Le réflexe proportion

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Vingt-neuf des 190 questions de rapport relevées sur les vingt dernières sessions sont des proportions : dix-neuf directes (règle de trois, cadences, vitesses à temps égal), huit inverses (ouvriers et jours, machines, débits), deux d'échelle. Le formulaire n'en dit pas un mot.

Toute l'unité tient dans une question à poser avant le calcul : si l'une des grandeurs double, l'autre double-t-elle, ou est-elle divisée par deux ?

Directe : on ramène à l'unité. Inverse : on compte le produit. Six gestes, de la règle de trois à l'échelle d'une carte.

Geste 1 — Proportion directe : le retour à l'unité

Deux grandeurs sont directement proportionnelles quand l'une double si l'autre double : le prix et le poids, la distance et le temps à vitesse fixe, le nombre de pages et l'encre. Le geste : ramener à l'unité — le prix d'un kilo, la distance en une heure — puis multiplier.

y1x1=y2x2\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}

le quotient reste le même sur toute la table : c'est la valeur d'une unité

En fin de section, la réponse s'écrit en lettres : « xx cahiers coûtent yy shekels ; combien coûtent tt cahiers ? ». Le geste ne change pas : un cahier coûte yx\frac{y}{x}, donc tt cahiers coûtent ytx\frac{yt}{x}.

1 cahier:yx1 \text{ cahier} : \frac{y}{x}

le retour à l'unité

t cahiers:ytxt \text{ cahiers} : \frac{yt}{x}

on multiplie par tt

x=2 y=10 t=3  ⇒  15\begin{aligned}x &= 2 \\ \ y &= 10 \\ \ t &= 3 \;\Rightarrow\; 15\end{aligned}

des nombres simples pour vérifier l'option choisie

Une imprimante sort pp pages en mm minutes. Combien de pages sort-elle en hh heures ?

Voir la réponse et le corrigé

60hpm\frac{60hp}{m}. En une minute : pm\frac{p}{m} pages. En hh heures, il y a 60h60h minutes. Le piège : oublier le 6060 et répondre hpm\frac{hp}{m}.

La lettre au mauvais étage.

t cahiers:xtyt \text{ cahiers} : \frac{xt}{y}
t cahiers:ytxt \text{ cahiers} : \frac{yt}{x}

xy\frac{x}{y} est le nombre de cahiers qu'on a pour un shekel, pas le prix d'un cahier. Testez avec x=2x = 2, y=10y = 10, t=3t = 3 : xty=0,6\frac{xt}{y} = 0{,}6 shekel pour trois cahiers — absurde.

Geste 2 — Les cadences : la même unité de temps

« A emballe 33 cartons en 2020 minutes, B 55 cartons en 3030 minutes » : deux cadences données sur des durées différentes ne s'additionnent pas telles quelles. On les ramène à la même durée — l'heure, presque toujours — puis on additionne.

A:3 en 20 min→9 par heureA : 3 \text{ en } 20 \text{ min} \to 9 \text{ par heure}

trois fois 2020 minutes dans une heure

B:5 en 30 min→10 par heureB : 5 \text{ en } 30 \text{ min} \to 10 \text{ par heure}

deux fois 3030 minutes dans une heure

A+B:19 par heureA + B : 19 \text{ par heure}

les cadences s'additionnent, les durées jamais

Additionner les durées, ou en faire la moyenne.

6 h et 3 h  ⇒  6+32=4,5 h6 \text{ h et } 3 \text{ h} \;\Rightarrow\; \frac{6 + 3}{2} = 4{,}5 \text{ h}
16+13=12  ⇒  2 h\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; 2 \text{ h}

à deux, ils vont plus vite que le plus rapide seul : la réponse est forcément sous les 3 heures.

Une machine plie 1212 serviettes en 44 minutes, une autre 1515 serviettes en 33 minutes. Ensemble, combien de serviettes plient-elles en une heure ?

