Le réflexe pourcentage

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Les pourcentages sont partout dans les sections quantitatives : remises, hausses, mélanges, populations.

Et vous n'avez pas de calculatrice : environ une minute par question. Ce chapitre installe les réflexes qui la remplacent.

Ce qu'est un pourcentage

« Pour cent » dit tout : un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est 100. C'est la seule formule du feuillet de l'examen :

a% de x=a100⋅xa\% \text{ de } x = \frac{a}{100} \cdot x

À l'examen, on ne repart pas de la formule : on convertit.

Un pourcentage usuel est une fraction simple, et une fraction simple se calcule de tête.

Combien vaut 12,5 % de 64 ?

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8. 12,5%=1812{,}5\% = \frac{1}{8}, et le huitième de 64 est 8. Aucune multiplication par 12,5100\frac{12{,}5}{100} — la conversion fait tout le travail.

a % de b = b % de a

Les deux s'écrivent a⋅b100\frac{a \cdot b}{100} : c'est le même nombre.

Un calcul pénible dans un sens ? Retournez-le : 16 % de 25, c'est 25 % de 16, donc le quart de 16 : 4.

Combien vaut 36 % de 50 ?

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18. Retournez : 50 % de 36, la moitié de 36.

Une hausse est une multiplication

Ne pensez jamais « j'ajoute 25 % ». Pensez « je multiplie par 1,25 ».

Une baisse de 20 % multiplie par 0,8 : ce qui reste, pas ce qui part.

+25%  →  ×1,25+25\% \;\to\; \times 1{,}25

hausse : 1 plus la fraction

−20%  →  ×0,8-20\% \;\to\; \times 0{,}8

baisse : 1 moins la fraction

Une baisse de 35 % multiplie par combien ?

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Par 0,65 : il reste 100%−35%=65%100\% - 35\% = 65\%. Multiplier par 0,35 donnerait le montant de la baisse, pas ce qui reste.

Deux variations de suite

Les variations successives se multiplient : elles ne s'additionnent jamais.

Deux hausses de 10 % font ×1,1×1,1=×1,21\times 1{,}1 \times 1{,}1 = \times 1{,}21 : une hausse de 21 %, pas de 20 %.

Le piège le plus fréquent de tout l'examen.

+10% puis +10%=+20%+10\% \text{ puis } +10\% = +20\%
×1,1×1,1=×1,21=+21%\begin{aligned}\times 1{,}1 \times 1{,}1 &= \times 1{,}21 \\ &= +21\%\end{aligned}

La deuxième hausse porte sur un montant déjà augmenté. Les distracteurs de l'examen contiennent presque toujours la « somme » des pourcentages — c'est la réponse fausse préparée pour vous.

−20% puis +20%=retour au deˊpart-20\% \text{ puis } +20\% = \text{retour au départ}
×0,8×1,2=×0,96=−4%\begin{aligned}\times 0{,}8 \times 1{,}2 &= \times 0{,}96 \\ &= -4\%\end{aligned}

La hausse porte sur un montant plus petit que le départ : on ne remonte pas au point d'origine.

Un prix baisse de 50 %, puis remonte de 50 %. Où arrive-t-il ?

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À 75 % du prix de départ : ×0,5×1,5=×0,75\times 0{,}5 \times 1{,}5 = \times 0{,}75. La remontée de 50 % porte sur la moitié restante — elle ne rend que le quart.

Retrouver la valeur d'origine

On vous donne le prix après la variation ? On remonte en divisant par le multiplicateur.

Payé 480 € après une remise de 25 % : quel était le prix affiché ?

480×1,25=600480 \times 1{,}25 = 600
4800,75=640\frac{480}{0{,}75} = 640

Les 25 % portaient sur le prix d'origine, pas sur le prix payé. Vérification : 640×0,75=480640 \times 0{,}75 = 480.

Après une hausse de 25 %, un prix vaut 150 €. Combien valait-il avant ?

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120 €. 1501,25=120\frac{150}{1{,}25} = 120. Vérification : 120×1,25=150120 \times 1{,}25 = 150. Retirer 25 % à 150 donnerait 112,50 € : faux.

L'astuce : pose 100

L'énoncé ne donne aucun montant ? « Un prix augmente de 30 %, puis baisse de 30 %… »

Posez 100 et suivez les transformations sur ce nombre. Le résultat se lit directement en pourcentage.

Un prix baisse de 10 %, puis encore de 10 %. Quelle baisse en tout ?

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19 %. Sur 100 : 100→90→81100 \to 90 \to 81. La seconde baisse porte sur 90 : elle ne retire que 9.

