Série 2 — Avec ou sans remise, au moins un

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours de méthode et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

« Et » se multiplie ; « ou » s'additionne quand les cas ne se recouvrent pas ; « au moins un » se calcule presque toujours par son contraire, « aucun ». Sans remise, le dénominateur baisse d'une unité à chaque tirage.

Exercices

Exercice 1

À chaque tir au but, Omer marque avec une probabilité de 25\frac{2}{5}, indépendamment des autres tirs. Quelle est la probabilité qu'il marque pour la première fois à son troisième tir ?

  1. 18125\frac{18}{125}
  2. 25\frac{2}{5}
  3. 12125\frac{12}{125}
  4. 8125\frac{8}{125}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 18125\frac{18}{125}

Corrigé :

35×35\tfrac{3}{5} \times \tfrac{3}{5}

les deux premiers tirs sont manqués

35×35×25=18125\tfrac{3}{5} \times \tfrac{3}{5} \times \tfrac{2}{5} = \tfrac{18}{125}

puis le troisième est un but

La bonne réponse : « 18125\frac{18}{125} ». « 25\frac{2}{5} » ne regarde que le troisième tir : il faut aussi que les deux premiers soient manqués. « 8125\frac{8}{125} » élève 25\frac{2}{5} au cube : ce sont trois buts de suite. « 12125\frac{12}{125} » inverse les rôles : un tir manqué et deux buts, 35×25×25\frac{3}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{5}.

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Exercice 2

On tire au sort 2 délégués parmi les 6 membres d'un club, dont Avi et Ben. Quelle est la probabilité que les deux délégués soient Avi et Ben ?

  1. 130\frac{1}{30}
  2. 118\frac{1}{18}
  3. 19\frac{1}{9}
  4. 115\frac{1}{15}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 115\frac{1}{15}

Corrigé :

26\tfrac{2}{6}

Avi ou Ben est tiré en premier

15\tfrac{1}{5}

l'autre est tiré parmi les 5 membres restants

26×15=115\tfrac{2}{6} \times \tfrac{1}{5} = \tfrac{1}{15}

même résultat en comptant : 15 paires possibles, une seule favorable

La bonne réponse : « 115\frac{1}{15} ». « 19\frac{1}{9} » élève 26\frac{2}{6} au carré : les deux tirages ne sont pas indépendants, la place prise par l'un n'est plus libre. « 118\frac{1}{18} » fait 26×16\frac{2}{6} \times \frac{1}{6} : au second tirage, il reste 5 membres, pas 6. « 130\frac{1}{30} » compte 6×5=306 \times 5 = 30 couples ordonnés mais un seul favorable : « Avi puis Ben » et « Ben puis Avi » donnent la même délégation.

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Exercice 3

Le matin, Yossi prend le bus avec une probabilité de 23\frac{2}{3}, et le train sinon. En bus, il arrive en retard avec une probabilité de 14\frac{1}{4} ; en train, avec une probabilité de 110\frac{1}{10}. Quelle est la probabilité qu'il arrive en retard un matin donné ?

  1. 720\frac{7}{20}
  2. 16\frac{1}{6}
  3. 740\frac{7}{40}
  4. 15\frac{1}{5}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 15\frac{1}{5}

Corrigé :

23×14=16\tfrac{2}{3} \times \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{6}

bus, puis retard

13×110=130\tfrac{1}{3} \times \tfrac{1}{10} = \tfrac{1}{30}

train, puis retard

16+130=630=15\begin{aligned}\tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{30} &= \tfrac{6}{30} \\ &= \tfrac{1}{5}\end{aligned}

La bonne réponse : « 15\frac{1}{5} ». « 720\frac{7}{20} » additionne les deux probabilités de retard sans les pondérer par le choix du transport. « 740\frac{7}{40} » donne le même poids au bus et au train, 12\frac{1}{2} chacun, alors que le bus est deux fois plus fréquent. « 16\frac{1}{6} » ne garde que la branche du bus.

