Série 5 — Le niveau de l'examen · Probabilités · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours de méthode et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

À ce niveau, chaque question cache un piège de lecture : une condition qui choisit l'univers, un « au moins » qui appelle le contraire, une suite précise prise pour un nombre de succès, une urne qui change entre deux tirages. Avant de calculer, écrivez en une ligne l'univers et l'événement.

Élèves d'un collège de Modiin, selon la classe et le sport pratiqué

Classe	Football	Basket	Natation	Total
7e année	30	10	20	60
8e année	15	25	20	60
9e année	5	5	0	10
Total	50	40	40	130

Chacun des 130 élèves pratique un seul sport. Les questions marquées « d'après le tableau » s'y réfèrent.

Exercices

Exercice 1

Ron lance une pièce et deux dés. Il gagne s'il obtient pile et une somme d'au moins 10, ou bien face et deux nombres pairs. Quelle est la probabilité qu'il perde ?

$\frac{19}{24}$
$\frac{5}{24}$
$\frac{11}{12}$
$\frac{7}{12}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{19}{24}$

Corrigé :

\tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6}

somme d'au moins 10 : (4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6)

\tfrac{3}{6} \times \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{4}

deux nombres pairs

\begin{aligned}\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{4} &= \tfrac{1}{12} + \tfrac{1}{8} \\ &= \tfrac{5}{24}\end{aligned}

les deux gains ne peuvent pas arriver ensemble : pile et face s'excluent

1 - \tfrac{5}{24} = \tfrac{19}{24}

La bonne réponse : « $\frac{19}{24}$ ». « $\frac{11}{12}$ » ne retranche que la première façon de gagner. « $\frac{7}{12}$ » oublie la pièce : $1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{4}$ . « $\frac{5}{24}$ » est la probabilité de gagner.

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Exercice 2

Une pièce truquée tombe sur pile avec une probabilité de $\frac{2}{3}$ . On la lance trois fois et on note la suite des résultats (P pour pile, F pour face). Laquelle des suites suivantes est la plus probable ?

F F F
Les trois suites ont la même probabilité
P P F
P P P

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D P P P

Corrigé :

\left(\tfrac{2}{3}\right)^3 = \tfrac{8}{27}

P P P

\tfrac{2}{3} \times \tfrac{2}{3} \times \tfrac{1}{3} = \tfrac{4}{27}

P P F

\left(\tfrac{1}{3}\right)^3 = \tfrac{1}{27}

F F F

La bonne réponse : « P P P ». « P P F » a la même proportion de piles que la pièce, deux sur trois ; mais une suite précise se calcule facteur par facteur : $\frac{4}{27}$ , contre $\frac{8}{27}$ pour P P P. « F F F » inverse le rôle des deux côtés : c'est la suite la moins probable, $\frac{1}{27}$ . « Les trois suites ont la même probabilité » applique « toutes les suites se valent », vrai seulement quand pile et face ont la même probabilité.

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Exercice 3

Michal a droit à 4 essais au plus pour réussir un exercice d'équilibre, et elle s'arrête dès qu'elle réussit. Chaque essai réussit avec une probabilité de $\frac{1}{3}$ , indépendamment des autres. Quelle est la probabilité qu'elle fasse exactement 4 essais ?

$\frac{16}{81}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{8}{27}$
$\frac{8}{81}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{8}{27}$

Corrigé :

\left(\tfrac{2}{3}\right)^3 = \tfrac{8}{27}

le quatrième essai a lieu exactement quand les trois premiers échouent

La bonne réponse : « $\frac{8}{27}$ ». « $\frac{8}{81}$ » exige en plus la réussite du quatrième essai : Michal fait 4 essais dès que les trois premiers échouent, que le quatrième réussisse ou non. « $\frac{16}{81}$ » exige quatre échecs. « $\frac{1}{4}$ » suppose que 1, 2, 3 et 4 essais ont la même chance.