Avant de cocher : pourcentage de quoi ? La remise se mesure sur le prix d'origine, la croissance sur la valeur de départ, la concentration sur le mélange total.

La plupart des distracteurs changent juste la référence.

Exercices

Exercice 1

Combien vaut 25 % de 84 ?

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Réponse : 21

Corrigé :

25%=1425\% = \tfrac{1}{4}

Le quart de 84.

21.

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Exercice 2

12,5 % s'écrit en fraction :

  1. 125100\frac{125}{100}
  2. 112\frac{1}{12}
  3. 15\frac{1}{5}
  4. 18\frac{1}{8}
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Réponse : D 18\frac{1}{8}

Corrigé :

12,5%=12,5100=25200=18\begin{aligned}12{,}5\% &= \frac{12{,}5}{100} \\ &= \frac{25}{200} \\ &= \frac{1}{8}\end{aligned}

La moitié du quart.

18\frac{1}{8} — à connaître par cœur, avec 14=25%\frac{1}{4} = 25\% et 13=3313%\frac{1}{3} = 33\tfrac{1}{3}\%.

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Exercice 3

Combien vaut 15 % de 60 ?

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Réponse : 9

Corrigé :

10% de 60=610\% \text{ de } 60 = 6

Le dixième.

5% de 60=35\% \text{ de } 60 = 3

La moitié du dixième.

6+3=96 + 3 = 9

15 % = 10 % + 5 %.

9. Découper en 10 % + 5 % va plus vite que multiplier par 15100\frac{15}{100}.

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Exercice 4

Après une remise de 30 %, on paie le prix affiché multiplié par :

  1. 1,31{,}3
  2. 0,70{,}7
  3. 0,30{,}3
  4. 10,3\frac{1}{0{,}3}
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Réponse : B 0,70{,}7

Corrigé :

100%−30%=70%100\% - 30\% = 70\%

Ce qui reste après la remise de 30 %.

×0,7\times 0{,}7. Multiplier par 0,3 donnerait le montant de la remise, pas le prix payé.

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Exercice 5

Un billet coûte 250 €. Son prix augmente de 20 %. Quel est le nouveau prix (en €) ?

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Réponse : 300

Corrigé :

250×1,2=300250 \times 1{,}2 = 300

Une hausse de 20 % multiplie par 1,2.

300 €.

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Exercice 6

Un prix baisse de 20 %, puis augmente de 20 %. Par rapport au prix de départ, le prix final est :

  1. plus bas de 2 %
  2. égal au prix de départ
  3. plus haut de 4 %
  4. plus bas de 4 %
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Réponse : D plus bas de 4 %

Corrigé :

×0,8×1,2=×0,96\times 0{,}8 \times 1{,}2 = \times 0{,}96

La baisse de 20 % multiplie par 0,8, la hausse de 20 % par 1,2 — et les variations se multiplient.

Plus bas de 4 %. La hausse de 20 % porte sur un montant déjà réduit — elle ne compense pas la baisse.

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Exercice 7

8%8\% de 5050 est égal à 50%50\% de 88, soit 44.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

8% de 50=8⋅50100=4\begin{aligned}8\% \text{ de } 50 &= \frac{8 \cdot 50}{100} \\ &= 4\end{aligned}

le calcul direct

50% de 8=12×8=4\begin{aligned}50\% \text{ de } 8 &= \tfrac{1}{2} \times 8 \\ &= 4\end{aligned}

retourné : la moitié de 8

Vrai. a%a\% de bb et b%b\% de aa valent tous deux a⋅b100\frac{a \cdot b}{100}. On choisit le sens qui tombe sur un pourcentage ami.

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Exercice 8

Combien vaut 44%44\% de 2525 ?

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Réponse : 11

Corrigé :

44% de 25=25% de 4444\% \text{ de } 25 = 25\% \text{ de } 44

on retourne

14×44=11\tfrac{1}{4} \times 44 = 11

le quart de 44

11. Multiplier par 44100\frac{44}{100} marche aussi, mais le quart de 44 se fait de tête.

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Exercice 9

Associez chaque variation à son multiplicateur.

  • +15%+15\%
  • −15%-15\%
  • +150%+150\%
  • −5%-5\%
  • ×0,85\times 0{,}85
  • ×0,95\times 0{,}95
  • ×1,15\times 1{,}15
  • ×2,5\times 2{,}5
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Réponse : +15%+15\% — ×1,15\times 1{,}15 · −15%-15\% — ×0,85\times 0{,}85 · +150%+150\% — ×2,5\times 2{,}5 · −5%-5\% — ×0,95\times 0{,}95

Corrigé :

+15%→1+0,15=1,15+15\% \to 1 + 0{,}15 = 1{,}15

hausse : 1 plus la fraction

−15%→1−0,15=0,85-15\% \to 1 - 0{,}15 = 0{,}85

baisse : 1 moins la fraction

+150%→1+1,5=2,5+150\% \to 1 + 1{,}5 = 2{,}5

une hausse peut dépasser 100 %

−5%→1−0,05=0,95-5\% \to 1 - 0{,}05 = 0{,}95

Le piège est +150%+150\% : ce n'est pas ×1,5\times 1{,}5 mais ×2,5\times 2{,}5. On garde le tout, et on ajoute une fois et demie le tout.

