On résout ensemble

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Cinq questions, une par famille que l'examen ressort d'année en année : le calcul direct, le mélange, les variations successives, le pourcentage qui cache une divisibilité, le pourcentage de pourcentage.

Pour chacune : cherchez d'abord seul, puis ouvrez le corrigé. Il déroule le raisonnement et nomme le piège que la question tend.

À chaque étape du corrigé, demandez-vous ce que vous auriez fait avant de lire la suite. C'est l'écart entre votre réflexe et la méthode qui vous apprend quelque chose.

Mémo — à vérifier avant de cocher

✓\checkmark

J'ai converti le pourcentage en fraction simple quand c'était possible.

✓\checkmark

J'ai traduit chaque hausse ou baisse en multiplication.

✓\checkmark

Je sais de quoi chaque pourcentage est le pourcentage — la référence change souvent en cours d'énoncé.

✓\checkmark

Si aucun montant n'est donné, j'ai posé 100.

Le mélange : la quantité réelle d'abord

Un pourcentage de pourcentage

Exercices

Exercice 1

12 représente ______ de 96.

  1. 12,5%12{,}5\%
  2. 15%15\%
  3. 10%10\%
  4. 8%8\%
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 12,5%12{,}5\%

Corrigé :

1296\frac{12}{96}

« Quel pourcentage » = la partie sur le tout. On écrit la fraction avant de penser en pourcentages.

1296=18\frac{12}{96} = \frac{1}{8}

On simplifie d'abord — jamais de division posée à l'examen.

18=12,5%\frac{1}{8} = 12{,}5\%

La conversion apprise par cœur conclut. Remarquez le distracteur « 12 % » déguisé en 12,5 : la fraction, elle, ne se trompe pas.

12,5 %. Le chemin entier : fraction → simplification → conversion. Trois secondes, zéro division.

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Exercice 2

On verse 3 litres d'eau dans 2 litres d'un sirop qui contient 15 % de sucre. Quel est le pourcentage de sucre dans le mélange obtenu ?

  1. 7,5%7{,}5\%
  2. 10%10\%
  3. 5%5\%
  4. 6%6\%
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 6%6\%

Corrigé :

15%×2=0,315\% \times 2 = 0{,}3

Premier réflexe des mélanges : passer du pourcentage à la quantité réelle. Le sirop contient 0,3 L de sucre.

2+3=52 + 3 = 5

L'eau ajoutée ne change pas le sucre, mais elle change le tout : le mélange fait 5 L. C'est la référence du nouveau pourcentage.

0,35=6100=6%\begin{aligned}\frac{0{,}3}{5} &= \frac{6}{100} \\ &= 6\%\end{aligned}

Même sucre, tout plus grand : la concentration a chuté. Le distracteur 7,5 % vient d'une moyenne de 15 % et 0 % mal pondérée.

6 %. Dans un mélange, on ne travaille jamais sur les pourcentages directement : quantité réelle, nouveau total, nouvelle fraction.

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Exercice 3

Un commerçant majore un prix de 25 %, puis affiche « −20 % » sur le prix majoré. Par rapport au prix de départ, le prix final est :

  1. plus haut de 5 %
  2. égal au prix de départ
  3. plus haut de 45 %
  4. plus bas de 5 %
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B égal au prix de départ

Corrigé :

+25%→×1,25−20%→×0,8+25\% \to \times 1{,}25 \qquad -20\% \to \times 0{,}8

On traduit chaque variation en multiplication — jamais en addition.

1,25×0,8=11{,}25 \times 0{,}8 = 1

Les multiplicateurs se composent, et 54×45=1\frac{5}{4} \times \frac{4}{5} = 1 : retour exact au prix de départ.

×\times

Le distracteur « +5 % » est la somme 25−2025 - 20 — la réponse préparée pour celui qui additionne les pourcentages. Les deux variations n'ont pas la même référence : la hausse porte sur le prix de départ, la remise sur le prix majoré.

