Série 4 — Changer d'univers

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours de méthode et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Avant d'écrire un dénominateur, relisez la condition : « rentré en bus » fixe une colonne, « venu en bus » une ligne. Quand deux cas se recouvrent (« par 4 ou par 6 », « ni la carte 1 ni la carte 10 »), retirez une fois ce qui est compté deux fois.

Mode de transport des 240 employés d'une entreprise de Petah Tikva, un jour donné
AllerBusVéloVoitureTotal
Bus60102090
Vélo648660
Voiture1427490
Total8060100240
Chaque employé a fait un aller et un retour. Les lignes donnent le mode de transport de l'aller, les colonnes celui du retour. Les questions marquées « d'après le tableau » s'y réfèrent.

Exercices

Exercice 1

Un cadenas a un code de 3 chiffres, chacun choisi au hasard de 0 à 9 ; un chiffre peut se répéter. Quelle est la probabilité que le code ne contienne aucun 7 ?

  1. 2711000\frac{271}{1000}
  2. 910\frac{9}{10}
  3. 7291000\frac{729}{1000}
  4. 710\frac{7}{10}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 7291000\frac{729}{1000}

Corrigé :

(910)3=7291000\left(\tfrac{9}{10}\right)^3 = \tfrac{729}{1000}

chaque chiffre évite le 7, indépendamment des autres

La bonne réponse : « 7291000\frac{729}{1000} ». « 710\frac{7}{10} » retranche 110\frac{1}{10} par chiffre, 1−3101 - \frac{3}{10} : les codes qui ont plusieurs 7 sont retirés plusieurs fois. « 2711000\frac{271}{1000} » est la probabilité que le code contienne au moins un 7. « 910\frac{9}{10} » ne regarde qu'un seul chiffre.

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Exercice 2

Un meuble a trois tiroirs. Le premier contient 1 stylo bleu et 3 rouges, le deuxième 2 stylos bleus, le troisième 6 stylos rouges. On ouvre un tiroir au hasard, puis on y prend un stylo au hasard. Quelle est la probabilité que le stylo soit bleu ?

  1. 14\frac{1}{4}
  2. 512\frac{5}{12}
  3. 58\frac{5}{8}
  4. 13\frac{1}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 512\frac{5}{12}

Corrigé :

13×14=112\tfrac{1}{3} \times \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{12}

premier tiroir, puis bleu

13×1=412\tfrac{1}{3} \times 1 = \tfrac{4}{12}

deuxième tiroir : bleu à coup sûr

13×0=0\tfrac{1}{3} \times 0 = 0

le troisième tiroir ne donne jamais de bleu

112+412=512\tfrac{1}{12} + \tfrac{4}{12} = \tfrac{5}{12}

La bonne réponse : « 512\frac{5}{12} ». « 14\frac{1}{4} » verse les 12 stylos dans un seul tas, 312\frac{3}{12} : les tiroirs n'ont pas le même nombre de stylos. « 13\frac{1}{3} » ne garde que le deuxième tiroir, où le stylo est sûrement bleu. « 58\frac{5}{8} » fait la moyenne sur les deux seuls tiroirs qui ont du bleu, 12(14+1)\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4} + 1\right) : le troisième tiroir est ouvert une fois sur trois, lui aussi.

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Exercice 3

D'après le tableau, on choisit un employé au hasard. Quelle est la probabilité qu'il ait utilisé le même mode de transport à l'aller et au retour ?

  1. 29120\frac{29}{120}
  2. 13\frac{1}{3}
  3. 103135\frac{103}{135}
  4. 91120\frac{91}{120}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 91120\frac{91}{120}

Corrigé :

60+48+74=18260 + 48 + 74 = 182

la diagonale : même mode dans les deux sens

182240=91120\tfrac{182}{240} = \tfrac{91}{120}

La bonne réponse : « 91120\frac{91}{120} ». « 29120\frac{29}{120} » est la probabilité de deux modes différents à l'aller et au retour. « 13\frac{1}{3} » compte 3 cases favorables sur 9 cases : les cases n'ont pas le même effectif. « 103135\frac{103}{135} » fait la moyenne des trois quotients de la diagonale par les lignes, 6090\frac{60}{90}, 4860\frac{48}{60} et 7490\frac{74}{90} : les lignes n'ont pas le même effectif.

