Le réflexe probabilité

Une question de probabilité tombe à presque chaque session. Jamais deux, rarement zéro : sur les vingt fascicules officiels dépouillés pour écrire ce chapitre, dix-huit questions, réparties sur dix-neuf sessions.

Une question rapporte autant que n'importe quelle autre. Et celle-là, on peut la préparer entièrement.

Bonne nouvelle, vérifiée sur les vingt examens : on ne vous demande jamais de dénombrement savant. Les univers sont minuscules — quatre sachets, six faces, dix boules, trente-six couples de dés au maximum.

Ce que l'examen teste, c'est votre capacité à compter proprement, et à choisir entre multiplier et additionner.

Tout le chapitre tient dans cette fraction. Une condition, une seule, la rend valable : tous les cas possibles ont la même chance.

L'énoncé le dit toujours, avec les mots « équilibré », « régulier » ou « au hasard » : un dé équilibré, une boule tirée les yeux fermés, une roue à secteurs égaux.

L'ensemble des cas possibles porte un nom : l'univers. C'est lui, presque toujours, qui fait la difficulté de la question — pas le numérateur.

L'erreur qui coûte le plus cher n'est pas une erreur de calcul : c'est un univers mal compté. Avant de chercher ce qui vous arrange, écrivez combien de cas existent en tout.

Une probabilité est une part d'un tout : elle ne dépasse jamais 1, et elle n'est jamais négative.

Sur quatre propositions, ce contrôle en supprime parfois une gratuitement. Surtout, il vous dit que votre calcul est faux avant que vous ne cochiez.

Dès que l'énoncé dit « au moins un », « pas », « aucun » ou « sans gagnant » : passez par le contraire.

Compter « au moins un » directement oblige à additionner trois ou quatre cas. Compter « aucun » en demande un seul.

Tout le reste du chapitre se joue sur ce choix, et l'examen le sait. Deux mots à repérer dans l'énoncé, deux opérations :

Les deux conditions comptent autant que les formules. On multiplie quand les événements sont indépendants : le dé ne change rien à la pièce.

On additionne quand ils sont incompatibles : une même boule ne peut pas être à la fois rouge et bleue.

Dans une bibliothèque, le poste informatique est occupé 18 heures par jour et le scanner 12 heures ; les deux appareils sont utilisés indépendamment. Une durée rapportée à la journée est déjà une probabilité : $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ et $\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

C'est la distinction que l'examen teste le plus souvent, et elle se joue sur une phrase de l'énoncé : « il la remet dans le sac » ou « sans la remettre ». Lisez-la deux fois.

Certaines questions se déroulent en deux temps : on choisit d'abord un sac, une boîte, une urne — puis on y tire un objet.

On dessine alors un arbre : une branche par premier choix, et sur chaque branche la probabilité du second.

Le mot d'ordre est simple : on multiplie le long d'une branche, on additionne entre les branches. C'est le seul endroit du chapitre où les deux opérations cohabitent dans le même calcul.

Une pièce lancée cinq fois, un dé lancé trois fois, une boule tirée quatre fois avec remise : chaque répétition est indépendante, donc on multiplie autant de fois qu'il y a de répétitions.

Une famille de questions demande laquelle de trois suites de résultats est la plus, ou la moins, probable.

Avec une pièce ou un dé équilibrés, chaque suite précise a la même probabilité : PPPP vaut $\frac{1}{16}$, PFFP aussi. La bonne réponse est alors « les trois ont la même probabilité ».

Mais la question se retourne. Si les issues ne sont pas équiprobables — un sac de 3 boules noires et 5 blanches — alors une suite de cinq blanches est bel et bien plus probable qu'une suite de cinq noires. Lisez donc toujours d'abord : les issues sont-elles à égalité ?

Deux phrases se ressemblent et ne demandent pas la même chose :

Une question sur trois ne demande pas une probabilité : elle donne la probabilité et réclame un effectif. On pose alors l'équation, exactement comme en algèbre.