Voir la réponse et le corrigé

480480. Par minute : 3+5=83 + 5 = 8 serviettes ; par heure, 8⋅60=4808 \cdot 60 = 480.

Geste 3 — Proportion inverse : on compte le produit

Quand l'une des grandeurs double et que l'autre est divisée par deux, la proportion est inverse : plus d'ouvriers, moins de jours ; plus de pompes, moins de minutes. On ne ramène plus à l'unité, on compte le produit — le travail total, en ouvriers-jours ou en machines-heures, qui ne change pas.

x1⋅y1=x2⋅y2x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2

le produit reste fixe : c'est le travail total

3 machines A=2 machines B3 \text{ machines A} = 2 \text{ machines B}

on convertit tout dans une seule sorte de machine — ici, une B vaut 1,51{,}5 A —, puis on compte le produit

deˊbit×temps=volume\text{débit} \times \text{temps} = \text{volume}

deux fois plus de débit : deux fois moins de temps

Une citerne se vide en 4040 minutes avec 33 pompes identiques. En combien de minutes se vide-t-elle avec 55 pompes ?

Voir la réponse et le corrigé

2424 minutes. 3⋅40=1203 \cdot 40 = 120 pompes-minutes, partagées entre 55 pompes. Le piège, 662366\tfrac{2}{3} minutes, applique une règle de trois directe : plus de pompes ne peut pas prendre plus de temps.

La règle de trois à l'endroit.

5 ouvriers→8 jours  ⇒  4 ouvriers→6,4 jours5 \text{ ouvriers} \to 8 \text{ jours} \;\Rightarrow\; 4 \text{ ouvriers} \to 6{,}4 \text{ jours}
5⋅8=40  ⇒  40÷4=10 jours\begin{aligned}5 \cdot 8 &= 40 \;\Rightarrow\; 40 \div 4 \\ &= 10 \text{ jours}\end{aligned}

moins d'ouvriers ne peut pas finir plus vite. Avant tout calcul, décidez dans quel sens la réponse doit bouger.

Geste 4 — Vitesse, temps, distance en rapports

Les questions de vitesse de ce chapitre ne demandent presque jamais de poser d=v⋅td = v \cdot t en entier. Une des trois grandeurs est fixe, et les deux autres sont alors en proportion — directe ou inverse.

A : 60 km/hB : 80 km/h3 parts4 parts
Partis ensemble, arrêtés ensemble : en une même durée, chacun parcourt une distance proportionnelle à sa vitesse — ici 60 et 80 km/h, donc 3 : 4.
meˆme temps:d1d2=v1v2\text{même temps} : \frac{d_1}{d_2} = \frac{v_1}{v_2}

distances dans le rapport des vitesses

meˆme distance:v1v2=t2t1\text{même distance} : \frac{v_1}{v_2} = \frac{t_2}{t_1}

vitesses dans le rapport inverse des temps

meˆme vitesse:d1d2=t1t2\text{même vitesse} : \frac{d_1}{d_2} = \frac{t_1}{t_2}

distances dans le rapport des temps

Le cas le plus fin combine deux facteurs. « Une distance trois fois plus courte, parcourue en un temps deux fois plus long » : la vitesse est v=dtv = \frac{d}{t}, donc chaque facteur va à sa place dans la fraction.

v=dt  ⇒  132=16\begin{aligned}v &= \frac{d}{t} \;\Rightarrow\; \frac{\tfrac{1}{3}}{2} \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}

la distance au numérateur, le temps au dénominateur : six fois plus lent

Une cycliste fait l'aller Tel-Aviv – Herzliya en 4040 minutes et le retour, par le même chemin, en 3030 minutes. Quel est le rapport de sa vitesse au retour à sa vitesse à l'aller ?

Voir la réponse et le corrigé

4:34 : 3. Même distance : les vitesses sont dans le rapport inverse des temps, 40:3040 : 30. Le piège, 3:43 : 4, recopie le rapport des temps — or le retour, plus court en temps, est plus rapide.

Le rapport des temps recopié pour les vitesses.

t1:t2=2:3  ⇒  v1:v2=2:3\begin{aligned}t_1 : t_2 &= 2 : 3 \;\Rightarrow\; v_1 : v_2 \\ &= 2 : 3\end{aligned}
v1:v2=3:2v_1 : v_2 = 3 : 2

sur la même distance, le plus rapide met le moins de temps. Le rapport s'inverse.

