Série 5 — Format examen · Proportionnalité et rapport · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez un chrono : dix minutes pour la série, le rythme de l'examen, une minute par question. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le geste qui vous a manqué. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Un seul réflexe dans cette série : nommez la famille avant de calculer, puis testez avec des nombres. Un quotient pour un taux d'échange ; un produit de facteurs pour un rendement ; une base commune pour des indices ; un demi-tour pour être opposés ; et un écart ne donne jamais un rapport : quand il manque le rapport, la réponse est « on ne peut pas savoir ».

Vitesses d'entraînement de cinq coureurs d'un club de Rishon LeZion

Coureur	Vitesse (mètres par minute)
Adi	250
Boaz	200
Carmel	240
Dor	150
Eden	?

Données inventées. Chaque coureur garde sa vitesse, constante, du départ à l'arrivée. La vitesse d'Eden n'est pas donnée. Les questions marquées « d'après le tableau » s'y réfèrent.

Exercices

Exercice 1

Chez un épicier de Nazareth, $\frac{3}{5}$ kg de café coûtent autant que $4\frac{1}{2}$ kg de riz. Combien de kilos de café coûtent autant que $15$ kg de riz ?

$40{,}5$
$2$
$9$
$112{,}5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $2$

Corrigé :

\begin{aligned}1 \text{ kg de riz} &= \dfrac{3/5}{9/2} \\ &= \dfrac{6}{45} \\ &= \dfrac{2}{15} \text{ kg de café}\end{aligned}

le taux d'échange : un quotient

15 \times \dfrac{2}{15} = 2

pour 15 kg de riz

La bonne réponse : « $2$ ». « $112{,}5$ » inverse le quotient, $15 \times \frac{15}{2}$ : le café est plus cher, il en faut donc moins que de riz. « $40{,}5$ » multiplie les deux fractions, $15 \times \frac{3}{5} \times \frac{9}{2}$ . « $9$ » oublie le riz de l'égalité : $15 \times \frac{3}{5}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Un atelier de couture livre une commande en $12$ jours, à raison de $10$ heures de travail par jour. Pour une commande identique, il ne travaille plus que $8$ heures par jour, mais une nouvelle machine augmente de $50\,\%$ ce qu'il produit par heure. En combien de jours livre-t-il cette commande ?

$10$
$8$
environ $9{,}2$
$15$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $10$

Corrigé :

\begin{aligned}\dfrac{8}{10} \times 1{,}5 &= 0{,}8 \times 1{,}5 \\ &= 1{,}2\end{aligned}

le travail d'une journée, rapporté à l'ancien : heures × rendement horaire

\dfrac{12}{1{,}2} = 10

il produit chaque jour $1{,}2$ fois plus : il lui faut $1{,}2$ fois moins de jours

La bonne réponse : « $10$ ». « $15$ » ne tient compte que des heures, $12 \times \frac{10}{8}$ , et oublie la machine. « $8$ » ne tient compte que de la machine, $\frac{12}{1{,}5}$ . « environ $9{,}2$ » additionne les variations, $-20\,\% + 50\,\% = +30\,\%$ , puis divise $12$ par $1{,}3$ : deux variations en pourcentage se multiplient.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Avant un voyage, Michal change des shekels en euros. Un euro coûte $4$ shekels, et la banque ajoute une commission de $5\,\%$ du montant converti. Michal dispose de $2\,520$ shekels en tout, commission comprise. Combien d'euros peut-elle obtenir, au plus ?

$600$
$598{,}5$
$2\,400$
$630$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $600$

Corrigé :

4 \times 1{,}05 = 4{,}2

le coût réel d'un euro, commission ajoutée

\dfrac{2\,520}{4{,}2} = 600

le budget divisé par ce coût

La bonne réponse : « $600$ ». « $598{,}5$ » retire $5\,\%$ du budget, $2\,520 \times 0{,}95$ , puis divise par $4$ : la commission porte sur le montant converti, pas sur le budget. « $630$ » oublie la commission. « $2\,400$ » retire la commission, $\frac{2\,520}{1{,}05}$ , mais ne convertit pas : ce sont encore des shekels.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

D'après le tableau, Adi et Dor partent ensemble pour une course de $3$ km. Quand Adi franchit la ligne d'arrivée, à quelle distance de l'arrivée se trouve Dor, en mètres ?