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Exercice 4

On lance une pièce équilibrée 5 fois. Soit A l'événement « on obtient exactement la suite P F P F F » (P pour pile, F pour face), et B l'événement « on obtient pile exactement deux fois ». Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

  1. P(B)=P(A)P(B) = P(A)
  2. P(B)=5⋅P(A)P(B) = 5 \cdot P(A)
  3. P(B)=2⋅P(A)P(B) = 2 \cdot P(A)
  4. P(B)=10⋅P(A)P(B) = 10 \cdot P(A)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D P(B)=10⋅P(A)P(B) = 10 \cdot P(A)

Corrigé :

P(A)=(12)5=132\begin{aligned}P(A) &= \left(\tfrac{1}{2}\right)^5 \\ &= \tfrac{1}{32}\end{aligned}

une suite précise

5×42=10\tfrac{5 \times 4}{2} = 10

les places des deux piles parmi les cinq lancers : 10 suites, chacune de probabilité 132\frac{1}{32}

P(B)=1032=10⋅P(A)\begin{aligned}P(B) &= \tfrac{10}{32} \\ &= 10 \cdot P(A)\end{aligned}

La bonne réponse : « P(B)=10⋅P(A)P(B) = 10 \cdot P(A) ». « P(B)=P(A)P(B) = P(A) » confond une suite précise avec un nombre de piles : P F P F F n'est qu'une des façons d'avoir deux piles. « P(B)=2⋅P(A)P(B) = 2 \cdot P(A) » multiplie par le nombre de piles au lieu du nombre de façons de placer ces deux piles. « P(B)=5⋅P(A)P(B) = 5 \cdot P(A) » ne choisit que la place d'un pile parmi les 5 lancers, et oublie celle du second.

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Exercice 5

Un bocal contient 12 bonbons verts ; tous les autres sont jaunes. On en prend un au hasard : il est jaune avec une probabilité de 35\frac{3}{5}. Combien de bonbons le bocal contient-il en tout ?

  1. 1818
  2. 3232
  3. 3030
  4. 2020
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 3030

Corrigé :

1−35=251 - \tfrac{3}{5} = \tfrac{2}{5}

la probabilité de prendre un bonbon vert

12n=25  ⇒  n=30\begin{aligned}\tfrac{12}{n} &= \tfrac{2}{5} \;\Rightarrow\; n \\ &= 30\end{aligned}

on nomme nn le total

La bonne réponse : « 3030 ». « 2020 » divise 12 par 35\frac{3}{5} : cette probabilité est celle des jaunes, alors que 12 est le nombre de verts. « 1818 » est le nombre de bonbons jaunes, pas le total. « 3232 » ajoute aux 12 verts le 20 de la première erreur.

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Exercice 6

Lior répond au hasard à 3 questions d'un QCM ; chaque question a 4 réponses proposées, dont une seule est juste. Quelle est la probabilité qu'il réponde juste à au moins une des trois questions ?

  1. 2764\frac{27}{64}
  2. 164\frac{1}{64}
  3. 34\frac{3}{4}
  4. 3764\frac{37}{64}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 3764\frac{37}{64}

Corrigé :

(34)3=2764\left(\tfrac{3}{4}\right)^3 = \tfrac{27}{64}

le contraire : aucune bonne réponse

1−2764=37641 - \tfrac{27}{64} = \tfrac{37}{64}

La bonne réponse : « 3764\frac{37}{64} ». « 34\frac{3}{4} » additionne trois fois 14\frac{1}{4} : les cas à deux ou trois bonnes réponses sont comptés plusieurs fois. « 2764\frac{27}{64} » est la probabilité de n'avoir aucune bonne réponse. « 164\frac{1}{64} » est la probabilité d'avoir les trois bonnes réponses.

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Exercice 7

Shira et Tamar choisissent chacune, au hasard et indépendamment, l'un des 5 parfums d'un glacier. Quelle est la probabilité qu'elles choisissent le même parfum ?