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Exercice 10

Complétez, en remontant par une division.

Après une hausse de 25 %, un prix vaut 150 €. Avant la hausse, il valait ____ €. Après une remise de 40 %, on paie 90 € : le prix affiché était ____ €.

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Réponse : Après une hausse de 25 %, un prix vaut 150 €. Avant la hausse, il valait 120 €. Après une remise de 40 %, on paie 90 € : le prix affiché était 150 €.

Corrigé :

1501,25=120\frac{150}{1{,}25} = 120

la hausse de 25 % multiplie par 1,25

900,6=150\frac{90}{0{,}6} = 150

la remise de 40 % multiplie par 0,6

120 € et 150 €. Retirer 25 % à 150 donnerait 112,50 €, et ajouter 40 % à 90 donnerait 126 € : la variation portait sur le prix d'avant.

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Exercice 11

Un prix part de 100100. Rangez ces suites de variations du prix final le plus bas au plus haut.

  • −20%-20\% puis +20%+20\%
  • +10%+10\% puis −10%-10\%
  • +10%+10\% puis +10%+10\%
  • +20%+20\%
  • +50%+50\% puis −50%-50\%
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Réponse : +50%+50\% puis −50%-50\% · −20%-20\% puis +20%+20\% · +10%+10\% puis −10%-10\% · +20%+20\% · +10%+10\% puis +10%+10\%

Corrigé :

100×1,5×0,5=75100 \times 1{,}5 \times 0{,}5 = 75
100×0,8×1,2=96100 \times 0{,}8 \times 1{,}2 = 96
100×1,1×0,9=99100 \times 1{,}1 \times 0{,}9 = 99
100×1,2=120100 \times 1{,}2 = 120
100×1,1×1,1=121100 \times 1{,}1 \times 1{,}1 = 121

75<96<99<120<12175 < 96 < 99 < 120 < 121. Une hausse puis une baisse du même pourcentage finit toujours sous le départ, et deux hausses de 10 % battent une hausse de 20 %.

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Exercice 12

Partant d'un prix, chaque suite de variations ramène-t-elle exactement au prix de départ ?

  • Retour exact
  • Pas de retour
  • −20%-20\% puis +25%+25\%
  • −50%-50\% puis +50%+50\%
  • +10%+10\% puis −10%-10\%
  • +100%+100\% puis −50%-50\%
  • +25%+25\% puis −20%-20\%
  • +50%+50\% puis −50%-50\%
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Réponse : +25%+25\% puis −20%-20\% — Retour exact · +100%+100\% puis −50%-50\% — Retour exact · −20%-20\% puis +25%+25\% — Retour exact · +50%+50\% puis −50%-50\% — Pas de retour · +10%+10\% puis −10%-10\% — Pas de retour · −50%-50\% puis +50%+50\% — Pas de retour

Corrigé :

1,25×0,8=12×0,5=1\begin{aligned}1{,}25 \times 0{,}8 &= 1 \\ \quad 2 \times 0{,}5 &= 1\end{aligned}

des multiplicateurs inverses

1,5×0,5=0,751,1×0,9=0,99\begin{aligned}1{,}5 \times 0{,}5 &= 0{,}75 \\ \quad 1{,}1 \times 0{,}9 &= 0{,}99\end{aligned}

le même pourcentage dans les deux sens

0,5×1,5=0,750{,}5 \times 1{,}5 = 0{,}75

l'ordre ne change rien

Le retour exact demande des multiplicateurs inverses (54\frac{5}{4} et 45\frac{4}{5}, 22 et 12\frac{1}{2}), jamais le même pourcentage dans les deux sens.

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Exercice 13

Un prix augmente de 20%20\%, puis baisse de 25%25\%. Le prix final représente quel pourcentage du prix de départ ?

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Réponse : 90

Corrigé :

100→120100 \to 120

on pose 100 ; la hausse de 20 %

120×0,75=90120 \times 0{,}75 = 90

la baisse de 25 % porte sur 120

90 %. La somme des pourcentages (−5%-5\%) donnerait 95%95\% : faux, la baisse porte sur 120.

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