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Exercice 4

D'après le tableau, on choisit au hasard un employé qui est rentré en bus. Quelle est la probabilité qu'il soit venu à vélo le matin ?

  1. 340\frac{3}{40}
  2. 110\frac{1}{10}
  3. 140\frac{1}{40}
  4. 16\frac{1}{6}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 340\frac{3}{40}

Corrigé :

8080

l'univers : la colonne « Bus » du retour

680=340\tfrac{6}{80} = \tfrac{3}{40}

La bonne réponse : « 340\frac{3}{40} ». « 110\frac{1}{10} » divise par le total de la ligne « Vélo », 60 : ce sont les employés venus à vélo, la condition inversée. « 140\frac{1}{40} » divise par les 240 employés. « 16\frac{1}{6} » lit la case symétrique, « venu en bus, rentré à vélo » (10), sur la colonne « Vélo » (60).

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Exercice 5

D'après le tableau, on choisit au hasard un employé qui n'a utilisé la voiture ni à l'aller ni au retour. Quelle est la probabilité qu'il ait utilisé le même mode dans les deux sens ?

  1. 920\frac{9}{20}
  2. 2731\frac{27}{31}
  3. 431\frac{4}{31}
  4. 1825\frac{18}{25}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 2731\frac{27}{31}

Corrigé :

60+10+6+48=12460 + 10 + 6 + 48 = 124

l'univers : les quatre cases hors de la ligne et de la colonne « Voiture »

60+48=10860 + 48 = 108

même mode : bus-bus ou vélo-vélo

108124=2731\tfrac{108}{124} = \tfrac{27}{31}

La bonne réponse : « 2731\frac{27}{31} ». « 920\frac{9}{20} » divise par les 240 employés : l'univers ne contient que les employés sans voiture. « 1825\frac{18}{25} » divise par 150, le total des lignes « Bus » et « Vélo » : ce total compte aussi les 26 employés de ces lignes rentrés en voiture. « 431\frac{4}{31} » est la probabilité de deux modes différents dans ce groupe.

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Exercice 6

On tire au hasard 4 cartes, sans remise, parmi 10 cartes numérotées de 1 à 10. Quelle est la probabilité que ni la carte 1 ni la carte 10 ne soient tirées ?

  1. 925\frac{9}{25}
  2. 13\frac{1}{3}
  3. 15\frac{1}{5}
  4. 2845\frac{28}{45}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 13\frac{1}{3}

Corrigé :

610\tfrac{6}{10}

la carte 1 est parmi les 6 cartes non tirées

59\tfrac{5}{9}

la carte 10 aussi : 5 places non tirées parmi les 9 restantes

610×59=13\tfrac{6}{10} \times \tfrac{5}{9} = \tfrac{1}{3}

La bonne réponse : « 13\frac{1}{3} ». « 15\frac{1}{5} » fait 1−410−4101 - \frac{4}{10} - \frac{4}{10} : le cas où les deux cartes sont tirées est retiré deux fois. « 925\frac{9}{25} » élève 610\frac{6}{10} au carré, comme si les deux cartes étaient indépendantes : une fois la carte 1 hors du tirage, la carte 10 n'a plus que 9 places possibles. « 2845\frac{28}{45} » fait 810×79\frac{8}{10} \times \frac{7}{9}, comme si l'on ne tirait que deux cartes.

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Exercice 7

Un sac contient 5 billes rouges et 3 bleues. Gal tire une bille, la met de côté sans la regarder, puis tire une seconde bille. Quelle est la probabilité que la seconde bille soit rouge ?

