\big(x^{4} + 1\big)\big(x^{4} - 1\big)

Série 2 — factoriser pour simplifier · Puissances et racines en situation · Psychométriques

Dix questions, douze minutes. Cette série ne demande aucun calcul long : elle demande de voir la factorisation.

Deux gestes, et ils suffisent presque toujours. Le facteur commun : on sort la plus petite puissance de chaque lettre. La différence de carrés : $a^{2} - b^{2}$ se coupe en deux facteurs, et cette lecture-là sert autant à simplifier une fraction qu'à calculer de tête.

Dans une fraction algébrique, on ne simplifie jamais un terme : on simplifie un facteur. $\tfrac{x^{2} + 3}{x^{2}}$ ne vaut pas $3$ . Il faut d'abord que le numérateur soit un produit.

Exercices

Exercice 1

$x^{5} + x^{3} = ?$

$x^{3}\big(x^{2}\big)$
$x^{15}$
$x^{8}$
$x^{3}\big(x^{2} + 1\big)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $x^{3}\big(x^{2} + 1\big)$

Corrigé :

x^{5} + x^{3} = x^{3} \cdot x^{2} + x^{3} \cdot 1

On sort la plus petite puissance.

= x^{3}\big(x^{2} + 1\big)

Le second terme laisse un $1$ , jamais un vide.

La bonne réponse : « $x^{3}(x^{2} + 1)$ ». « $x^{8}$ » — les exposants additionnés, ce qui vaudrait pour un produit. « $x^{3}(x^{2})$ » — le $1$ oublié dans la parenthèse : c'est l'erreur la plus fréquente de la factorisation, et elle change complètement la valeur. « $x^{15}$ » — les exposants multipliés.

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Exercice 2

$\dfrac{a^{2} - b^{2}}{a - b} = ?$ ( $a \ne b$ )

$a - b$
$a + b$
$a + b^{2}$
$ab$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $a + b$

Corrigé :

a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)

\dfrac{(a+b)(a-b)}{a-b} = a + b

Le facteur commun se simplifie.

La bonne réponse : « $a + b$ ». « $a - b$ » — le mauvais facteur conservé. « $a + b^{2}$ » — une simplification faite terme à terme, ce qu'une fraction n'autorise jamais. « $ab$ » — c'est $\tfrac{a^{2} b^{2}}{ab}$ : les deux signes moins effacés, comme si la fraction ne portait que des produits. Cette identité, lue de gauche à droite, est l'outil de simplification le plus utilisé de tout l'examen.

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Exercice 3

$\dfrac{6^{n+1}}{6^{n}} = ?$

$6$
$6^{n}$
$1$
$n$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $6$

Corrigé :

6^{(n+1)-n} = 6^{1}

Les deux $n$ disparaissent.

= 6

La bonne réponse : « $6$ ». « $1$ » — les deux termes pris pour égaux, l'exposant $+1$ ignoré. « $6^{n}$ » — la soustraction jamais faite. « $n$ » — la lettre recopiée. Le réflexe qui rend cette famille immédiate : une puissance divisée par la précédente rend la base, quel que soit $n$ .

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Exercice 4

$\dfrac{4^{n} + 4^{n} + 4^{n} + 4^{n}}{4^{n}} = ?$

$4^{4}$
$4^{n}$
$4$
$1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $4$

Corrigé :

4^{n} + 4^{n} + 4^{n} + 4^{n} = 4 \cdot 4^{n}

Quatre termes identiques.

\dfrac{4 \cdot 4^{n}}{4^{n}} = 4

Tout se simplifie sauf le nombre de termes.

La bonne réponse : « $4$ ». « $4^{n}$ » — c'est $4^{n+1} : 4$ : le numérateur bien réécrit, puis divisé par $4$ au lieu de $4^{n}$ . « $1$ » — un seul terme du numérateur pris en compte. « $4^{4}$ » — le nombre de termes passé en exposant. La leçon : le nombre de termes identiques survit toujours à la simplification ; c'est même la seule chose qui en sort.

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Exercice 5

$x^{4} - 1 = ?$

$(x - 1)^{4}$
$\big(x^{2} + 1\big)\big(x^{2} - 1\big)$
$\big(x^{2} - 1\big)^{2}$
$\big(x^{4} + 1\big)\big(x^{4} - 1\big)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\big(x^{2} + 1\big)\big(x^{2} - 1\big)$

Corrigé :

x^{4} = \big(x^{2}\big)^{2}

On reconnaît un carré : la différence de carrés s'applique.

\big(x^{2}\big)^{2} - 1^{2} = \big(x^{2}+1\big)\big(x^{2}-1\big)

La bonne réponse : « $(x^{2} + 1)(x^{2} - 1)$ ». « $(x^{2} - 1)^{2}$ » — les deux facteurs pris identiques, alors que l'identité en donne un avec $+$ et un avec $-$ . « $(x^{4}+1)(x^{4}-1)$ » — les exposants non divisés par deux ; ce produit vaut $x^{8} - 1$ . « $(x-1)^{4}$ » — $x^{4} - 1^{4}$ refermé en $(x-1)^{4}$ , comme si l'exposant se distribuait sur une différence. Notez qu'on peut aller plus loin : $x^{2} - 1 = (x+1)(x-1)$ .