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Exercice 4

On choisit au hasard un nombre parmi les entiers de 1 à 60 qui ne sont pas des multiples de 3. Quelle est la probabilité que le double de ce nombre, augmenté de 1, soit un multiple de 3 ?

$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$
$0$
$\frac{2}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{1}{2}$

Corrigé :

60 - 20 = 40

l'univers

\begin{aligned}n &= 3k + 1 \;\Rightarrow\; 2n + 1 \\ &= 6k + 3\end{aligned}

reste 1 : toujours un multiple de 3

\begin{aligned}n &= 3k + 2 \;\Rightarrow\; 2n + 1 \\ &= 6k + 5\end{aligned}

reste 2 : jamais

\tfrac{20}{40} = \tfrac{1}{2}

de 1 à 60, les restes 1 et 2 sont aussi nombreux

La bonne réponse : « $\frac{1}{2}$ ». « $\frac{1}{3}$ » applique l'habitude « un nombre sur trois », ou divise les 20 cas favorables par les 60 entiers. « $\frac{2}{3}$ » est la part des non-multiples de 3 parmi les 60 entiers. « $0$ » croit qu'un nombre construit à partir d'un non-multiple de 3 ne peut jamais en être un : avec 1, on obtient 3.

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Exercice 5

D'après le tableau, comparez deux probabilités : X, celle qu'un joueur de basket choisi au hasard soit en 8e année ; Y, celle qu'un élève de 8e année choisi au hasard joue au basket. Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

Le tableau ne permet pas de les comparer
$Y > X$
$X > Y$
$X = Y$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $X > Y$

Corrigé :

\begin{aligned}X &= \tfrac{25}{40} \\ &= \tfrac{5}{8}\end{aligned}

parmi les 40 joueurs de basket : colonne « Basket »

\begin{aligned}Y &= \tfrac{25}{60} \\ &= \tfrac{5}{12}\end{aligned}

parmi les 60 élèves de 8e année : ligne « 8e année »

\tfrac{5}{8} > \tfrac{5}{12}

même numérateur, plus petit dénominateur

La bonne réponse : « $X > Y$ ». « $Y > X$ » inverse les deux univers : « un joueur de basket » se lit dans la colonne (40 élèves), « un élève de 8e année » dans la ligne (60 élèves). « $X = Y$ » voit que les deux probabilités parlent des mêmes 25 élèves, et oublie qu'elles n'ont pas le même dénominateur. « Le tableau ne permet pas de les comparer » le tableau donne la case et les deux totaux : c'est tout ce qu'il faut.

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Exercice 6

D'après le tableau, on choisit au hasard un élève qui n'est pas en 7e année et qui ne pratique pas la natation. Quelle est la probabilité qu'il soit en 8e année et joue au football ?

$\frac{3}{14}$
$\frac{3}{26}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{3}{10}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{3}{10}$

Corrigé :

15 + 25 + 5 + 5 = 50

l'univers : 8e ou 9e année, football ou basket

\tfrac{15}{50} = \tfrac{3}{10}

La bonne réponse : « $\frac{3}{10}$ ». « $\frac{3}{26}$ » divise par les 130 élèves. « $\frac{3}{14}$ » divise par 70, le total des lignes « 8e » et « 9e » : ce total compte aussi les nageurs. « $\frac{1}{6}$ » divise par 90, le total des colonnes « Football » et « Basket » : ce total compte aussi les élèves de 7e année.

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Exercice 7

D'après le tableau, on choisit au hasard deux élèves différents de 9e année. Quelle est la probabilité qu'ils pratiquent le même sport ?