Égal au prix de départ. Une hausse de 25 % et une baisse de 20 % s'annulent exactement, parce que 54\frac{5}{4} et 45\frac{4}{5} sont inverses.

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Exercice 4

30 % des visiteurs d'un musée prennent un audioguide, et un cinquième des preneurs d'audioguide le prennent en anglais. Lequel des nombres suivants peut être le nombre de visiteurs ?

  1. 6060
  2. 4040
  3. 7070
  4. 5050
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 5050

Corrigé :

0,3n∈N0{,}3n \in \mathbb{N}

Des personnes ne se découpent pas : 30 % du total doit être un nombre entier. C'est toute la question — le pourcentage cache une condition de divisibilité.

0,3n5∈N\frac{0{,}3n}{5} \in \mathbb{N}

Deuxième contrainte : le cinquième des preneurs d'audioguide doit aussi être entier.

3n10⋅5=3n50∈N  ⇒  n multiple de 50\frac{3n}{10 \cdot 5} = \frac{3n}{50} \in \mathbb{N} \;\Rightarrow\; n \text{ multiple de } 50

3 et 50 sont premiers entre eux : c'est nn qui doit porter le facteur 50.

n=50:  0,3×50=15    155=3\begin{aligned}n &= 50 : \; 0{,}3 \times 50 \\ &= 15 \\ \;\; \tfrac{15}{5} &= 3\end{aligned}

Vérification : 15 audioguides, 3 en anglais — tout est entier. Les trois autres choix donnent un cinquième non entier (12, 18 et 21 ne se divisent pas par 5).

50. Quand une question demande « lequel peut être l'effectif », traduisez chaque pourcentage en condition de divisibilité, puis testez les choix.

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Exercice 5

Dans un restaurant, 70 % des clients commandent un dessert ou un café (ou les deux). Parmi ces clients, 30 % commandent les deux. Quel pourcentage des clients du restaurant commande exactement l'un des deux ?

  1. 40%40\%
  2. 21%21\%
  3. 70%70\%
  4. 49%49\%
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 49%49\%

Corrigé :

reˊfeˊrence 1 : tous les clientsreˊfeˊrence 2 : les 70%\text{référence 1 : tous les clients} \qquad \text{référence 2 : les } 70\%

Le piège est dans « parmi ces clients » : les 30 % ne portent pas sur le restaurant entier, mais sur le groupe des 70 %.

100%−30%=70% du groupe100\% - 30\% = 70\% \text{ du groupe}

Dans le groupe, ceux qui commandent exactement l'un des deux sont le complément de ceux qui prennent les deux.

70%×70%=49%70\% \times 70\% = 49\%

On ramène à la référence de la question — tous les clients — en multipliant les deux pourcentages. Le distracteur 21 % est 70%×30%70\% \times 30\% : ceux qui prennent les deux.

49 %. Un pourcentage de pourcentage se multiplie — et la première chose à écrire est la référence de chacun.

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Exercice 6

On verse 11 litre d'eau dans 44 litres d'un jus qui contient 25%25\% de sucre. Quel est le pourcentage de sucre du mélange ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

25%×4=125\% \times 4 = 1

la quantité réelle : 1 L de sucre

4+1=54 + 1 = 5

le nouveau tout

15=20%\frac{1}{5} = 20\%

même sucre, tout plus grand

20 %. Le distracteur 25%−5%25\% - 5\% n'a aucun sens : on passe toujours par la quantité réelle.

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Exercice 7

Une hausse de 50%50\% suivie d'une baisse de 50%50\% ramène au prix de départ.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

+50%→×1,5−50%→×0,5+50\% \to \times 1{,}5 \qquad -50\% \to \times 0{,}5

les variations se multiplient

100→150→75100 \to 150 \to 75

sur 100

Faux. On finit à 75%75\% du départ : la baisse de 50%50\% porte sur 150, elle retire 75.

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Exercice 8

Complétez. Dans un club, 40%40\% des membres sont des enfants, et un quart des enfants viennent en bus.