  1. 45\frac{4}{5}
  2. 25\frac{2}{5}
  3. 15\frac{1}{5}
  4. 125\frac{1}{25}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 15\frac{1}{5}

Corrigé :

5×5=255 \times 5 = 25

l'univers : 25 couples de choix

525=15\tfrac{5}{25} = \tfrac{1}{5}

un couple favorable par parfum ; ou : quel que soit le choix de Shira, Tamar la rejoint avec une chance sur 5

La bonne réponse : « 15\frac{1}{5} ». « 125\frac{1}{25} » est la probabilité qu'elles choisissent toutes les deux un parfum fixé d'avance, par exemple la vanille. « 45\frac{4}{5} » est la probabilité de deux parfums différents. « 25\frac{2}{5} » double 15\frac{1}{5}, comme s'il fallait compter « Shira puis Tamar » et « Tamar puis Shira ».

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Exercice 8

On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité que la somme des deux résultats soit 4 ?

  1. 111\frac{1}{11}
  2. 221\frac{2}{21}
  3. 118\frac{1}{18}
  4. 112\frac{1}{12}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 112\frac{1}{12}

Corrigé :

6×6=366 \times 6 = 36

les issues ordonnées, toutes équiprobables

(1,3), (3,1), (2,2)(1,3),\ (3,1),\ (2,2)

trois issues favorables

336=112\tfrac{3}{36} = \tfrac{1}{12}

La bonne réponse : « 112\frac{1}{12} ». « 118\frac{1}{18} » compte {1, 3} et {2, 2} comme deux issues seulement : (1, 3) et (3, 1) sont deux issues différentes. « 111\frac{1}{11} » suppose que les 11 sommes possibles, de 2 à 12, ont la même chance ; ce n'est pas le cas. « 221\frac{2}{21} » compte 21 paires non ordonnées, qui n'ont pas la même chance : {1, 3} est deux fois plus probable que {2, 2}.

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Exercice 9

Une trousse contient 4 crayons rouges et 4 crayons bleus. Eden en tire 2 au hasard, sans remise. Quelle est la probabilité que les deux crayons soient de la même couleur ?

  1. 38\frac{3}{8}
  2. 37\frac{3}{7}
  3. 314\frac{3}{14}
  4. 12\frac{1}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 37\frac{3}{7}

Corrigé :

48×37=314\tfrac{4}{8} \times \tfrac{3}{7} = \tfrac{3}{14}

deux rouges : au second tirage, il reste 7 crayons

48×37=314\tfrac{4}{8} \times \tfrac{3}{7} = \tfrac{3}{14}

deux bleus, de même

314+314=37\tfrac{3}{14} + \tfrac{3}{14} = \tfrac{3}{7}

La bonne réponse : « 37\frac{3}{7} ». « 12\frac{1}{2} » calcule avec remise : chaque couleur vaudrait (48)2\left(\frac{4}{8}\right)^2, et les deux ensemble 12\frac{1}{2}. « 314\frac{3}{14} » ne compte que le cas « deux rouges » : « deux bleus » est aussi « la même couleur ». « 38\frac{3}{8} » réduit le nombre de crayons de la couleur tirée, mais pas le total : 2×48×382 \times \frac{4}{8} \times \frac{3}{8}.

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Exercice 10

On choisit au hasard un nombre parmi les entiers de 1 à 40 qui ne sont pas des multiples de 4. Quelle est la probabilité qu'en lui ajoutant 1, on obtienne un multiple de 4 ?

  1. 14\frac{1}{4}
  2. 23\frac{2}{3}
  3. 34\frac{3}{4}
  4. 13\frac{1}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 13\frac{1}{3}

Corrigé :

40−10=3040 - 10 = 30

l'univers : on retire les 10 multiples de 4

3, 7, 11, …, 393,\ 7,\ 11,\ \dots,\ 39

il faut un reste de 3 dans la division par 4 : 10 nombres

1030=13\tfrac{10}{30} = \tfrac{1}{3}

les restes 1, 2 et 3 sont aussi nombreux de 1 à 40

La bonne réponse : « 13\frac{1}{3} ». « 14\frac{1}{4} » applique l'habitude « un nombre sur quatre », ou divise les 10 cas favorables par les 40 entiers : l'univers n'a que 30 nombres. « 34\frac{3}{4} » est la part des non-multiples de 4 parmi les 40 entiers : ce n'est pas l'événement demandé. « 23\frac{2}{3} » compte aussi les nombres de reste 2 (2, 6, 10…), qui deviennent multiples de 4 en ajoutant 2, pas 1.

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