2} \\ &= \dfrac{30^\circ + 90^\circ}{2} \\ &= 60^\circ\end{aligned}

deux cordes qui se coupent dans le cercle : la demi-somme des deux arcs interceptés

La bonne réponse : « 60∘60^\circ ». On le voit aussi dans le triangle ABPABP : ∠BAE\angle BAE intercepte l'arc BEBE, soit 45∘45^\circ ; ∠ABH\angle ABH intercepte l'arc HAHA, soit 75∘75^\circ ; il reste 60∘60^\circ. « 120∘120^\circ » est l'angle voisin, APHAPH, qui intercepte les arcs BEBE et HAHA. « 15∘15^\circ » ne garde que la moitié de l'arc ABAB, comme pour un angle inscrit de sommet sur le cercle. « 45∘45^\circ » ne garde que la moitié de l'arc EHEH.

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