Série 3 — Arbres, tableaux et issues ordonnées · Probabilités · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours de méthode et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Dans un tableau croisé, la condition (« un jour où… », « parmi ceux qui… ») choisit une ligne ou une colonne : c'est son total qui va au dénominateur. Dans un dénombrement de dés, comptez des issues ordonnées : (1, 3) et (3, 1) sont deux issues.

Prévisions et temps observé

Temps annoncé	Soleil	Nuageux	Pluie	Total
Soleil	120	24	6	150
Nuageux	10	50	40	100
Pluie	4	32	14	50
Total	134	106	60	300

Pendant 300 jours, une station météo de Safed a noté le temps qu'elle annonçait la veille (lignes) et le temps observé le jour même (colonnes). Les questions marquées « d'après le tableau » s'y réfèrent.

Exercices

Exercice 1

L'urne A contient 2 boules rouges et 2 blanches ; l'urne B, 1 boule rouge et 3 blanches. On lance un dé : sur 1 ou 2, on tire une boule dans l'urne A ; sinon, dans l'urne B. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?

$\frac{3}{8}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{3}{4}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{1}{3}$

Corrigé :

\tfrac{1}{3} \times \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{6}

urne A (le dé montre 1 ou 2), puis rouge

\tfrac{2}{3} \times \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{6}

urne B, puis rouge

\tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{3}

La bonne réponse : « $\frac{1}{3}$ ». « $\frac{3}{8}$ » donne le même poids aux deux urnes, $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right)$ , ou verse les 8 boules dans un seul tas, ce qui revient ici au même : le dé choisit l'urne B deux fois sur trois. « $\frac{1}{6}$ » ne garde qu'une des deux branches. « $\frac{3}{4}$ » additionne les deux probabilités de tirer rouge sans les pondérer par le dé.

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Exercice 2

On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité qu'aucun des deux ne montre 6 ?

$\frac{11}{36}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{35}{36}$
$\frac{25}{36}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{25}{36}$

Corrigé :

\tfrac{5}{6} \times \tfrac{5}{6} = \tfrac{25}{36}

chaque dé évite le 6, indépendamment de l'autre

La bonne réponse : « $\frac{25}{36}$ ». « $\frac{2}{3}$ » retranche $\frac{1}{6}$ pour chaque dé, $1 - \frac{2}{6}$ : le cas « 6 et 6 » est retiré deux fois. « $\frac{35}{36}$ » ne retire que le cas « 6 et 6 » : c'est le contraire de « les deux dés montrent 6 », pas de « au moins un 6 ». « $\frac{11}{36}$ » est la probabilité qu'au moins un dé montre 6.

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Exercice 3

On lance un dé équilibré trois fois et on note les résultats dans l'ordre. Affirmation I : obtenir la suite 6, 6, 6 est aussi probable qu'obtenir la suite 2, 5, 3. Affirmation II : obtenir trois 6 est aussi probable qu'obtenir les nombres 2, 3 et 5, dans un ordre quelconque. Laquelle des réponses suivantes est juste ?

II seulement
I seulement
Ni I ni II
I et II

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B I seulement

Corrigé :

\left(\tfrac{1}{6}\right)^3 = \tfrac{1}{216}

toute suite précise de trois lancers : I est vraie

3 \times 2 \times 1 = 6

2, 3 et 5 dans un ordre quelconque : six suites

\tfrac{6}{216} \neq \tfrac{1}{216}

II est fausse

La bonne réponse : « I seulement ». « II seulement » inverse les deux affirmations : 6, 6, 6 paraît plus rare parce qu'elle est régulière, mais toute suite précise a la même probabilité. « I et II » oublie que « dans un ordre quelconque » réunit six suites. « Ni I ni II » croit que la suite 6, 6, 6 est moins probable qu'une suite « mélangée ».

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Exercice 4

D'après le tableau, on choisit au hasard un jour où la station avait annoncé un temps nuageux. Quelle est la probabilité qu'il ait plu ce jour-là ?

$\frac{2}{15}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{5}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{2}{5}$

Corrigé :

100

l'univers : la ligne « Nuageux »

\tfrac{40}{100} = \tfrac{2}{5}

La bonne réponse : « $\frac{2}{5}$ ». « $\frac{2}{3}$ » divise par le total de la colonne « Pluie » : c'est la part des jours annoncés nuageux parmi les jours de pluie. « $\frac{2}{15}$ » divise par les 300 jours. « $\frac{1}{2}$ » lit la case « Nuageux / Nuageux », celle d'une prévision juste.

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Exercice 5

D'après le tableau, un jour où la station a annoncé un temps nuageux, quel temps est le plus probable ?

Un temps nuageux
Le tableau ne permet pas de le savoir
Du soleil
De la pluie

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A Un temps nuageux

Corrigé :

10 < 40 < 50

dans la ligne « Nuageux », les trois cases ont le même dénominateur, 100 : on compare les cases

\tfrac{50}{100} > \tfrac{40}{100}

La bonne réponse : « Un temps nuageux ». « De la pluie » compare $\frac{40}{60}$ à $\frac{50}{106}$ , deux quotients par les totaux des colonnes : c'est la probabilité de l'annonce sachant le temps observé, la condition inversée. « Du soleil » lit la plus grande case du tableau, 120 ; elle est dans la ligne « Soleil », et la condition « annoncé nuageux » fixe la ligne « Nuageux ». « Le tableau ne permet pas de le savoir » la ligne « Nuageux » est donnée en entier : c'est tout ce qu'il faut.

