On résout ensemble · Puissances et racines en situation · Psychométriques

Quatre questions du chapitre, quatre formes, chacune déroulée une étape par clic. Sous chaque scène, une question jumelle attend.

Cherchez avant de cliquer : l'animation ne sert à rien si vous lisez la solution d'un trait.

Le but : nommer la forme en dix secondes. Différence de carrés, figure, changement de dimension, ou histoire qui se répète ?

1 — La différence de deux grands carrés

Deux grands nombres au carré, séparés par un moins. On ne vous demande pas deux carrés à quatre chiffres : on vous demande l'identité.

À vous. Deux nombres plus éloignés l'un de l'autre, la même identité.

2 — La figure où il ne faut surtout pas extraire la racine

En géométrie, l'énoncé donne souvent une aire et demande une longueur.

Le réflexe — calculer le côté d'abord — mène à un nombre irrationnel qu'il faudra ré-élever. Gardez les carrés.

À vous. Cette fois c'est un rectangle, et c'est le théorème de Pythagore qui sert directement.

3 — Changer de dimension : longueur, aire, volume

Un rapport de longueurs $k$ donne $k^{2}$ sur les aires et $k^{3}$ sur les volumes.

Dans le sens direct, aucune racine. C'est le retour, d'une aire vers une longueur, qui en fabrique une — et c'est là que l'examen vous attend.

À vous. Le même aller-retour, sur des sphères cette fois, et avec un rapport qui tombe juste.

4 — L'histoire qui cache une puissance

Une quantité qui double, triple ou perd la moitié à chaque étape : c'est $q^{n}$ . Toute la question est de compter les sauts.

À vous. Une autre histoire, la même puissance.

Vos jumelles sont justes ? Passez aux séries. Une vous a échappé ? Relisez d'abord le geste du cours : s'entraîner sur une méthode qu'on n'a pas installée ne fait qu'ancrer l'erreur.

Exercices

Exercice 1

Combien vaut $75^{2} - 25^{2}$ ?

$2\,500$
$10\,000$
$50$
$5\,000$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $5\,000$

Corrigé :

75^{2} - 25^{2} = (75 + 25)(75 - 25)

La différence de deux carrés, lue de droite à gauche.

= 100 \times 50 = 5\,000

La bonne réponse : « $5\,000$ ». « $2\,500$ » — c'est $(75 - 25)^{2}$ : la différence élevée au carré au lieu d'être factorisée, l'erreur que l'identité cherche à éviter. « $10\,000$ » — c'est $(75 + 25)^{2}$ , la même erreur avec la somme. « $50$ » — c'est la différence seule, le facteur $75 + 25$ oublié. Contrôle : $5\,625 - 625 = 5\,000$ .

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Exercice 2

Un rectangle a une longueur de $6$ cm et une largeur de $8$ cm. Quelle est la longueur de sa diagonale, en cm ?

$\sqrt{14}$
$7$
$10$
$14$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $10$

Corrigé :

d^{2} = 6^{2} + 8^{2}

La diagonale ferme un triangle rectangle sur les deux côtés.

\begin{aligned}d^{2} &= 36 + 64 \\ &= 100\end{aligned}

On additionne les carrés, jamais les longueurs.

d = 10

Une seule racine, à la fin.

La bonne réponse : « $10$ ». « $14$ » — c'est $6 + 8$ : les longueurs additionnées, comme si la racine traversait la somme. « $\sqrt{14}$ » — la même addition, avec une racine posée par-dessus. « $7$ » — c'est la moyenne des deux côtés. La diagonale est toujours plus grande que chaque côté et plus petite que leur somme : ce seul encadrement élimine déjà « $7$ » et « $14$ ».

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Exercice 3

L'aire de la surface d'une sphère $B$ vaut $9$ fois celle d'une sphère $A$ . Le volume de $B$ vaut le volume de $A$ multiplié par —

$81$
$9$
$27$
$3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $27$

Corrigé :

\left(\dfrac{r_B}{r_A}\right)^{2} = 9

Une aire suit le carré du rapport des longueurs.

\dfrac{r_B}{r_A} = 3

On redescend vers une longueur : c'est ici qu'une racine apparaît, et ici seulement.

\begin{aligned}\dfrac{V_B}{V_A} &= 3^{3} \\ &= 27\end{aligned}

Un volume suit le cube du rapport des longueurs.

