Série 1 — les carrés et les identités · Puissances et racines en situation · Psychométriques

Dix questions, douze minutes. Premier chapitre des applications : les puissances rencontrent l'algèbre.

Le formulaire de l'examen vous donne les deux identités : $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2ab + b^{2}$ et $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$ . Elles sont écrites sur la page, et pourtant le double produit reste le terme le plus oublié du chapitre.

Dès qu'un énoncé donne $a + b$ et $ab$ , ou $a - b$ et $ab$ , il vous demande une identité, jamais les valeurs de $a$ et $b$ séparément. Cherchez laquelle des trois quantités — $(a+b)^{2}$ , $(a-b)^{2}$ , $a^{2}+b^{2}$ — relie ce que vous avez à ce qu'on demande.

Exercices

Exercice 1

$(x + 5)^{2} = ?$

$x^{2} + 10x + 10$
$x^{2} + 10x + 25$
$x^{2} + 5x + 25$
$x^{2} + 25$

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Réponse : B $x^{2} + 10x + 25$

Corrigé :

(x + 5)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}

L'identité, appliquée telle quelle.

= x^{2} + 10x + 25

La bonne réponse : « $x^{2} + 10x + 25$ ». « $x^{2} + 25$ » — le double produit oublié : c'est l'erreur numéro un du chapitre. « $x^{2} + 5x + 25$ » — le double produit écrit sans son facteur $2$ . « $x^{2} + 10x + 10$ » — le carré de $5$ confondu avec son double. Contrôle avec $x = 1$ : $(1+5)^{2} = 36$ , et « $x^{2} + 10x + 25$ » est la seule à le donner.

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Exercice 2

$a + b = 7$ et $ab = 10$ . Combien vaut $a^{2} + b^{2}$ ?

$49$
$69$
$39$
$29$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $29$

Corrigé :

(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

L'identité relie exactement ce qui est donné à ce qui est demandé.

49 = a^{2} + b^{2} + 2 \times 10

\begin{aligned}a^{2} + b^{2} &= 49 - 20 \\ &= 29\end{aligned}

La bonne réponse : « $29$ ». « $49$ » — c'est $(a+b)^{2}$ : le double produit jamais retiré. « $69$ » — c'est $49 + 20$ : le double produit ajouté au lieu d'être soustrait. « $39$ » — c'est $49 - 10$ : le facteur $2$ du double produit oublié. Il n'est jamais nécessaire de trouver $a$ et $b$ ; ici ils valent $2$ et $5$ , mais les chercher coûte deux fois plus de temps.

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Exercice 3

$(y - 3)(y + 3) = ?$

$y^{2} - 9$
$y^{2} + 9$
$y^{2} - 6y + 9$
$y^{2} - 6y - 9$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $y^{2} - 9$

Corrigé :

(y - 3)(y + 3) = y^{2} - 3^{2}

La différence de deux carrés : les termes en $y$ s'annulent.

= y^{2} - 9

La bonne réponse : « $y^{2} - 9$ ». « $y^{2} + 9$ » — le signe du carré perdu. « $y^{2} - 6y - 9$ » — un double produit ajouté là où il n'y en a pas. « $y^{2} - 6y + 9$ » — c'est $(y - 3)^{2}$ : le produit des deux facteurs différents confondu avec un carré. Repérer la forme $(\ldots + \ldots)(\ldots - \ldots)$ suffit à savoir qu'il ne restera que deux termes.

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Exercice 4

Combien vaut $103^{2} - 97^{2}$ ?

$1206$
$600$
$1200$
$36$

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Réponse : C $1200$

Corrigé :

103^{2} - 97^{2} = (103 + 97)(103 - 97)

La différence de carrés, lue de droite à gauche : c'est ce qui rend le calcul possible sans calculatrice.

= 200 \times 6 = 1200

La bonne réponse : « $1200$ ». « $36$ » — c'est $(103 - 97)^{2}$ : la différence des nombres élevée au carré. « $600$ » — c'est $100 \times 6$ : la somme mal calculée. « $1206$ » — c'est $200 \times 6 + 6$ : la différence comptée deux fois, une fois dans le produit et une fois à côté. Dès qu'un énoncé écrit une différence de deux grands carrés, il attend cette factorisation ; le calcul direct est hors de portée.

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Exercice 5

$a - b = 4$ et $a^{2} + b^{2} = 26$ . Combien vaut $ab$ ?

$-5$
$5$
$21$
$10$

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Réponse : B $5$

Corrigé :

(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

L'identité de la différence.

16 = 26 - 2ab

\begin{aligned}2ab &= 10 \Rightarrow ab \\ &= 5\end{aligned}

La bonne réponse : « $5$ ». « $10$ » — c'est $2ab$ : la dernière division oubliée. « $21$ » — c'est $\tfrac{26 + 16}{2}$ : les deux données additionnées au lieu d'être soustraites, avant la division par $2$ . « $-5$ » — le signe du double produit mal placé dans l'identité de la différence. Contrôle : $a = 5$ et $b = 1$ vérifient bien les deux données, et leur produit vaut $5$ .

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Exercice 6

$(2m + 1)^{2} = ?$

$4m^{2} + 2m + 1$
$2m^{2} + 4m + 1$
$4m^{2} + 1$
$4m^{2} + 4m + 1$

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Réponse : D $4m^{2} + 4m + 1$

Corrigé :

(2m)^{2} = 4m^{2}

Le coefficient est élevé au carré lui aussi.