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Exercice 6

$\dfrac{3^{12} - 3^{10}}{3^{10}} = ?$

$9$
$2$
$8$
$3^{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $8$

Corrigé :

3^{12} - 3^{10} = 3^{10}\big(3^{2} - 1\big)

Facteur commun : la plus petite des deux puissances.

\dfrac{3^{10}(9 - 1)}{3^{10}} = 8

La bonne réponse : « $8$ ». « $9$ » et « $3^{2}$ » — la même valeur écrite deux fois : le $-1$ de la parenthèse oublié. Deux options identiques ne peuvent pas être la bonne réponse, ce qui les élimine avant même le calcul. « $2$ » — c'est $12 - 10$ : les exposants soustraits sans tenir compte de la différence.

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Exercice 7

$\dfrac{2^{n+3}}{2^{n+1}} = ?$

$8$
$2^{2n+4}$
$4$
$2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $4$

Corrigé :

(n + 3) - (n + 1) = 2

La parenthèse au dénominateur doit être soustraite en entier.

2^{2} = 4

La bonne réponse : « $4$ ». « $2$ » — l'exposant $2$ pris pour la réponse au lieu de $2^{2}$ : encore l'erreur de dernière ligne. « $2^{2n+4}$ » — les exposants additionnés. « $8$ » — c'est $2^{3}$ : le $+1$ du dénominateur oublié. Écrire la parenthèse $(n+1)$ avant de soustraire évite « $2^{2n+4}$ » comme « $8$ ».

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Exercice 8

$\dfrac{y^{3} + y^{2}}{y^{2}} = ?$ ( $y \ne 0$ )

$y$
$y + 1$
$y^{3}$
$y + y^{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $y + 1$

Corrigé :

y^{3} + y^{2} = y^{2}(y + 1)

Facteur commun d'abord : le numérateur doit devenir un produit.

\dfrac{y^{2}(y+1)}{y^{2}} = y + 1

La bonne réponse : « $y + 1$ ». « $y$ » — la simplification faite terme à terme, le second terme ramené à rien au lieu de $1$ . « $y^{3}$ » — le terme $y^{2}$ du numérateur barré contre le dénominateur : un terme simplifié, pas un facteur. « $y + y^{2}$ » — un seul des deux termes divisé. On ne simplifie que des facteurs : tant que le numérateur porte un $+$ , il faut le factoriser avant de toucher au dénominateur.

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Exercice 9

Combien vaut $\dfrac{51^{2} - 49^{2}}{2}$ ?

$2$
$50$
$100$
$200$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $100$

Corrigé :

51^{2} - 49^{2} = (51 + 49)(51 - 49)

La différence de carrés rend le calcul faisable de tête.

= 100 \times 2 = 200

\dfrac{200}{2} = 100

La bonne réponse : « $100$ ». « $2$ » — la différence $51 - 49$ prise pour la réponse. « $200$ » — la division finale par $2$ oubliée. « $50$ » — une division de trop. La forme est reconnaissable de loin : deux grands nombres au carré séparés par un moins, et une différence toute petite entre eux.

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Exercice 10

$\dfrac{5^{n+2} - 5^{n}}{5^{n}} = ?$

$5$
$2$
$24$
$25$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $24$

Corrigé :

5^{n+2} - 5^{n} = 5^{n}\big(5^{2} - 1\big)

Facteur commun.

= 5^{n} \times 24

\dfrac{5^{n} \times 24}{5^{n}} = 24

La bonne réponse : « $24$ ». « $25$ » — le $-1$ de la parenthèse oublié. « $5$ » — c'est $5^{n+1} : 5^{n}$ : un seul cran d'exposant au lieu de deux, et le $-1$ oublié en plus. « $2$ » — c'est $(n+2) - n$ : les exposants soustraits comme s'il s'agissait d'un quotient, alors que le numérateur est une différence. La distinction entre $\tfrac{A - B}{C}$ et $\tfrac{A}{B}$ est tout l'enjeu de la série.

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Exercice 11

Combien vaut $\dfrac{2^{10} - 2^{8}}{2^{8}}$ ?

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Réponse : 3

Corrigé :

2^{10} - 2^{8} = 2^{8}(2^{2} - 1)

On met $2^{8}$ en facteur.

\dfrac{2^{8} \cdot 3}{2^{8}} = 3

$3$ . Le piège : $2^{10 - 8} = 4$ , la soustraction traitée comme une division.

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Exercice 12

Pour tout nombre $x$ : $x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3)$ .

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Réponse : Vrai

Corrigé :

(x - 3)(x + 3) = x^{2} + 3x - 3x - 9

On développe.

= x^{2} - 9

Les termes du milieu s'annulent.

Vrai. C'est la différence de carrés, avec $9 = 3^{2}$ .

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Exercice 13

$n$ est un entier positif. Combien vaut $\dfrac{3^{n+2} + 3^{n}}{3^{n}}$ ?

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Réponse : 10

Corrigé :

3^{n+2} + 3^{n} = 3^{n}(3^{2} + 1)

On met $3^{n}$ en facteur.

\dfrac{3^{n} \cdot 10}{3^{n}} = 10

$10$ . Le piège : $3^{2} = 9$ , en oubliant le $+1$ que laisse $3^{n}$ .

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Exercices

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