Geste 5 — L'échelle : la même unité d'abord

Une échelle 1:50 0001 : 50\,000 dit : 11 cm sur la carte vaut 50 00050\,000 cm sur le terrain.

C'est une proportion directe, et le seul piège est l'unité : l'échelle compare deux longueurs dans la même unité. On calcule en centimètres, puis on convertit — 11 km =100 000= 100\,000 cm.

1 m=100 cm1 \text{ m} = 100 \text{ cm}

et 11 cm =10= 10 mm

1 km=100 000 cm1 \text{ km} = 100\,000 \text{ cm}

cinq zéros, à retenir par cœur

1:100 000  ⇒  1 cm=1 km1 : 100\,000 \;\Rightarrow\; 1 \text{ cm} = 1 \text{ km}

l'échelle la plus commode

1:25 000  ⇒  4 cm=1 km1 : 25\,000 \;\Rightarrow\; 4 \text{ cm} = 1 \text{ km}

on divise 100 000100\,000 par le dénominateur

« Plus petite échelle » : une échelle est une fraction, 150 000\frac{1}{50\,000}. Plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite — et plus la carte montre un pays entier en peu de place. 1:1 000 0001 : 1\,000\,000 est une plus petite échelle que 1:10 0001 : 10\,000.

Sur une carte, deux villages distants de 66 km sont à 1212 cm l'un de l'autre. Quelle est l'échelle de la carte ?

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1:50 0001 : 50\,000. 66 km =600 000= 600\,000 cm, et 600 000÷12=50 000600\,000 \div 12 = 50\,000. Le piège, 1:5001 : 500, convertit les kilomètres en mètres seulement.

La plus petite échelle permise

Sur une carte, un objet n'est visible que s'il y mesure au moins 22 mm. On veut y voir un bassin de 4040 m de long. Quelle est la plus petite échelle possible ?

2 mm=0,2 cm  40 m=4 000 cm\begin{aligned}2 \text{ mm} &= 0{,}2 \text{ cm} \\ \ \ 40 \text{ m} &= 4\,000 \text{ cm}\end{aligned}

la même unité d'abord

4 000D≥0,2  ⇒  D≤20 000\frac{4\,000}{D} \geq 0{,}2 \;\Rightarrow\; D \leq 20\,000

à l'échelle 1:D1 : D, le bassin mesure 4 000D\frac{4\,000}{D} cm sur la carte

1:20 0001 : 20\,000

la plus petite échelle permise : le plus grand dénominateur autorisé

L'échelle se lit dans une seule unité.

1:20 000, 5 cm  ⇒  100 000 km1 : 20\,000,\ 5 \text{ cm} \;\Rightarrow\; 100\,000 \text{ km}
100 000 cm=1 km100\,000 \text{ cm} = 1 \text{ km}

l'échelle multiplie des centimètres et rend des centimètres. Les kilomètres viennent après, en divisant par 100 000100\,000.

Geste 6 — Directe ou inverse ?

Avant tout calcul, une question : si l'une double, l'autre fait quoi ?

Elle double : proportion directe, on ramène à l'unité. Elle est divisée par deux : proportion inverse, on compte le produit.

Ni l'un ni l'autre — un taxi avec une prise en charge, un abonnement plus un prix par minute : ce n'est pas une proportion du tout.

directe:yx fixe\text{directe} : \frac{y}{x} \text{ fixe}

prix et quantité, distance et temps à vitesse fixe, carte et terrain

inverse:x⋅y fixe\text{inverse} : x \cdot y \text{ fixe}

ouvriers et jours, vitesse et temps sur un trajet fixe, débit et durée

Les annales posent aussi la forme abstraite : « PP est proportionnel à NN et inversement proportionnel à CC ». Ce qui croît avec PP va au numérateur, ce qui le fait décroître au dénominateur.

P=k⋅NCP = k \cdot \frac{N}{C}

NN double : PP double ; CC double : PP est divisé par deux

P=k⋅NCP = k \cdot \frac{N}{C}. On multiplie NN par 33 et CC par 22. Par combien PP est-il multiplié ?

