On résout ensemble · Probabilités · Psychométriques

Cinq questions, une par forme que l'examen ressort d'année en année : le complément derrière un jeu à deux étages, le tirage sans remise à deux chemins, la question posée à l'envers, l'univers qui rétrécit, et la comparaison de suites.

Pour chacune : cherchez d'abord seul, puis ouvrez le corrigé. Il déroule le raisonnement étape par étape et nomme le piège que la question tend. Après chaque question, la même forme se manipule avec d'autres nombres.

À chaque étape du corrigé, demandez-vous ce que vous auriez fait avant de lire la suite. C'est l'écart entre votre réflexe et la méthode qui vous apprend quelque chose.

Les trois lectures à faire avant tout calcul

1

Combien de cas en tout ? L'univers d'abord, les cas favorables ensuite.

2

Avec ou sans remise ? Une phrase de l'énoncé, et tout le calcul bascule.

3

Que demande-t-on exactement ? « au moins un », « aucun », « parmi ceux qui… » — ces mots changent le dénominateur ou renversent le calcul.

L'arbre, quand les boîtes diffèrent

Deux tirages sans remise, à la main

Retrouver un effectif

L'univers qui rétrécit, dans un tableau

À vous, sans aide

Cinq questions de plus, une par forme. Cette fois, aucune scène avant : à vous de reconnaître la forme.

Exercices

Exercice 1

Noa et Amit jouent. On fait tourner une roue partagée en 4 secteurs égaux numérotés 1, 2, 3 et 4, puis on lance un dé équilibré. Noa l'emporte si la roue s'arrête sur le 1 et que le dé donne un nombre pair. Amit l'emporte si la roue s'arrête sur le 4 et que le dé donne 5 ou 6. Dans tout autre cas, personne ne l'emporte. Quelle est la probabilité qu'aucun des deux ne l'emporte ?

$\frac{19}{24}$
$\frac{11}{12}$
$\frac{5}{24}$
$\frac{7}{12}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{19}{24}$

Corrigé :

\Rightarrow

Le mot qui commande. « sans gagnant » est un contraire : trois cas mènent à « personne ne gagne », un seul mène à « quelqu'un gagne ». On calcule donc la victoire, et on retire de 1.

\begin{aligned}P(\text{Noa}) &= \frac{1}{4} \times \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{8}\end{aligned}

Un secteur sur quatre, et trois faces paires sur six. Deux conditions qui doivent tenir ensemble : on multiplie.

\begin{aligned}P(\text{Amit}) &= \frac{1}{4} \times \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} \\ &= \frac{1}{12}\end{aligned}

Même structure, mais deux faces favorables seulement — le 5 et le 6.

\begin{aligned}\frac{1}{8} + \frac{1}{12} &= \frac{3}{24} + \frac{2}{24} \\ &= \frac{5}{24}\end{aligned}

Noa et Amit ne peuvent pas gagner en même temps — la roue ne donne pas 1 et 4 à la fois. Événements incompatibles : on additionne.

1 - \frac{5}{24} = \frac{19}{24}

Le contraire de « quelqu'un gagne ».

$\frac{19}{24}$ . Le piège est la proposition $\frac{5}{24}$ : c'est la probabilité qu'il y ait un gagnant, la bonne réponse à la question qu'on n'a pas posée. Relisez la dernière ligne de l'énoncé avant de cocher.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Une boîte contient 4 stylos bleus et 2 stylos verts. Dana en prend un, puis un second, et ne remet aucun des deux dans la boîte. Quelle est la probabilité qu'elle obtienne deux stylos de la même couleur ?

$\frac{8}{15}$
$\frac{7}{15}$
$\frac{2}{5}$
$\frac{1}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{7}{15}$

Corrigé :

\Rightarrow

Deux chemins mènent au but. « De la même couleur » ne dit pas laquelle : deux bleus convient, deux verts aussi. On traite les deux séparément, puis on additionne.

\frac{4}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{12}{30}

Deux bleus. Après le premier, il reste 5 stylos dont 3 bleus : les deux nombres ont baissé.

\frac{2}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{30}

Deux verts. Après le premier vert, il n'en reste qu'un sur les 5.

\begin{aligned}\frac{12}{30} + \frac{2}{30} &= \frac{14}{30} \\ &= \frac{7}{15}\end{aligned}

Les deux chemins sont incompatibles — on ne peut pas tirer deux bleus et deux verts. On additionne.

