Puissances et racines en situation · Puissances et racines en situation · Psychométriques

Troisième chapitre du sujet : les puissances et les racines en situation.

Ici, aucune question ne dit « simplifiez ». Elles parlent d'un carré, d'un cube, d'une population qui double, ou donnent $a + b$ et $ab$ .

Le travail : reconnaître la puissance cachée dans l'énoncé. Ce chapitre suppose acquis « Puissances » et « Racines » ; ses deux dernières séries mélangent les trois, comme l'examen.

Geste 1 — le carré d'une somme est un carré découpé

Le formulaire de l'examen donne les identités. Pourtant, le double produit reste le terme le plus oublié du sujet.

La figure dit la règle : deux carrés, et deux rectangles.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

deux rectangles en plus

(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

deux rectangles en moins

a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)

une différence de carrés se factorise

Quand l'énoncé donne $a + b$ et $ab$ , la même figure répond, sans chercher $a$ ni $b$ .

L'erreur qui fabrique la moitié des distracteurs de ce chapitre :

(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}

(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

Le double produit est le terme le plus oublié du chapitre — et le formulaire vous le donne pourtant.

Geste 1 bis — deux grands carrés séparés par un moins

Deux grands carrés séparés par un moins : ne les calculez pas. Factorisez : $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$ .

Combien vaut $26^{2} - 24^{2}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$100$ . La somme vaut $50$ , la différence $2$ : $50 \times 2 = 100$ . Le calcul direct, $676 - 576$ , mène au même endroit bien plus lentement.

Geste 2 — en géométrie, gardez les carrés le plus longtemps possible

Pythagore, l'aire et le volume travaillent tous sur des carrés.

Extraire une racine trop tôt fabrique un nombre irrationnel, qu'il faudra ré-élever. Gardez les carrés jusqu'à la dernière ligne.

d = c\sqrt{2}

la diagonale d'un carré de côté c

h = \dfrac{c\sqrt{3}}{2}

la hauteur d'un triangle équilatéral de côté c

Trois valeurs à connaître de tête : $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ , $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ , $\sqrt{5} \approx 2{,}24$ .

Ces trois valeurs suffisent souvent à éliminer deux options sur quatre.

Un carré a une aire de $8$ . Combien mesure sa diagonale ?

Voir la réponse et le corrigé

$4$ . $d^{2} = c^{2} + c^{2} = 2 \times 8 = 16$ , donc $d = 4$ . Le côté, $2\sqrt{2}$ , n'a jamais servi.

Geste 3 — longueur, aire, volume : k, k², k³

Toutes les longueurs multipliées par $k$ : les aires le sont par $k^{2}$ , les volumes par $k^{3}$ .

Le sens direct ne demande aucune racine. C'est le retour, d'une aire ou d'un volume vers une longueur, qui en fabrique une.

L'aire d'un carré est multipliée par $9$ . Par combien son périmètre est-il multiplié ?

Voir la réponse et le corrigé

Par $3$ . L'aire suit le carré du rapport des longueurs : si l'aire est multipliée par $9$ , le côté l'est par $\sqrt{9} = 3$ — et le périmètre, qui est une longueur, suit le côté. Le piège consiste à répondre $9$ , ou $81$ .

Geste 4 — une quantité qui se multiplie est une puissance

Une quantité multipliée par le même facteur à chaque étape vaut, après $n$ étapes, sa valeur de départ fois $q^{n}$ .

Une population qui double, une somme qui perd la moitié de sa valeur, une feuille pliée en deux : c'est la même forme.

Écrivez la valeur au temps $0$ et au temps $1$ , et vérifiez que votre formule redonne les deux. C'est le contrôle qui évite l'étape de trop.

L'ordre des gestes, quand la question tombe

Quand la question tombe, posez-vous cinq questions, dans l'ordre.

a + b,\ \ a - b,\ \ ab

1. Ces données ? Cherchez l'identité qui les relie.

A^{2} - B^{2}

2. Deux grands carrés et un moins ? Factorisez.

d^{2} = p^{2} + q^{2}

3. Une figure ? Gardez les carrés, n'extrayez qu'à la fin.

k,\ \ k^{2},\ \ k^{3}

4. Une grandeur agrandie ? Passez par le rapport des longueurs.

q^{n}

5. Une quantité qui se répète ? Comptez les sauts.

Et le contrôle qui sauve : la dimension. Une longueur porte l'exposant $1$ , une aire $2$ , un volume $3$ . Une réponse dont la dimension ne colle pas à la question est fausse, quel que soit le calcul qui l'a produite.