Voir la réponse et le corrigé

Par 32\frac{3}{2}, soit 1,51{,}5. Le facteur de NN monte au numérateur, celui de CC au dénominateur. Le piège, 66, multiplie les deux facteurs comme si PP croissait aussi avec CC.

Une part fixe casse la proportion.

taxi:10 km→40  ⇒  20 km→80\text{taxi} : 10 \text{ km} \to 40 \;\Rightarrow\; 20 \text{ km} \to 80
12+2,8⋅20=6812 + 2{,}8 \cdot 20 = 68

avec une prise en charge de 1212 ₪ et 2,82{,}8 ₪ par kilomètre, le prix ne double pas quand la distance double. Avant une règle de trois, vérifiez qu'à 00 correspond 00.

En résumé. Directe : on ramène à l'unité, la réponse en lettres s'écrit ytx\frac{yt}{x}. Les cadences s'additionnent sur la même durée, les durées jamais.

Inverse : on compte le produit, et le travail restant se partage entre ceux qui restent. Temps égal : distances dans le rapport des vitesses ; distance égale : vitesses dans le rapport inverse des temps. L'échelle se calcule en centimètres.

Avant de cocher. Si l'une double, l'autre double-t-elle ou se divise-t-elle ? Les deux grandeurs sont-elles dans la même unité — minutes et heures, centimètres et kilomètres ? Une cadence s'ajoute, une durée jamais. Et une réponse en lettres se teste avec des nombres simples, dans les quatre options.

Exercices

Exercice 1

Au marché Mahané Yehouda, 44 kg de dattes coûtent 7272 ₪. Combien coûtent 77 kg de ces dattes ?

  1. 126126 ₪
  2. 504504 ₪
  3. 7575 ₪
  4. 9090 ₪
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Réponse : A 126126 ₪

Corrigé :

72÷4=1872 \div 4 = 18

le prix d'un kilo

18⋅7=12618 \cdot 7 = 126

sept kilos

La bonne réponse : « 126126 ₪ ». « 7575 ₪ » raisonne par addition : trois kilos de plus, trois shekels de plus. « 9090 ₪ » ajoute à 7272 ₪ le prix d'un seul kilo. « 504504 ₪ » multiplie 7272 par 77 sans ramener d'abord à un kilo.

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Exercice 2

aa stylos coûtent bb shekels. Combien de ces stylos peut-on acheter avec cc shekels ?

  1. bca\frac{bc}{a}
  2. acb\frac{ac}{b}
  3. cab\frac{c}{ab}
  4. abc\frac{ab}{c}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B acb\frac{ac}{b}

Corrigé :

1 shekel→ab stylos1 \text{ shekel} \to \frac{a}{b} \text{ stylos}

on ramène à un shekel

c shekels→acb stylosc \text{ shekels} \to \frac{ac}{b} \text{ stylos}

on multiplie par cc

a=2 b=10 c=30  ⇒  6\begin{aligned}a &= 2 \\ \ b &= 10 \\ \ c &= 30 \;\Rightarrow\; 6\end{aligned}

test : 22 stylos pour 1010 ₪, donc 66 stylos pour 3030 ₪

La bonne réponse : « acb\frac{ac}{b} ». Avec a=2a = 2, b=10b = 10, c=30c = 30, les autres options donnent : « bca\frac{bc}{a} » =150= 150, le prix de cc stylos — les rôles de l'argent et des stylos sont échangés ; « abc\frac{ab}{c} » =23= \frac{2}{3}, une règle de trois retournée où plus d'argent achète moins de stylos ; « cab\frac{c}{ab} » =1,5= 1{,}5, qui divise par les deux données à la fois.

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Exercice 3

Une boulangerie de Haïfa a deux fours. Le premier cuit 3030 pitas en 55 minutes, le second 5050 pitas en 1010 minutes. Ensemble, combien de pitas cuisent-ils en une heure ?