$\frac{7}{15}$ . La proposition $\frac{2}{5}$ est le chemin « deux bleus » seul : elle punit celui qui oublie que les verts comptent aussi. Contrôle rapide : la réponse doit être un peu inférieure à la moitié, puisque les couleurs mélangées sont plus nombreuses.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Une urne contient 12 jetons, des rouges et des noirs. La probabilité de tirer au hasard un jeton rouge est $\frac{1}{3}$ . On ajoute dans l'urne 4 jetons rouges. Quelle est désormais la probabilité de tirer au hasard un jeton rouge ?

$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{5}{12}$
$\frac{1}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{1}{2}$

Corrigé :

\Rightarrow

La question est posée à l'envers. On vous donne la probabilité et on vous demande une nouvelle probabilité : entre les deux, il faut passer par les effectifs. C'est toujours l'étape que l'on saute.

12 \times \frac{1}{3} = 4

Quatre jetons rouges au départ, donc 8 noirs.

\begin{aligned}4 + 4 &= 8 \quad ; \quad 12 + 4 \\ &= 16\end{aligned}

Les jetons ajoutés comptent deux fois : dans les rouges et dans le total. C'est l'erreur centrale de cette famille.

\begin{aligned}P &= \frac{8}{16} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$\frac{1}{2}$ . La proposition $\frac{2}{3}$ récompense celui qui double simplement $\frac{1}{3}$ parce qu'on a doublé les rouges — mais le dénominateur a bougé lui aussi. Une probabilité n'est jamais proportionnelle au seul numérateur.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Dans un club de sport de Netanya, 180 membres se sont inscrits à un tournoi. 100 d'entre eux sont des femmes, dont 60 ont gagné leur premier match ; parmi les 80 hommes, 40 ont gagné leur premier match. On choisit au hasard un membre parmi ceux qui ont gagné leur premier match. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?

$\frac{3}{50}$
$\frac{5}{9}$
$\frac{3}{5}$
$\frac{1}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{3}{5}$

Corrigé :

\Rightarrow

L'univers a rétréci. « parmi ceux qui ont gagné » : on ne choisit plus dans les 180 membres, mais seulement dans les vainqueurs. Le dénominateur n'est plus 180.

60 + 40 = 100

Le nouvel univers : cent vainqueurs.

\begin{aligned}P &= \frac{60}{100} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

Les cas favorables sont les femmes vainqueurs — 60, et non les 100 femmes du club.

\frac{60}{180} = \frac{1}{3}

Voilà la proposition concurrente : elle répond à « une femme vainqueur parmi tous les membres ». C'est une autre question, et elle est toujours dans la liste.

$\frac{3}{5}$ . Retenez la mécanique plutôt que le résultat : « parmi ceux qui… » remplace le dénominateur, et les deux fractions concurrentes — $\frac{60}{100}$ et $\frac{60}{180}$ — figurent toutes les deux parmi les propositions. Le mot « parmi » vaut, à lui seul, la moitié des points de cette famille.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

On lance un dé équilibré 4 fois de suite et on note la suite des quatre résultats obtenus. Laquelle des suites suivantes a la plus petite probabilité d'être obtenue ?

Ces trois suites sont aussi probables les unes que les autres
$1 - 1 - 1 - 1$
$3 - 5 - 2 - 6$
$6 - 6 - 1 - 1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A Ces trois suites sont aussi probables les unes que les autres

Corrigé :

\Rightarrow

Le réflexe trompeur. Quatre fois le même chiffre « a l'air » rare, une suite désordonnée « a l'air » ordinaire. C'est une impression, pas un calcul — et l'examen la teste exprès.

\begin{aligned}P(1\text{ puis }1\text{ puis }1\text{ puis }1) &= \left(\frac{1}{6}\right)^4 \\ &= \frac{1}{1296}\end{aligned}

Chaque lancer est indépendant : on multiplie quatre fois $\frac{1}{6}$ .

\begin{aligned}P(3\text{ puis }5\text{ puis }2\text{ puis }6) &= \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\ &= \frac{1}{1296}\end{aligned}

Exactement le même calcul. Le dé ne sait pas qu'il vient de faire un 3.