Exercices

Exercice 1

L'aire d'un carré vaut $18$ cm². Quelle est la longueur de sa diagonale, en cm ?

$\sqrt{18}$
$9$
$3\sqrt{2}$
$6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $6$

Corrigé :

\begin{aligned}d^{2} &= c^{2} + c^{2} \\ &= 2c^{2}\end{aligned}

Pythagore sur le demi-carré : rien à extraire pour l'instant.

\begin{aligned}d^{2} &= 2 \times 18 \\ &= 36\end{aligned}

On remplace $c^{2}$ par l'aire, sans jamais calculer le côté.

d = 6

Une seule racine, à la fin, et elle tombe juste.

La bonne réponse : « $6$ ». « $3\sqrt{2}$ » — c'est le côté ( $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ ), la question demandait la diagonale. « $9$ » — c'est l'aire divisée par deux, une opération qui ne correspond à rien ici. « $\sqrt{18}$ » — encore le côté, écrit sans être simplifié. La méthode qui évite les trois : garder $c^{2}$ tel quel jusqu'à la dernière ligne.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

$(x - 4)^{2} = ?$

$x^{2} + 16$
$x^{2} - 16$
$x^{2} - 4x + 16$
$x^{2} - 8x + 16$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $x^{2} - 8x + 16$

Corrigé :

(x - 4)^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}

L'identité de la différence, appliquée telle quelle.

= x^{2} - 8x + 16

La bonne réponse : « $x^{2} - 8x + 16$ ». « $x^{2} - 16$ » — le double produit oublié, et le signe du carré en plus : c'est le développement de $(x + 4)(x - 4)$ , pas de $(x - 4)^{2}$ . « $x^{2} - 4x + 16$ » — le double produit écrit sans son facteur $2$ . « $x^{2} + 16$ » — le double produit absent. Contrôle avec $x = 5$ : $(5 - 4)^{2} = 1$ , et $25 - 40 + 16 = 1$ .

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Exercice 3

On triple l'arête d'un cube. Par combien son volume est-il multiplié ?

$3$
$27$
$9$
$6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $27$

Corrigé :

V = c^{3}

Le volume suit le cube de la longueur.

(3c)^{3} = 27c^{3}

La bonne réponse : « $27$ ». « $9$ » — le rapport des aires, $3^{2}$ : la bonne réponse à une question sur la surface. « $3$ » — le rapport des longueurs recopié. « $6$ » — le nombre de faces d'un cube glissé dans le calcul. La dimension décide : un volume porte l'exposant $3$ , donc le facteur est $3^{3} = 27$ .

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Exercice 4

Un triangle équilatéral a un côté de $10$ cm. Quelle est sa hauteur, en cm ?

$10\sqrt{3}$
$5$
$5\sqrt{3}$
$5\sqrt{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $5\sqrt{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}h^{2} &= 10^{2} - 5^{2} \\ &= 100 - 25 \\ &= 75\end{aligned}

La hauteur coupe la base en deux : Pythagore sur le demi-triangle.

\begin{aligned}h &= \sqrt{75} \\ &= 5\sqrt{3}\end{aligned}

La bonne réponse : « $5\sqrt{3}$ », soit environ $8{,}7$ cm. « $10\sqrt{3}$ » — la formule $\tfrac{c\sqrt{3}}{2}$ sans la division par deux : le résultat dépasserait le côté, ce qu'aucune hauteur ne fait. « $5\sqrt{2}$ » — le $\sqrt{2}$ du carré à la place du $\sqrt{3}$ du triangle. « $5$ » — la moitié de la base, c'est-à-dire un côté du demi-triangle, pas sa hauteur.

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Exercice 5

$a + b = 9$ et $ab = 20$ . Combien vaut $a^{2} + b^{2}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 41

Corrigé :

(a + b)^{2} = 81

Le grand carré de côté $a + b$ .

\begin{aligned}2ab &= 2 \times 20 \\ &= 40\end{aligned}

Les deux rectangles du découpage.

\begin{aligned}a^{2} + b^{2} &= 81 - 40 \\ &= 41\end{aligned}

Il reste les deux petits carrés.