Le nombre d'enfants en bus vaut 40 % de n, divisé par 4, soit n divisé par ____ : n doit être un multiple de ce nombre. Parmi 25, 30, 45 et 64, le seul effectif possible est ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Le nombre d'enfants en bus vaut 40 % de n, divisé par 4, soit n divisé par 10 : n doit être un multiple de ce nombre. Parmi 25, 30, 45 et 64, le seul effectif possible est 30.

Corrigé :

40100⋅n4=n10\frac{40}{100} \cdot \frac{n}{4} = \frac{n}{10}

les deux contraintes en une

30:  12 enfants,  3 en bus30 : \; 12 \text{ enfants}, \; 3 \text{ en bus}

tout est entier

25→10→2,545→18→4,525 \to 10 \to 2{,}5 \qquad 45 \to 18 \to 4{,}5

les autres tombent

10, puis 30. Un pourcentage d'effectif cache une condition de divisibilité : des personnes ne se coupent pas.

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Exercice 9

Le second pourcentage de chaque énoncé porte-t-il sur le tout de départ, ou sur une partie déjà prise ?

  • Sur le tout de départ
  • Sur une partie ou un montant changé
  • parmi eux, 25%25\% font du judo
  • 25%25\% des élèves font du judo
  • 30%30\% des preneurs d'audioguide le prennent en anglais
  • 30%30\% des visiteurs prennent un audioguide
  • puis 10%10\% de remise sur le prix soldé
  • une remise de 10%10\% sur le prix affiché
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25%25\% des élèves font du judo — Sur le tout de départ · une remise de 10%10\% sur le prix affiché — Sur le tout de départ · 30%30\% des visiteurs prennent un audioguide — Sur le tout de départ · parmi eux, 25%25\% font du judo — Sur une partie ou un montant changé · puis 10%10\% de remise sur le prix soldé — Sur une partie ou un montant changé · 30%30\% des preneurs d'audioguide le prennent en anglais — Sur une partie ou un montant changé

Corrigé :

« des eˊleˋves », « prix afficheˊ »\text{« des élèves », « prix affiché »}

le tout de départ

« parmi eux », « prix soldeˊ »\text{« parmi eux », « prix soldé »}

une partie, ou un montant déjà changé

Le mot qui suit « de » dit la référence. Quand elle change, les pourcentages se multiplient, ils ne s'additionnent pas.

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Exercice 10

Associez chaque pourcentage de pourcentage à sa part du tout.

  • 50%50\% de 30%30\%
  • 20%20\% de 60%60\%
  • 10%10\% de 90%90\%
  • 75%75\% de 40%40\%
  • 12%12\%
  • 15%15\%
  • 30%30\%
  • 9%9\%
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 50%50\% de 30%30\% — 15%15\% · 20%20\% de 60%60\% — 12%12\% · 10%10\% de 90%90\% — 9%9\% · 75%75\% de 40%40\% — 30%30\%

Corrigé :

12×30=1515×60=12\begin{aligned}\tfrac{1}{2} \times 30 &= 15 \\ \quad \tfrac{1}{5} \times 60 &= 12\end{aligned}
110×90=934×40=30\begin{aligned}\tfrac{1}{10} \times 90 &= 9 \\ \quad \tfrac{3}{4} \times 40 &= 30\end{aligned}

Un pourcentage de pourcentage se multiplie : on convertit le premier en fraction simple, et on le prend du second.

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Exercice 11

Dans un club, 80%80\% des membres ont un vélo ou une trottinette (ou les deux). Parmi eux, 25%25\% ont les deux. Quel pourcentage des membres a exactement l'un des deux ?

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Réponse : 60

Corrigé :

100%−25%=75% du groupe100\% - 25\% = 75\% \text{ du groupe}

exactement l'un des deux, dans le groupe

75%×80%=60%75\% \times 80\% = 60\%

ramené à tous les membres

60 %. Le distracteur 80%−25%=55%80\% - 25\% = 55\% soustrait deux pourcentages de références différentes.

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