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Exercice 6

D'après le tableau, on choisit au hasard un jour où il a plu. Quelle est la probabilité que la station ait annoncé de la pluie la veille ?

$\frac{7}{150}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{7}{25}$
$\frac{7}{30}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{7}{30}$

Corrigé :

60

l'univers : la colonne « Pluie », les 60 jours de pluie

\tfrac{14}{60} = \tfrac{7}{30}

La bonne réponse : « $\frac{7}{30}$ ». « $\frac{7}{25}$ » divise par le total de la ligne « Pluie » : c'est la probabilité qu'il pleuve quand la pluie est annoncée, la condition inversée. « $\frac{7}{150}$ » divise par les 300 jours. « $\frac{2}{3}$ » lit la plus grande case de la colonne, celle des jours annoncés nuageux.

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Exercice 7

Vingt élèves, dont Noa et Ella, sont répartis au hasard en 4 groupes de 5. Quelle est la probabilité que Noa et Ella soient dans le même groupe ?

$\frac{1}{16}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{5}$
$\frac{4}{19}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{4}{19}$

Corrigé :

19

Noa est placée ; il reste 19 places pour Ella

4

dont 4 dans le groupe de Noa

P = \tfrac{4}{19}

La bonne réponse : « $\frac{4}{19}$ ». « $\frac{1}{4}$ » raisonne sur les 4 groupes, ou fait $\frac{5}{20}$ : Noa occupe déjà l'une des 5 places de son groupe. « $\frac{1}{5}$ » fait $\frac{4}{20}$ : la place de Noa est retirée du groupe, mais pas de l'ensemble des places. « $\frac{1}{16}$ » élève $\frac{1}{4}$ au carré : c'est la probabilité que les deux soient dans un groupe fixé d'avance, et encore en traitant leurs places comme indépendantes.

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Exercice 8

On lance deux dés équilibrés. Soit A l'événement « le premier dé montre 4 » et B l'événement « les deux dés montrent le même nombre ». Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

On ne peut pas comparer ces deux événements
$P(A) = P(B)$
$P(A) = 6 \cdot P(B)$
$P(B) = 6 \cdot P(A)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $P(A) = P(B)$

Corrigé :

P(A) = \tfrac{1}{6}

le second dé est libre

\begin{aligned}P(B) &= \tfrac{6}{36} \\ &= \tfrac{1}{6}\end{aligned}

six doubles parmi 36 issues ; ou : quel que soit le premier dé, le second le rejoint avec une chance sur six

La bonne réponse : « $P(A) = P(B)$ ». « $P(A) = 6 \cdot P(B)$ » prend $P(B) = \frac{1}{36}$ : c'est la probabilité d'un double précis, par exemple deux 4, et non d'un double quelconque. « $P(B) = 6 \cdot P(A)$ » compte bien 6 doubles, mais donne à A la probabilité $\frac{1}{36}$ , comme s'il fallait aussi fixer le second dé. « On ne peut pas comparer ces deux événements » deux événements d'une même expérience se comparent toujours par leurs probabilités : ici $\frac{1}{6}$ et $\frac{1}{6}$ .

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Exercice 9

On lance trois dés équilibrés. Quelle est la probabilité que la somme des trois résultats soit au moins 16 ?

$\frac{1}{36}$
$\frac{1}{54}$
$\frac{1}{24}$
$\frac{5}{108}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{5}{108}$

Corrigé :

6^3 = 216

les issues ordonnées

3 + 3 = 6

somme 16 : (4, 6, 6) et (5, 5, 6), chacune dans ses trois ordres

3

somme 17 : (5, 6, 6) dans ses trois ordres

1

somme 18 : (6, 6, 6)

\tfrac{10}{216} = \tfrac{5}{108}

La bonne réponse : « $\frac{5}{108}$ ». « $\frac{1}{54}$ » compte 4 issues, {4, 6, 6}, {5, 5, 6}, {5, 6, 6} et {6, 6, 6}, sans leurs ordres : (4, 6, 6), (6, 4, 6) et (6, 6, 4) sont trois issues différentes. « $\frac{1}{24}$ » oublie la somme 18, celle de (6, 6, 6). « $\frac{1}{36}$ » ne compte que la somme 16 exactement.

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Exercice 10

Une boîte contient 3 jetons rouges, 2 verts et 1 bleu. On en tire 2 au hasard, sans remise. Quelle est la probabilité que les deux jetons soient de couleurs différentes ?

$\frac{4}{15}$
$\frac{11}{18}$
$\frac{11}{15}$
$\frac{2}{5}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{11}{15}$

Corrigé :

\tfrac{3}{6} \times \tfrac{2}{5} = \tfrac{1}{5}

deux rouges

\tfrac{2}{6} \times \tfrac{1}{5} = \tfrac{1}{15}

deux verts ; deux bleus est impossible

1 - \tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{15} = \tfrac{11}{15}

par le contraire

La bonne réponse : « $\frac{11}{15}$ ». « $\frac{11}{18}$ » calcule avec remise : « même couleur » vaudrait alors $\frac{9 + 4 + 1}{36}$ . « $\frac{4}{15}$ » est la probabilité de la même couleur. « $\frac{2}{5}$ » ne compte que les couples rouge–vert, $2 \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5}$ , et oublie les couples qui contiennent le bleu.

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Exercices

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