\Rightarrow

Pourquoi l'intuition se trompe. Ce qui est rare, c'est « obtenir quatre fois le même chiffre » — six suites sur 1296. Mais ici on ne compare pas des familles de suites : on compare trois suites précises, et chacune est une issue parmi 1296.

Les trois ont la même probabilité. Une réserve, et elle vaut de l'or : cette réponse n'est correcte que parce que les six faces sont à égalité. Avec un sac de 3 boules noires et 5 blanches, une suite de quatre blanches serait bel et bien plus probable qu'une suite de quatre noires. Lisez donc toujours d'abord si les issues se valent.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

On lance deux dés équilibrés. Combien de couples de résultats donnent une somme égale à 8 ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

(2,6)\;(3,5)\;(4,4)\;(5,3)\;(6,2)

$(4,4)$ ne se compte qu'une fois : il n'a pas de miroir.

5 couples, sur 36. Le piège : compter $(4,4)$ deux fois, ou oublier les miroirs.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

La même boîte : 4 stylos bleus et 2 stylos verts. Dana en prend deux, l'un après l'autre, sans remise. Quelle est la probabilité qu'ils soient de couleurs différentes ?

$\frac{7}{15}$
$\frac{8}{15}$
$\frac{4}{9}$
$\frac{4}{15}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{8}{15}$

Corrigé :

1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}

Le contraire de « la même couleur », calculé plus haut.

\begin{aligned}\frac{4}{6} \times \frac{2}{5} + \frac{2}{6} \times \frac{4}{5} &= \frac{8}{30} + \frac{8}{30} \\ &= \frac{8}{15}\end{aligned}

Ou les deux chemins : bleu puis vert, vert puis bleu.

$\frac{8}{15}$ . $\frac{4}{15}$ ne prend qu'un des deux ordres.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

Une urne contient 15 jetons, dont 5 verts. Si l'on ajoute 10 jetons verts, la probabilité de tirer un jeton vert double.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\frac{5}{15} = \frac{1}{3}

Au départ.

\begin{aligned}\frac{5 + 10}{15 + 10} &= \frac{15}{25} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

Les 10 jetons ajoutés comptent en haut et en bas.

2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \neq \frac{3}{5}

Faux. Le total bouge aussi : la probabilité n'est pas proportionnelle au numérateur.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

Complétez.

Un lycée : 70 filles, dont 28 suivent l'option sciences ; 80 garçons, dont 32 la suivent. On choisit un élève au hasard parmi ceux de l'option sciences. L'univers compte ____ élèves, dont ____ filles.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Un lycée : 70 filles, dont 28 suivent l'option sciences ; 80 garçons, dont 32 la suivent. On choisit un élève au hasard parmi ceux de l'option sciences. L'univers compte 60 élèves, dont 28 filles.

Corrigé :

28 + 32 = 60

L'univers : seulement les élèves de l'option.

\begin{aligned}P(\text{fille}) &= \frac{28}{60} \\ &= \frac{7}{15}\end{aligned}

60, puis 28. Le piège : $\frac{28}{70}$ , qui tire parmi les filles, ou $\frac{28}{150}$ , qui tire dans tout le lycée.

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Exercice 10

La boîte A contient 3 bonbons à la menthe et 1 au citron. La boîte B contient 2 bonbons à la menthe et 4 au citron. On choisit une boîte au hasard, puis un bonbon. Quelle est la probabilité d'obtenir un bonbon à la menthe ?

$\frac{13}{24}$
$\frac{13}{12}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{13}{24}$

Corrigé :

\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}

Branche A.

\frac{1}{2} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{6}

Branche B.

\begin{aligned}\frac{3}{8} + \frac{1}{6} &= \frac{9}{24} + \frac{4}{24} \\ &= \frac{13}{24}\end{aligned}

On additionne les branches.

$\frac{13}{24}$ . Le raccourci $\frac{3 + 2}{4 + 6} = \frac{1}{2}$ échoue : les boîtes n'ont pas le même total.

Vérifier la réponse sur elev

Les trois lectures à faire avant tout calcul

L'arbre, quand les boîtes diffèrent

Deux tirages sans remise, à la main

Retrouver un effectif

L'univers qui rétrécit, dans un tableau

À vous, sans aide

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