  1. 480480
  2. 320320
  3. 360360
  4. 660660
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Réponse : D 660660

Corrigé :

30÷5=630 \div 5 = 6

le premier four : 66 pitas par minute

50÷10=550 \div 10 = 5

le second : 55 pitas par minute

(6+5)⋅60=660(6 + 5) \cdot 60 = 660

on additionne les cadences, puis on passe à l'heure

La bonne réponse : « 660660 ». « 320320 » additionne les pitas et les minutes (8080 pitas en 1515 minutes) : les durées ne s'additionnent pas. « 360360 » ne compte que le premier four. « 480480 » fait comme si les 8080 pitas sortaient toutes en 1010 minutes.

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Exercice 4

Un tuyau remplit la piscine d'un kibboutz en 1212 heures, un second tuyau en 44 heures. Les deux tuyaux ouverts ensemble, en combien d'heures la piscine est-elle remplie ?

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Réponse : 3

Corrigé :

112+14=112+312=13\begin{aligned}\frac{1}{12} + \frac{1}{4} &= \frac{1}{12} + \frac{3}{12} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

en une heure, à eux deux, ils remplissent le tiers de la piscine

1÷13=31 \div \frac{1}{3} = 3

la piscine entière

33 heures. La réponse est sous les 44 heures du tuyau le plus rapide, comme il se doit. Le piège, 88 heures, fait la moyenne des deux durées ; 1616 heures les additionne.

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Exercice 5

Une équipe de 88 ouvriers doit construire une clôture en 99 jours. Après 33 jours de travail, 44 ouvriers de plus rejoignent l'équipe. Combien de jours, depuis le début, faut-il pour terminer la clôture ?

  1. 77
  2. 44
  3. 13,513{,}5
  4. 66
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Réponse : A 77

Corrigé :

8⋅9=728 \cdot 9 = 72

la clôture vaut 7272 ouvriers-jours

8⋅3=248 \cdot 3 = 24

faits pendant les 33 premiers jours ; il en reste 4848

48÷12=448 \div 12 = 4

les 1212 ouvriers finissent en 44 jours

3+4=73 + 4 = 7

depuis le début

La bonne réponse : « 77 ». « 44 » ne compte que les jours après l'arrivée des renforts : la question part du début. « 13,513{,}5 » applique une règle de trois directe (9⋅1289 \cdot \frac{12}{8}), comme si plus d'ouvriers allongeait le chantier. « 66 » fait travailler les 1212 ouvriers dès le premier jour (72÷1272 \div 12).

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Exercice 6

Dans une usine, 33 machines de type A font le même travail que 22 machines de type B. Une commande occupe 44 machines B pendant 1010 heures. Combien d'heures faut-il à 55 machines A pour la même commande ?

  1. 12,512{,}5
  2. 1818
  3. 88
  4. 1212
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 1212

Corrigé :

1 B=1,5 A1 \text{ B} = 1{,}5 \text{ A}

on convertit tout en machines A

4 B=6 A;  6⋅10=60\begin{aligned}4 \text{ B} &= 6 \text{ A} ;\ \ 6 \cdot 10 \\ &= 60\end{aligned}

la commande vaut 6060 heures-machine A

60÷5=1260 \div 5 = 12

partagées entre 55 machines A

La bonne réponse : « 1212 ». « 12,512{,}5 » applique une règle de trois directe sur le nombre de machines (10⋅5410 \cdot \frac{5}{4}) : plus de machines n'allonge pas le travail. « 88 » traite les machines A comme des B (40÷540 \div 5). « 1818 » convertit deux fois : il multiplie encore par 1,51{,}5 un résultat déjà exprimé en machines A.

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Exercice 7

Deux trains partent au même moment de deux gares distantes de 9090 km et roulent l'un vers l'autre. Le train parti de la gare A roule à 8080 km/h, l'autre à 100100 km/h. À quelle distance de la gare A se croisent-ils ?