La bonne réponse : « $27$ ». « $9$ » — le rapport des aires recopié tel quel sur les volumes, sans passer par la longueur. « $81$ » — c'est $9^{2}$ : le rapport des aires élevé au carré, comme si l'on montait d'un cran sans redescendre d'abord. « $3$ » — c'est le rapport des rayons, la valeur intermédiaire prise pour la réponse. Le chemin est toujours le même : aire → longueur → volume.

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Exercice 4

Combien vaut $35^{2} - 15^{2}$ ?

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Réponse : 1000

Corrigé :

35^{2} - 15^{2} = (35 + 15)(35 - 15)

La différence de carrés.

= 50 \times 20 = 1\,000

$1\,000$ . Le piège : $(35 - 15)^{2} = 400$ .

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Exercice 5

$99^{2} - 1 = 98 \times 100$ .

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Réponse : Vrai

Corrigé :

99^{2} - 1^{2} = (99 - 1)(99 + 1)

$1$ est un carré : la différence de carrés s'applique.

= 98 \times 100 = 9\,800

Vrai. Le $1$ cache $1^{2}$ : c'est encore une différence de deux carrés.

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Exercice 6

Un carré a une aire de $72$ cm². Quelle est la longueur de sa diagonale, en cm ?

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Réponse : 12

Corrigé :

\begin{aligned}d^{2} &= c^{2} + c^{2} \\ &= 2c^{2}\end{aligned}

On garde $c^{2}$ tel quel.

\begin{aligned}d^{2} &= 2 \times 72 \\ &= 144\end{aligned}

On remplace $c^{2}$ par l'aire.

d = 12

Une seule racine, et elle tombe juste.

$12$ cm. Le piège : calculer d'abord le côté, $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ , puis le multiplier par $\sqrt{2}$ — juste, mais long et risqué.

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Exercice 7

Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de $9$ cm et $40$ cm. Quelle est la longueur de son hypoténuse, en cm ?

$1\,681$
$31$
$49$
$41$

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Réponse : D $41$

Corrigé :

\begin{aligned}c^{2} &= 9^{2} + 40^{2} \\ &= 81 + 1\,600 \\ &= 1\,681\end{aligned}

Les carrés des deux côtés de l'angle droit.

c = 41

$41^{2} = 1\,681$ .

La bonne réponse : « $41$ ». « $49$ » — $9 + 40$ , des longueurs additionnées. « $31$ » — $40 - 9$ , sans rapport avec Pythagore. « $1\,681$ » — c'est $c^{2}$ , la racine n'a pas été prise.

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Exercice 8

Les aires totales de deux cubes sont dans le rapport $1 : 4$ . Le volume du grand vaut combien de fois celui du petit ?

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Réponse : 8

Corrigé :

\begin{aligned}k^{2} &= 4 \ \Rightarrow\ k \\ &= 2\end{aligned}

On redescend vers le rapport des arêtes.

k^{3} = 8

Puis on monte vers les volumes.

$8$ fois. Les pièges : $4$ (le rapport des aires recopié) et $16$ ( $4^{2}$ , un saut direct de l'aire au volume).

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Exercice 9

Si le volume d'un cube est multiplié par $64$ , son aire totale est multipliée par $16$ .

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Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}k^{3} &= 64 \ \Rightarrow\ k \\ &= 4\end{aligned}

Racine cubique : le rapport des arêtes.

k^{2} = 16

Le facteur des aires.

Vrai. Le passage obligé est la longueur : $64 \to 4 \to 16$ .

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Exercice 10

Une culture compte $5$ bactéries à 8 h, et leur nombre double chaque heure. Combien en compte-t-elle à 12 h ?

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Réponse : 80

Corrigé :

8\text{ h} \to 12\text{ h} : 4 \text{ sauts}

On compte les heures écoulées, pas les heures nommées.

5 \times 2^{4} = 80

$80$ . Le piège : $5 \times 2^{5} = 160$ , une étape de trop.

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Exercice 11

Une somme perd la moitié de sa valeur chaque année. Au bout de $3$ ans, il en reste $\tfrac{1}{8}$ .

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Réponse : Vrai

Corrigé :

\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3} = \tfrac{1}{8}

Trois années, trois divisions par deux.

Vrai. Perdre la moitié, c'est multiplier par $\tfrac{1}{2}$ : une puissance, pas une soustraction de $3 \times 50\,\%$ .

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1 — La différence de deux grands carrés

2 — La figure où il ne faut surtout pas extraire la racine

3 — Changer de dimension : longueur, aire, volume

4 — L'histoire qui cache une puissance

Exercices

La suite se pratique sur elev