$1\,200$
$2\,000$
$1\,800$
$600$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $1\,200$

Corrigé :

\dfrac{3\,000}{250} = 12 \text{ min}

le temps d'Adi, le plus rapide, sur toute la course

150 \times 12 = 1\,800 \text{ m}

la distance de Dor pendant ce temps

3\,000 - 1\,800 = 1\,200

ce qui lui reste

La bonne réponse : « $1\,200$ ». « $1\,800$ » est la distance que Dor a parcourue, pas celle qui lui reste. « $2\,000$ » multiplie l'écart des vitesses, $100$ m/min, par le temps de Dor, $20$ minutes : quand Adi arrive, seules $12$ minutes ont passé. « $600$ » lit la ligne de Boaz, $200 \times 12 = 2\,400$ , au lieu de celle de Dor.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Dor part de l'extrémité A d'un sentier, vers l'extrémité B. Quand il a couru $300$ m, Eden part de B vers A ; à cet instant, $1\,500$ m les séparent. Ils se croisent exactement au milieu du sentier. D'après le tableau, quelle est la vitesse d'Eden, en mètres par minute ?

$100$
$150$
$250$
$225$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $225$

Corrigé :

300 + 1\,500 = 1\,800 \text{ m}

le sentier entier : ce que Dor a couru, plus l'écart

\begin{aligned}900 - 300 &= 600 \text{ m} \;\Rightarrow\; \dfrac{600}{150} \\ &= 4 \text{ min}\end{aligned}

il reste à Dor 600 m jusqu'au milieu

\dfrac{900}{4} = 225

Eden fait 900 m dans le même temps

La bonne réponse : « $225$ ». « $250$ » prend l'écart de $1\,500$ m pour le sentier entier : le milieu serait à $750$ m, Dor y arriverait en $3$ minutes, et Eden ferait $750$ m. « $150$ » suppose qu'ils vont à la même vitesse parce qu'ils se croisent au milieu ; mais Dor est parti plus tôt. « $100$ » inverse le rapport des distances : $150 \times \frac{600}{900}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Boaz et Carmel partent au même moment du même point d'une piste circulaire de $105$ m de rayon, et courent en sens opposés. D'après le tableau, au bout de combien de temps sont-ils pour la première fois diamétralement opposés ? (On prendra $\pi = \frac{22}{7}$ .)

$1$ minute $30$ secondes
$45$ secondes
$22{,}5$ secondes
$8$ minutes $15$ secondes

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $45$ secondes

Corrigé :

\begin{aligned}C &= 2 \times \tfrac{22}{7} \times 105 \\ &= 660 \text{ m}\end{aligned}

le tour de piste

\begin{aligned}\text{opposés} \;\Leftrightarrow\; d_B + d_C &= \tfrac{C}{2} \\ &= 330 \text{ m}\end{aligned}

en sens opposés, les distances s'additionnent ; il faut un demi-tour

\begin{aligned}\dfrac{330}{200 + 240} &= \dfrac{3}{4} \text{ min} \\ &= 45 \text{ s}\end{aligned}

les vitesses s'additionnent

La bonne réponse : « $45$ secondes ». « $1$ minute $30$ secondes » attend un tour entier, $660$ m : c'est le moment où ils se croisent. « $22{,}5$ secondes » calcule le tour par $\pi r$ , la formule avec le diamètre appliquée au rayon : $330$ m, puis un demi-tour de $165$ m. « $8$ minutes $15$ secondes » soustrait les vitesses, $240 - 200 = 40$ : c'est le calcul pour deux coureurs dans le même sens.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

En 2021, deux musées de Tel-Aviv ont eu exactement le même nombre d'entrées. En 2025, les entrées du musée A représentent $125\,\%$ de ses entrées de 2021 et s'élèvent à $50\,000$ ; celles du musée B représentent $90\,\%$ de ses entrées de 2021. Combien d'entrées le musée B a-t-il eues en 2025 ?