$41$ . Le piège : répondre $81$ , le carré entier, en oubliant les deux rectangles.

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Exercice 6

Pour tous nombres $a$ et $b$ : $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

(1 + 1)^{2} = 4

Un contre-exemple suffit : $a = b = 1$ .

1^{2} + 1^{2} = 2 \ne 4

Il manque le double produit $2ab = 2$ .

Faux. $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ : les deux rectangles du carré découpé manquent.

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Exercice 7

Combien vaut $53^{2} - 47^{2}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 600

Corrigé :

53^{2} - 47^{2} = (53 + 47)(53 - 47)

Une différence de carrés se factorise.

= 100 \times 6 = 600

Un produit de tête.

$600$ . Le piège : $(53 - 47)^{2} = 36$ , la différence élevée au carré au lieu d'être factorisée.

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Exercice 8

Un rectangle a des côtés de $8$ cm et $15$ cm. Quelle est la longueur de sa diagonale, en cm ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 17

Corrigé :

\begin{aligned}d^{2} &= 8^{2} + 15^{2} \\ &= 64 + 225 \\ &= 289\end{aligned}

On additionne les carrés des côtés.

\begin{aligned}d &= \sqrt{289} \\ &= 17\end{aligned}

Une seule racine, à la fin.

$17$ cm. Le piège : $8 + 15 = 23$ , des longueurs additionnées. La diagonale est toujours plus courte que les deux côtés mis bout à bout.

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Exercice 9

La diagonale d'un carré de côté $6$ cm mesure moins de $9$ cm.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}d^{2} &= 6^{2} + 6^{2} \\ &= 72\end{aligned}

On garde les carrés.

72 < 81 = 9^{2}

On compare les carrés : pas besoin d'extraire $\sqrt{72}$ .

Vrai. $d = 6\sqrt{2} \approx 8{,}5$ cm. Comparer $72$ à $81$ évite toute racine.

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Exercice 10

L'aire d'un carré est multipliée par $49$ . Par combien son côté est-il multiplié ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

k^{2} = 49

Une aire suit le carré du rapport des longueurs.

k = 7

On redescend vers une longueur par une racine.

Par $7$ . Le piège : répondre $49$ , le facteur des aires recopié sur le côté.

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Exercice 11

Le volume d'une sphère est multiplié par $27$ . Par combien l'aire de sa surface est-elle multipliée ?

$81$
$27$
$3$
$9$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $9$

Corrigé :

\begin{aligned}k^{3} &= 27 \ \Rightarrow\ k \\ &= 3\end{aligned}

On redescend vers le rapport des rayons.

k^{2} = 9

Puis on remonte vers les aires.

La bonne réponse : « $9$ ». « $3$ » — le rapport des rayons, pas des aires. « $27$ » — le facteur des volumes recopié. « $81$ » — $27 \times 3$ , aucune dimension ne donne ce nombre.

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Exercice 12

Une somme de $1\,000$ euros double chaque année. Combien vaut-elle au bout de $3$ ans, en euros ?

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Réponse : 8000

Corrigé :

1\,000 \times 2^{3}

Trois années, donc trois doublements.

= 1\,000 \times 8 = 8\,000

$8\,000$ euros. Les pièges : $6\,000$ (trois fois $+1\,000$ , une croissance ajoutée) et $16\,000$ (un doublement de trop).

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Exercice 13

Lundi, un site compte $20$ visiteurs, et ce nombre triple chaque jour. Jeudi, il en compte $20 \times 3^{4}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\text{lundi} \to \text{jeudi} : 3 \text{ sauts}

Quatre jours nommés, trois intervalles.

20 \times 3^{3} = 540

L'exposant compte les sauts.

Faux. Jeudi : $20 \times 3^{3} = 540$ . Avec $3^{4}$ , on compte les jours au lieu des intervalles : une étape de trop.

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Geste 1 — le carré d'une somme est un carré découpé

Geste 1 bis — deux grands carrés séparés par un moins

Geste 2 — en géométrie, gardez les carrés le plus longtemps possible

Geste 3 — longueur, aire, volume : k, k², k³

Geste 4 — une quantité qui se multiplie est une puissance

L'ordre des gestes, quand la question tombe

Exercices

La suite se pratique sur elev