2 \cdot 2m \cdot 1 = 4m

Le double produit.

4m^{2} + 4m + 1

La bonne réponse : « $4m^{2} + 4m + 1$ ». « $2m^{2} + 4m + 1$ » — le coefficient $2$ multiplié au lieu d'être élevé au carré. « $4m^{2} + 2m + 1$ » — le double produit calculé sans le coefficient. « $4m^{2} + 1$ » — le double produit absent. Contrôle avec $m = 1$ : $(2+1)^{2} = 9$ , et $4 + 4 + 1 = 9$ .

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Exercice 7

$x^{2} - y^{2} = 35$ et $x + y = 7$ , avec $x$ et $y$ positifs. Combien vaut $x - y$ ?

$5$
$28$
$7$
$42$

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Réponse : A $5$

Corrigé :

x^{2} - y^{2} = (x + y)(x - y)

L'identité fait apparaître la donnée.

35 = 7 \times (x - y)

x - y = 5

La bonne réponse : « $5$ ». « $28$ » — c'est $35 - 7$ : la factorisation remplacée par une soustraction. « $42$ » — c'est $35 + 7$ . « $7$ » — la donnée recopiée. La forme est très fréquente : une différence de carrés et l'une de ses deux moitiés donnent l'autre par une simple division.

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Exercice 8

$\dfrac{n^{2} - 16}{n + 4} = ?$ ( $n \ne -4$ )

$n - 16$
$n + 4$
$n^{2} - 4$
$n - 4$

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Réponse : D $n - 4$

Corrigé :

n^{2} - 16 = (n + 4)(n - 4)

On factorise le numérateur.

\dfrac{(n+4)(n-4)}{n+4} = n - 4

Et le facteur commun disparaît.

La bonne réponse : « $n - 4$ ». « $n + 4$ » — le mauvais des deux facteurs conservé. « $n^{2} - 4$ » — la racine de $16$ prise sur le seul terme constant, sans factoriser. « $n - 16$ » — le $16$ recopié tel quel : il fallait en prendre la racine, puisque l'identité travaille sur des carrés. La condition $n \ne -4$ dans l'énoncé est le signal que le dénominateur allait se simplifier.

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Exercice 9

$(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = ?$

$4ab$
$0$
$2ab$
$2a^{2} + 2b^{2}$

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Réponse : A $4ab$

Corrigé :

(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

\text{différence} = 4ab

Les carrés s'annulent, les deux doubles produits s'ajoutent.

La bonne réponse : « $4ab$ ». « $2ab$ » — un seul double produit compté. « $0$ » — les deux parenthèses prises pour égales, ce qui reviendrait à ignorer les signes. « $2a^{2} + 2b^{2}$ » — la somme des deux au lieu de leur différence. Contrôle avec $a = 3$ et $b = 1$ : $16 - 4 = 12$ , et $4 \times 3 \times 1 = 12$ .

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Exercice 10

$k + \dfrac{1}{k} = 3$ . Combien vaut $k^{2} + \dfrac{1}{k^{2}}$ ?

$3$
$9$
$11$
$7$

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Réponse : D $7$

Corrigé :

\left(k + \dfrac{1}{k}\right)^{2} = k^{2} + 2 + \dfrac{1}{k^{2}}

Le double produit vaut $2 \cdot k \cdot \tfrac{1}{k} = 2$ : les deux facteurs se simplifient.

9 = k^{2} + \dfrac{1}{k^{2}} + 2

k^{2} + \dfrac{1}{k^{2}} = 7

La bonne réponse : « $7$ ». « $9$ » — le carré de la donnée, sans retirer le double produit. « $11$ » — le $2$ ajouté au lieu d'être retiré. « $3$ » — la donnée recopiée. Cette forme revient souvent parce que le double produit y vaut exactement $2$ , quelle que soit la valeur de $k$ : c'est ce qui rend la question résoluble sans jamais trouver $k$ .

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Exercice 11

$a - b = 3$ et $ab = 10$ . Combien vaut $a^{2} + b^{2}$ ?

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Réponse : 29

Corrigé :

(a - b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab

L'identité de la différence.

\begin{aligned}a^{2} + b^{2} &= 3^{2} + 2 \times 10 \\ &= 9 + 20 \\ &= 29\end{aligned}

On rajoute le double produit.

$29$ . Le piège : $9 - 20 = -11$ , le double produit soustrait au lieu d'être ajouté.

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Exercice 12

Pour tout nombre $x$ : $(x - 6)^{2} = x^{2} - 36$ .

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Réponse : Faux

Corrigé :

(x - 6)^{2} = x^{2} - 12x + 36

Le carré d'une différence.

x = 0 : \ 36 \ne -36

Un contre-exemple.

Faux. $x^{2} - 36$ , c'est $(x - 6)(x + 6)$ . Le double produit $-12x$ et le signe de $36$ manquent.

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Exercice 13

$(a + b)^{2} = 100$ et $a^{2} + b^{2} = 58$ . Combien vaut $ab$ ?

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Réponse : 21

Corrigé :

\begin{aligned}2ab &= 100 - 58 \\ &= 42\end{aligned}

Le carré entier moins les deux petits carrés : les deux rectangles.

ab = 21

Un seul rectangle.

$21$ . Le piège : s'arrêter à $42$ , qui vaut $2ab$ .

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Exercices

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