  1. 7272 km
  2. 5050 km
  3. 4040 km
  4. 4545 km
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 4040 km

Corrigé :

meˆme temps:dA:dB=80:100=4:5\begin{aligned}\text{même temps} : d_A : d_B &= 80 : 100 \\ &= 4 : 5\end{aligned}

jusqu'au croisement, les deux trains roulent le même temps

4+5=9 parts=90 km\begin{aligned}4 + 5 &= 9 \text{ parts} \\ &= 90 \text{ km}\end{aligned}

à eux deux, ils couvrent les 9090 km

dA=4⋅10=40\begin{aligned}d_A &= 4 \cdot 10 \\ &= 40\end{aligned}

une part vaut 1010 km

La bonne réponse : « 4040 km ». « 5050 km » est la distance parcourue par l'autre train, mesurée depuis l'autre gare. « 4545 km » place le croisement au milieu, comme si les vitesses étaient égales. « 7272 km » applique le rapport 80100\frac{80}{100} aux 9090 km entiers, au lieu de partager en 4+54 + 5 parts.

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Exercice 8

Mardi, Noa parcourt un trajet en voiture. Mercredi, elle parcourt une distance trois fois plus courte, en un temps deux fois plus long. Sa vitesse moyenne de mercredi est celle de mardi multipliée par :

  1. 23\frac{2}{3}
  2. 66
  3. 32\frac{3}{2}
  4. 16\frac{1}{6}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 16\frac{1}{6}

Corrigé :

v=dtv = \frac{d}{t}

la distance au numérateur, le temps au dénominateur

132=16\frac{\tfrac{1}{3}}{2} = \frac{1}{6}

distance multipliée par 13\frac{1}{3}, temps multiplié par 22

La bonne réponse : « 16\frac{1}{6} ». « 32\frac{3}{2} » lit « trois fois plus courte » comme un facteur 33 : la distance est divisée, pas multipliée. « 66 » retourne la fraction (td\frac{t}{d}). « 23\frac{2}{3} » multiplie les deux facteurs, comme si la vitesse croissait avec le temps.

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Exercice 9

Sur une carte à l'échelle 1:200 0001 : 200\,000, la distance entre Akko et Nahariya mesure 5,55{,}5 cm. Quelle est la distance réelle ?

  1. 1111 km
  2. 1,11{,}1 km
  3. 1 1001\,100 km
  4. 110110 km
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 1111 km

Corrigé :

5,5⋅200 000=1 100 000 cm5{,}5 \cdot 200\,000 = 1\,100\,000 \text{ cm}

l'échelle rend des centimètres

1 100 000÷100 000=111\,100\,000 \div 100\,000 = 11

11 km =100 000= 100\,000 cm

La bonne réponse : « 1111 km ». « 1,11{,}1 km » compte un million de centimètres dans un kilomètre. « 110110 km » n'en compte que dix mille. « 1 1001\,100 km » lit 1 100 0001\,100\,000 comme des mètres alors que ce sont des centimètres.

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Exercice 10

Sur une carte, un trait n'est lisible que s'il mesure au moins 11 mm. Quelle est la plus petite échelle qui permet encore d'y voir un pont de 2525 m ?

  1. 1:2 5001 : 2\,500
  2. 1:250 0001 : 250\,000
  3. 1:2501 : 250
  4. 1:25 0001 : 25\,000
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 1:25 0001 : 25\,000

Corrigé :

1 mm=0,1 cm  25 m=2 500 cm\begin{aligned}1 \text{ mm} &= 0{,}1 \text{ cm} \\ \ \ 25 \text{ m} &= 2\,500 \text{ cm}\end{aligned}

la même unité d'abord

2 500D≥0,1  ⇒  D≤25 000\frac{2\,500}{D} \geq 0{,}1 \;\Rightarrow\; D \leq 25\,000

à l'échelle 1:D1 : D, le pont mesure 2 500D\frac{2\,500}{D} cm

1:25 0001 : 25\,000

la plus petite échelle : le plus grand dénominateur permis

La bonne réponse : « 1:25 0001 : 25\,000 ». « 1:2 5001 : 2\,500 » prend 11 mm pour 11 cm. « 1:2501 : 250 » laisse les 2525 m en mètres face à un seuil en centimètres. « 1:250 0001 : 250\,000 » est bien une plus petite échelle, mais le pont n'y mesurerait que 0,10{,}1 mm : elle vient de 11 mm =0,01= 0{,}01 cm.

