Le réflexe rapport · Proportionnalité et rapport · Psychométriques

Sur les vingt dernières sessions, 190 questions quantitatives se résolvent par un rapport, une proportion ou un pourcentage : entre six et quinze par session, près d'une sur quatre.

Le rapport pur en pèse à lui seul quarante-cinq : lire un rapport, partager un total, enchaîner deux rapports, suivre un rapport qui change, combiner des fractions de groupe.

Le formulaire de l'examen n'imprime rien sur le rapport : tout doit être su.

Cette unité tient en six gestes, et le premier les porte tous : un rapport se lit en parts. On compte des parts, puis on cherche ce que vaut une part — sans équation ni inconnue.

Geste 1 — Le rapport se lit en parts

« Le rapport des filles aux garçons est $2 : 3$ » ne dit pas combien il y a de filles.

Il dit : coupez la classe en parts égales. Les filles en prennent 2, les garçons 3 : cinq parts en tout.

a : b = 2 : 3

$a$ vaut 2 parts, $b$ en vaut 3 : $a = 2k$ , $b = 3k$

a + b = 5k

le total compte 5 parts : c'est un multiple de 5

b - a = k

l'écart vaut une part

\begin{aligned}a &= 3b \;\Rightarrow\; a : b \\ &= 3 : 1\end{aligned}

« trois fois plus » : 4 parts en tout

\begin{aligned}4a &= 6b \;\Rightarrow\; a : b \\ &= 6 : 4 \\ &= 3 : 2\end{aligned}

le coefficient change de côté

\frac{a}{a + b} = \frac{2}{5}

la part de $a$ dans le tout, à ne pas confondre avec $a : b$

La question finale est souvent une divisibilité : « lequel des nombres suivants peut être le total ? ». Le total compte un nombre entier de parts : c'est un multiple de la somme des termes du rapport.

Dans un club de sport de Haïfa, le rapport des adultes aux enfants est $4 : 5$ . Lequel de ces effectifs est possible : $30$ , $32$ , $36$ ou $40$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$36$ . Le club compte $4 + 5 = 9$ parts : son effectif est un multiple de $9$ . $36 = 9 \cdot 4$ donne $16$ adultes et $20$ enfants ; aucun des trois autres nombres ne se coupe en neuf parts égales.

Deux lectures à l'envers.

a \text{ est 3 fois plus grand que } b : a : b = 1 : 3

a : b = 3 : 1

le plus grand des deux prend le plus grand terme. Vérifiez avec $b = 1$ : alors $a = 3$ .

\begin{aligned}4a &= 6b \;\Rightarrow\; a : b \\ &= 4 : 6\end{aligned}

\begin{aligned}4a &= 6b \;\Rightarrow\; a : b \\ &= 6 : 4 \\ &= 3 : 2\end{aligned}

si $a$ porte le plus petit coefficient, c'est que $a$ est le plus grand. Testez $a = 3$ , $b = 2$ : $12 = 12$ .

Saurez-vous le dire en cinq secondes ? $5a = 2b$ . Que vaut $a : b$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$2 : 5$ . Le coefficient change de côté : $a = 2$ , $b = 5$ donne bien $10 = 10$ . Et c'est cohérent : $a$ , multiplié par le plus grand nombre, est le plus petit des deux.

Geste 2 — Partager selon un rapport

Partager un total selon un rapport, c'est le geste 1 à l'envers : on connaît le total, on compte les parts, on divise.

Deux formes reviennent dans les annales, et toutes deux cachent leur rapport derrière une phrase.

\text{3 fois chacun des autres} : 3 : 1 : 1

5 parts ; A fait les $\frac{3}{5}$ du total

\text{chacun double le précédent} : 1 : 2 : 4 : 8

15 parts ; le dernier fait plus de la moitié du total

\text{une part} = \text{total} \div \text{nombre de parts}

puis chaque groupe = ses parts × une part

Trois associés se partagent un bénéfice de $42\,000$ ₪. Le premier reçoit deux fois plus que chacun des deux autres. Combien reçoit-il ?

Voir la réponse et le corrigé

$21\,000$ ₪. Le rapport est $2 : 1 : 1$ , soit $4$ parts de $10\,500$ ₪. Le piège, $28\,000$ ₪, lit « deux fois plus que les deux autres réunis » : ce serait un rapport $2 : 1$ entre lui et le groupe, trois parts.

« Chacun des autres » contre « les autres réunis ».

\text{3 fois chacun des deux autres} : 3 : 1,\ 4 \text{ parts}

3 : 1 : 1,\ 5 \text{ parts}

« chacun » donne une part à chaque autre groupe. Le rapport $3 : 1$ en quatre parts dirait « trois fois les deux autres réunis ».