$\frac{2}{5}$
$\frac{4}{9}$
$\frac{2}{9}$
$\frac{1}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{4}{9}$

Corrigé :

\tfrac{5}{10} \times \tfrac{4}{9} = \tfrac{2}{9}

deux footballeurs

\tfrac{5}{10} \times \tfrac{4}{9} = \tfrac{2}{9}

deux basketteurs ; aucun élève de 9e année ne nage

\tfrac{2}{9} + \tfrac{2}{9} = \tfrac{4}{9}

La bonne réponse : « $\frac{4}{9}$ ». « $\frac{1}{2}$ » calcule avec remise : $\left(\frac{5}{10}\right)^2 + \left(\frac{5}{10}\right)^2$ . « $\frac{2}{9}$ » ne compte que les deux footballeurs, et oublie les deux basketteurs. « $\frac{2}{5}$ » réduit le nombre de joueurs du sport tiré, mais garde 10 élèves au second tirage : $2 \times \frac{5}{10} \times \frac{4}{10}$ .

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Exercice 8

Une urne contient 2 boules rouges et 2 blanches. On tire une boule. Si elle est rouge, on la remet dans l'urne avec une autre boule rouge ; si elle est blanche, on la garde de côté. Puis on tire une seconde boule. Quelle est la probabilité que la seconde boule soit rouge ?

$\frac{19}{30}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{3}{5}$
$\frac{1}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{19}{30}$

Corrigé :

\tfrac{1}{2} \times \tfrac{3}{5} = \tfrac{3}{10}

première rouge : l'urne a 3 rouges et 2 blanches

\tfrac{1}{2} \times \tfrac{2}{3} = \tfrac{1}{3}

première blanche : l'urne a 2 rouges et 1 blanche

\tfrac{3}{10} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{19}{30}

La bonne réponse : « $\frac{19}{30}$ ». « $\frac{1}{2}$ » ignore ce qui arrive à l'urne entre les deux tirages. « $\frac{3}{5}$ » ne garde que la branche où la première boule est rouge. « $\frac{2}{3}$ » ne garde que la branche où la première boule est blanche.

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Exercice 9

On lance deux dés équilibrés, un rouge et un vert. Quelle est la probabilité que le dé vert montre un nombre plus grand que le dé rouge ?

$\frac{1}{3}$
$\frac{7}{12}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{5}{12}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{5}{12}$

Corrigé :

\tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6}

les deux dés égaux

\tfrac{1}{2}\left(1 - \tfrac{1}{6}\right) = \tfrac{5}{12}

par symétrie, le reste se partage également entre « vert plus grand » et « rouge plus grand »

La bonne réponse : « $\frac{5}{12}$ ». « $\frac{1}{2}$ » oublie les 6 cas d'égalité : « plus grand » et « plus petit » se partagent les 30 autres issues, pas les 36. « $\frac{7}{12}$ » compte aussi les égalités : c'est « au moins aussi grand ». « $\frac{1}{3}$ » suppose que « plus grand », « plus petit » et « égal » ont la même chance.

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Exercice 10

On tire au hasard 3 cartes, l'une après l'autre et sans remise, parmi 4 cartes numérotées 1, 2, 3 et 4, et on les pose de gauche à droite dans l'ordre du tirage. Quelle est la probabilité que les trois nombres soient rangés dans l'ordre croissant ?

$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{24}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{1}{6}$

Corrigé :

4 \times 3 \times 2 = 24

les tirages ordonnés

4

chacun des 4 choix de trois cartes a un seul ordre croissant

\tfrac{4}{24} = \tfrac{1}{6}

ou : trois cartes données se rangent de 6 façons, dont une seule croissante

La bonne réponse : « $\frac{1}{6}$ ». « $\frac{1}{24}$ » est la probabilité d'un rangement précis, par exemple 1, 2, 3 : il y a 4 façons de choisir les trois cartes, et chacune a son ordre croissant. « $\frac{1}{2}$ » suppose que l'ordre est croissant ou décroissant avec une chance sur deux chacun, et oublie les ordres mélangés. « $\frac{1}{3}$ » compte aussi l'ordre décroissant.

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Exercices

La suite se pratique sur elev