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Exercice 11

Le temps de cuisson TT d'une fournée est proportionnel au nombre NN de pains et inversement proportionnel au nombre FF de fours allumés. On double le nombre de pains et on triple le nombre de fours. Le temps de cuisson est multiplié par :

  1. 55
  2. 32\frac{3}{2}
  3. 23\frac{2}{3}
  4. 66
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Réponse : C 23\frac{2}{3}

Corrigé :

T=k⋅NFT = k \cdot \frac{N}{F}

ce qui allonge TT au numérateur, ce qui le raccourcit au dénominateur

23\frac{2}{3}

NN multiplié par 22, FF multiplié par 33

La bonne réponse : « 23\frac{2}{3} ». « 66 » multiplie les deux facteurs, comme si plus de fours allongeait la cuisson. « 32\frac{3}{2} » inverse les rôles de NN et de FF. « 55 » additionne les deux facteurs.

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Exercice 12

Rangez chaque couple de grandeurs : si l'une double, l'autre double-t-elle, ou est-elle divisée par deux ?

  • Proportion directe
  • Proportion inverse
  • La durée de marche et la distance, à vitesse fixe
  • La longueur sur une carte et la distance réelle
  • La vitesse et la durée d'un trajet de 100100 km
  • Le nombre d'ouvriers et les jours d'un même chantier
  • Le nombre de cahiers achetés et le prix payé
  • Le nombre de pompes identiques et la durée pour vider une citerne
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Le nombre de cahiers achetés et le prix payé — Proportion directe · Le nombre de pompes identiques et la durée pour vider une citerne — Proportion inverse · La durée de marche et la distance, à vitesse fixe — Proportion directe · La vitesse et la durée d'un trajet de 100100 km — Proportion inverse · La longueur sur une carte et la distance réelle — Proportion directe · Le nombre d'ouvriers et les jours d'un même chantier — Proportion inverse

Corrigé :

yx fixe\frac{y}{x} \text{ fixe}

directe : le prix d'un cahier, la vitesse, l'échelle

x⋅y fixex \cdot y \text{ fixe}

inverse : le volume de la citerne, la distance, le travail

Avant tout calcul, doublez l'une et regardez l'autre. Le piège : classer « plus de pompes » en directe parce que les deux nombres « vont avec ».

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Exercice 13

Un robinet remplit une citerne en 44 heures, un autre en 66 heures. Ouverts ensemble, ils la remplissent en 55 heures.

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Réponse : Faux

Corrigé :

14+16=512\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}

en une heure, à deux

1÷512=125=2,4\begin{aligned}1 \div \frac{5}{12} &= \frac{12}{5} \\ &= 2{,}4\end{aligned}

la citerne entière : 2,42{,}4 heures

Faux : 2,42{,}4 heures. 55 heures est la moyenne des deux durées ; à deux, ils vont plus vite que le plus rapide seul, donc moins de 44 heures.

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Exercice 14

66 machines identiques font une commande en 1515 heures. En combien d'heures 99 de ces machines font-elles la même commande ?

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Réponse : 10

Corrigé :

6×15=906 \times 15 = 90

la commande vaut 9090 machines-heures

90÷9=1090 \div 9 = 10

partagées entre 99 machines

1010 heures. Le piège, 22,522{,}5 heures, applique une règle de trois directe : plus de machines ne peuvent pas prendre plus de temps.

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Exercice 15

Complétez : l'échelle se calcule en centimètres, puis on convertit.

Sur une carte à l'échelle 1 : 25 000, deux fermes sont à 8 cm l'une de l'autre. Sur le terrain, elles sont à ____ cm, soit ____ km.

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Réponse : Sur une carte à l'échelle 1 : 25 000, deux fermes sont à 8 cm l'une de l'autre. Sur le terrain, elles sont à 200000 cm, soit 2 km.

Corrigé :

8×25 000=200 000 cm8 \times 25\,000 = 200\,000 \text{ cm}

l'échelle rend des centimètres

200 000÷100 000=2 km200\,000 \div 100\,000 = 2 \text{ km}

11 km =100 000= 100\,000 cm

200 000200\,000 cm, soit 22 km. Le piège : convertir en mètres seulement, et répondre 2 0002\,000.

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