  1. 514\frac{5}{14}
  2. 58\frac{5}{8}
  3. 47\frac{4}{7}
  4. 57\frac{5}{7}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 58\frac{5}{8}

Corrigé :

58×47+38×57\tfrac{5}{8} \times \tfrac{4}{7} + \tfrac{3}{8} \times \tfrac{5}{7}

les deux cas de la première bille

20+1556=3556=58\begin{aligned}\tfrac{20 + 15}{56} &= \tfrac{35}{56} \\ &= \tfrac{5}{8}\end{aligned}

une première bille inconnue ne change rien : la seconde a la même probabilité que la première

La bonne réponse : « 58\frac{5}{8} ». « 47\frac{4}{7} » suppose que la première bille était rouge : rien ne le dit. « 57\frac{5}{7} » suppose que la première bille était bleue. « 514\frac{5}{14} » est la probabilité que les deux billes soient rouges.

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Exercice 8

On choisit au hasard un entier de 1 à 60. Quelle est la probabilité qu'il soit divisible par 4 ou par 6 ?

  1. 14\frac{1}{4}
  2. 112\frac{1}{12}
  3. 13\frac{1}{3}
  4. 512\frac{5}{12}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 13\frac{1}{3}

Corrigé :

15+10−5=2015 + 10 - 5 = 20

multiples de 4, multiples de 6, moins les multiples de 12, présents dans les deux listes

2060=13\tfrac{20}{60} = \tfrac{1}{3}

divisible par 4 et par 6, c'est divisible par 12, pas par 24

La bonne réponse : « 13\frac{1}{3} ». « 512\frac{5}{12} » additionne les 15 multiples de 4 et les 10 multiples de 6 : les 5 multiples de 12 sont comptés deux fois. « 112\frac{1}{12} » ne compte que les nombres divisibles par 4 et par 6. « 14\frac{1}{4} » ne compte que les multiples de 4.

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Exercice 9

On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité que le plus grand des deux résultats soit 5 ? (Si les deux résultats sont égaux, le plus grand est ce résultat.)

  1. 16\frac{1}{6}
  2. 518\frac{5}{18}
  3. 14\frac{1}{4}
  4. 521\frac{5}{21}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 14\frac{1}{4}

Corrigé :

5×5=255 \times 5 = 25

les deux dés au plus 5

25−4×4=925 - 4 \times 4 = 9

moins les cas où les deux sont au plus 4

936=14\tfrac{9}{36} = \tfrac{1}{4}

La bonne réponse : « 14\frac{1}{4} ». « 16\frac{1}{6} » raisonne sur un seul dé. « 518\frac{5}{18} » compte 5 issues avec un 5 sur le premier dé, puis 5 avec un 5 sur le second : (5, 5) est compté deux fois. « 521\frac{5}{21} » compte des paires non ordonnées, de {1, 5} à {5, 5}, parmi 21 : elles n'ont pas la même chance.

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Exercice 10

Trois amis choisissent chacun, au hasard et indépendamment, l'un des 4 cafés d'une rue. Quelle est la probabilité qu'au moins deux d'entre eux choisissent le même café ?

  1. 34\frac{3}{4}
  2. 38\frac{3}{8}
  3. 116\frac{1}{16}
  4. 58\frac{5}{8}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 58\frac{5}{8}

Corrigé :

44×34×24=38\tfrac{4}{4} \times \tfrac{3}{4} \times \tfrac{2}{4} = \tfrac{3}{8}

le contraire : trois cafés différents

1−38=581 - \tfrac{3}{8} = \tfrac{5}{8}

La bonne réponse : « 58\frac{5}{8} ». « 38\frac{3}{8} » est la probabilité que les trois cafés soient tous différents. « 116\frac{1}{16} » est la probabilité que les trois amis choisissent le même café. « 34\frac{3}{4} » additionne 14\frac{1}{4} pour chacune des 3 paires d'amis : le cas où les trois sont ensemble est compté trois fois.

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