Geste 3 — Enchaîner deux rapports par le terme commun

« Dan a deux fois l'âge de Yaël, et Yaël trois fois celui de Tom. » Deux rapports, une personne en commun. On ne peut pas les poser côte à côte tant que le terme commun ne vaut pas le même nombre de parts dans les deux.

\begin{aligned}a : b &= 2 : 3 \\ \ \ b : c &= 4 : 5 \;\Rightarrow\; a : b : c \\ &= 8 : 12 : 15\end{aligned}

on porte $b$ à $12$ , le plus petit multiple commun de $3$ et $4$ , en multipliant chaque rapport en entier

\begin{aligned}A &= 2B \\ \ C &= 3A\end{aligned}

on pose $B = 1$ : $A = 2$ , $C = 6$ , donc $A : B : C = 2 : 1 : 6$

\begin{aligned}A &= 2B \\ \ B &= 6C\end{aligned}

on pose $C = 1$ : $B = 6$ , $A = 12$ , donc $A : C = 12 : 1$

Le raccourci des lettres. Quand les rapports s'écrivent « $A = 2B$ », posez $1$ sur la grandeur qui n'est le multiple de personne, et remontez la chaîne. Aucun multiple commun à chercher.

Coller les bouts.

\begin{aligned}a : b &= 2 : 3 \\ \ b : c &= 4 : 5 \;\Rightarrow\; a : c \\ &= 2 : 5\end{aligned}

a : c = 8 : 15

$b$ ne vaut pas le même nombre de parts dans les deux rapports : 3 d'un côté, 4 de l'autre. Il faut d'abord l'égaliser.

Geste 4 — Le rapport qui change : l'écart reste

Dans une question d'âges, tout le monde vieillit du même nombre d'années. Ajouter la même quantité à deux grandeurs conserve leur écart, jamais leur rapport. C'est l'écart qui devient l'unité de compte.

a + n,\ b + n

l'écart $a - b$ reste le même

\frac{a + n}{b + n} \neq \frac{a}{b}

le rapport se rapproche de $1$ (sauf si $a = b$ )

ka,\ kb

multiplier les deux par le même nombre conserve le rapport, pas l'écart

Les transferts suivent la même logique, retournée : ce que l'un donne, l'autre le reçoit. C'est la somme qui reste fixe.

Quand les dons s'enchaînent — « A donne la moitié de ce qu'il a à B, puis B rend le quart de ce qu'il a » —, on suit le total étape par étape, et on remonte depuis la fin quand l'énoncé donne l'état final.

Ron et Lia ont ensemble $120$ ₪. Ron donne le tiers de son argent à Lia ; ils ont alors autant l'un que l'autre. Combien Ron avait-il au départ ?

Voir la réponse et le corrigé

$90$ ₪. La somme reste $120$ : à la fin, chacun a $60$ . Ron garde les deux tiers de son argent, donc $\frac{2}{3}R = 60$ et $R = 90$ . Lia avait $30$ et reçoit $30$ .

Le rapport ne se transporte pas dans le temps.

\text{aujourd'hui } 3 : 1 \;\Rightarrow\; \text{dans 4 ans } 3 : 1

12 : 4 \;\to\; 16 : 8 = 2 : 1

les deux âges gagnent 4 ans, pas la même fraction d'eux-mêmes. Seul l'écart, 8 ans, se conserve.

Geste 5 — Fraction d'un groupe, fraction du reste, « k fois » combinés

C'est la famille la plus nombreuse du relevé : dix-sept questions.

Une fraction porte sur le tout, la suivante sur ce qui reste ; ou deux variations s'enchaînent, « trois fois plus cher, deux fois moins de clients ». Dans les deux cas, on multiplie.

\frac{1}{3} \text{ puis } \frac{1}{4} \text{ du reste}

il reste $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ du tout

\text{du reste} : \text{on multiplie les restes}

jamais $1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

\times 3,\ \text{puis} \times \frac{1}{2}

deux variations combinées : $\times \frac{3}{2}$

|A \cap B| \geq |A| + |B| - N

deux propriétés qui se chevauchent : le recouvrement minimal

Le facteur combiné

Un théâtre de Jaffa triple le prix de son billet ; le nombre de spectateurs est divisé par deux. Par combien la recette est-elle multipliée ?

\text{recette} = \text{prix} \times \text{spectateurs}

les deux facteurs se multiplient

3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

la recette est multipliée par $1{,}5$ : elle augmente de moitié

Autre forme : deux propriétés qui se chevauchent. Sur $40$ élèves, $25$ font du foot et $30$ de la natation. Combien font les deux ?

Dans un oulpan de $60$ élèves, les $\frac{2}{3}$ parlent anglais et les $\frac{3}{4}$ parlent russe. Combien d'élèves, au minimum, parlent les deux langues ?

Voir la réponse et le corrigé

$25$ . $40 + 45 = 85$ , soit $25$ de plus que l'effectif : ces $25$ élèves sont forcément comptés deux fois. Au maximum, $40$ — si tous les anglophones parlent aussi russe.

« Du reste » change le tout.

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} \text{ dépensés}

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}

le quart porte sur les deux tiers restants, pas sur le tout. Additionner deux fractions n'a de sens que si elles portent sur le même tout.

Geste 6 — Un pourcentage est un rapport

Un pourcentage de comparaison se convertit en rapport entier, et le geste 1 reprend la main.

« B a 25 % de plus que A » : $B = 1{,}25\,A = \frac{5}{4}A$ , donc $B : A = 5 : 4$ . Neuf parts : le total est un multiple de $9$ .

25 % de plus dans un sens n'est pas 25 % de moins dans l'autre.

\begin{aligned}B &= 1{,}25\,A \;\Rightarrow\; A \\ &= 0{,}75\,B\end{aligned}

\begin{aligned}B : A &= 5 : 4 \;\Rightarrow\; A \\ &= \frac{4}{5}B \\ &= 0{,}8\,B\end{aligned}

A a 20 % de moins que B, pas 25 % : la base a changé. Le rapport $5 : 4$ , lui, se lit dans les deux sens sans erreur.

Une école compte 20 % de filles de plus que de garçons. Lequel de ces effectifs est possible : $100$ , $110$ , $120$ ou $125$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$110$ . $+20\,\% = \times\frac{6}{5}$ : filles et garçons sont dans le rapport $6 : 5$ , onze parts. $110$ donne $60$ filles et $50$ garçons.

Le même geste vaut pour une remise : 15 % de remise laissent 85 % du prix, soit le rapport $85 : 100 = 17 : 20$ entre le prix payé et le prix affiché. Le premier exercice de fin d'unité le met en pratique.

En résumé. Un rapport se lit en parts, et le total est un multiple de leur somme. « Chacun des autres » donne une part à chaque groupe. Deux rapports s'enchaînent quand le terme commun vaut le même nombre de parts.

Le temps qui passe conserve l'écart, un transfert conserve la somme. « Du reste » se multiplie. Et un pourcentage de comparaison est un rapport entier.

Avant de cocher. Le total est-il un multiple de la somme des parts ? Le terme commun vaut-il le même nombre de parts dans les deux rapports ? A-t-on ajouté la même quantité aux deux — alors c'est l'écart qui tient, pas le rapport. « Du reste », « chacun des autres » : sur quel tout porte la fraction ? Le dernier exercice, les ouvriers et le mur, n'est plus un rapport mais une proportion inverse : un avant-goût de l'unité suivante, « Le réflexe proportion ».

Exercices

Exercice 1

Dans un kibboutz, $6$ fois le nombre de vaches est égal à $9$ fois le nombre de chevaux. Quel est le rapport du nombre de vaches au nombre de chevaux ?

$3 : 2$
$2 : 5$
$2 : 3$
$3 : 5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $3 : 2$

Corrigé :

6V = 9H

on écrit l'égalité avec $V$ vaches et $H$ chevaux

\begin{aligned}V &= 9 \\ \ H &= 6 \;\Rightarrow\; 54 \\ &= 54\end{aligned}

le coefficient change de côté : on essaie $V = 9$ , $H = 6$

\begin{aligned}V : H &= 9 : 6 \\ &= 3 : 2\end{aligned}

on simplifie par $3$

La bonne réponse : « $3 : 2$ ». Les vaches portent le plus petit coefficient : elles sont les plus nombreuses. « $2 : 3$ » recopie les coefficients $6$ et $9$ dans l'ordre de l'énoncé. « $3 : 5$ » donne la part des vaches dans le total des animaux, pas leur rapport aux chevaux. « $2 : 5$ » donne la part des chevaux dans le total.

Geste 1 — Le rapport se lit en parts

Geste 2 — Partager selon un rapport

Geste 3 — Enchaîner deux rapports par le terme commun

Geste 4 — Le rapport qui change : l'écart reste

Geste 5 — Fraction d'un groupe, fraction du reste, « k fois » combinés

Geste 6 — Un pourcentage est un rapport

Exercices

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