$45\,000$
$32\,500$
$36\,000$
$40\,000$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $36\,000$

Corrigé :

\dfrac{50\,000}{1{,}25} = 40\,000

la base de 2021, commune aux deux musées

0{,}9 \times 40\,000 = 36\,000

on applique l'indice de B à cette base

La bonne réponse : « $36\,000$ ». « $45\,000$ » applique $90\,\%$ à la valeur connue, $50\,000$ , au lieu de la base. « $40\,000$ » est la base de 2021 : on s'est arrêté avant la seconde étape. « $32\,500$ » retire l'écart des indices, $125 - 90 = 35$ points, en pourcentage de $50\,000$ : un écart de points ne se prend pas sur la valeur de 2025.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

$ABCD$ est un trapèze de bases $AB = 6$ cm et $CD = 15$ cm ( $AB \parallel CD$ ). L'aire du triangle $ABD$ est de $24$ cm². Quelle est l'aire du triangle $BCD$ , en cm² ?

$24$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données.
$150$
$60$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $60$

Corrigé :

\begin{aligned}S_{ABD} &= \tfrac{1}{2} \times 6 \times h \\ &= 24 \;\Rightarrow\; h \\ &= 8\end{aligned}

la base $AB$ , et le sommet $D$ sur l'autre base

S_{BCD} = \tfrac{1}{2} \times 15 \times h

la base $CD$ , et le sommet $B$ sur l'autre base : la même hauteur

24 \times \dfrac{15}{6} = 60

même hauteur : les aires suivent les bases

La bonne réponse : « $60$ ». « $24$ » croit les deux triangles d'aire égale, comme deux triangles sur la même base. « $150$ » élève le rapport des bases au carré, $24 \times \left(\frac{15}{6}\right)^2$ : les deux triangles ne sont pas semblables. « On ne peut pas le savoir… » réclame la hauteur ; elle est commune, et l'aire de $ABD$ la donne.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

Aux dernières élections municipales, la ville A a eu deux fois plus de votants que la ville B. La ville A compte aussi $20\,000$ inscrits de plus que la ville B. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ? (Le taux de participation d'une ville est le nombre de ses votants divisé par le nombre de ses inscrits.)

Le taux de participation de A est plus élevé que celui de B.
Le taux de participation de A est la moitié de celui de B.
Les données ne permettent pas de comparer les deux taux.
Le taux de participation de A est le double de celui de B.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C Les données ne permettent pas de comparer les deux taux.

Corrigé :

\begin{aligned}\dfrac{p_A}{p_B} &= \dfrac{2v / (I + 20\,000)}{v / I} \\ &= \dfrac{2I}{I + 20\,000}\end{aligned}

le rapport des votants, divisé par le rapport des inscrits

\begin{aligned}I &= 10\,000 : \tfrac{2}{3} < 1 \\ \qquad I &= 40\,000 : \tfrac{4}{3} > 1\end{aligned}

le rapport dépend du nombre d'inscrits de B, que l'énoncé ne donne pas

La bonne réponse : « Les données ne permettent pas de comparer les deux taux ». Un écart de $20\,000$ inscrits ne donne pas le rapport des inscrits, et c'est lui qui compte. « Le double » oublie le rapport des totaux : il compare des votants, pas des taux. « La moitié » n'est vraie que pour une seule valeur, $I = 6\,666\frac{2}{3}$ , qui n'est même pas entière. « Plus élevé » croit que plus de votants donne un meilleur taux ; avec $I = 10\,000$ , c'est faux.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Un cartographe prépare une carte de randonnée. Sur la carte, deux traits ne se distinguent que s'ils sont distants d'au moins $0{,}4$ mm. Deux sentiers parallèles sont distants de $8$ m sur le terrain, et ils doivent rester distincts. Quelle est l'échelle de la plus petite carte possible ?

$1 : 20$
$1 : 3\,200$
$1 : 20\,000$
$1 : 2\,000$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $1 : 20\,000$

Corrigé :

8 \text{ m} = 8\,000 \text{ mm}

les deux longueurs dans la même unité

\dfrac{8\,000}{n} \geq 0{,}4 \;\Leftrightarrow\; n \leq 20\,000

l'écart sur la carte doit atteindre $0{,}4$ mm

1 : 20\,000

la plus petite carte : le plus grand $n$ , où l'écart vaut exactement $0{,}4$ mm

La bonne réponse : « $1 : 20\,000$ ». « $1 : 2\,000$ » convertit les mètres en centimètres, $800$ , puis divise par $0{,}4$ mm. Elle donne aussi une carte dix fois plus grande que nécessaire. « $1 : 3\,200$ » multiplie par $0{,}4$ au lieu de diviser. « $1 : 20$ » divise sans convertir : $\frac{8}{0{,}4}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev