Série 3 — puissances, diviseurs et parité

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Dix questions, douze minutes. Une série qui relie les puissances à l'arithmétique des entiers.

Une puissance porte sa décomposition sur son visage : 2n2^{n} n'a aucun diviseur impair autre que 11, 3k3^{k} a exactement k+1k + 1 diviseurs, et un carré parfait a toujours un nombre impair de diviseurs. Ce sont des faits qu'on lit, pas qu'on calcule.

Rappel du formulaire de l'examen, qui le précise noir sur blanc : 00 est pair, 00 n'est ni positif ni négatif, et 11 n'est pas un nombre premier. Ces trois conventions décident à elles seules plusieurs questions par session.

Exercices

Exercice 1

kk est un entier positif et x=2kx = 2^{k}. Combien xx a-t-il de diviseurs, en comptant 11 et xx ?

  1. 2k2k
  2. k+1k + 1
  3. kk
  4. 2k2^{k}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B k+1k + 1

Corrigé :

1, 2, 22, …, 2k1,\ 2,\ 2^{2},\ \ldots,\ 2^{k}

Les diviseurs sont exactement les puissances de 22 jusqu'à kk.

de 0 aˋ k: k+1 valeurs\text{de } 0 \text{ à } k : \ k + 1 \ \text{valeurs}

L'exposant nul compte : il donne le diviseur 11.

La bonne réponse : « k+1k + 1 ». « kk » — le diviseur 11 oublié, c'est-à-dire l'exposant nul. « 2k2k » — le nombre de diviseurs doublé sans raison. « 2k2^{k} » — le nombre lui-même pris pour son nombre de diviseurs. Vérification avec k=3k = 3 : 88 a pour diviseurs 11, 22, 44, 88, soit quatre.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Lequel de ces nombres est un carré parfait ?

  1. 272^{7}
  2. 252^{5}
  3. 262^{6}
  4. 232^{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 262^{6}

Corrigé :

26=(23)2=82\begin{aligned}2^{6} &= \big(2^{3}\big)^{2} \\ &= 8^{2}\end{aligned}

Un exposant pair permet toujours de couper la puissance en deux.

La bonne réponse : « 262^{6} ». Les trois autres portent des exposants impairs, et une puissance de 22 d'exposant impair n'est jamais un carré parfait : sa racine serait 2impair22^{\frac{\text{impair}}{2}}, un nombre irrationnel. La règle générale, pour un entier aa positif : ana^{n} est un carré parfait exactement quand nn est pair, ou quand aa est lui-même un carré — 43=64=824^{3} = 64 = 8^{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

nn est un entier positif. Par quoi 10n10^{n} est-il toujours divisible ?

  1. 33
  2. 77
  3. 55
  4. 99
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 55

Corrigé :

10n=2n⋅5n10^{n} = 2^{n} \cdot 5^{n}

La décomposition de 1010 en facteurs premiers.

n≥1⇒5 divise 10nn \ge 1 \Rightarrow 5 \ \text{divise} \ 10^{n}

La bonne réponse : « 55 ». « 33 » et « 99 » — 10n10^{n} s'écrit 11 suivi de zéros, dont la somme des chiffres vaut 11 : il n'est jamais divisible par 33. « 77 » — 77 n'apparaît pas dans la décomposition de 1010, donc dans aucune de ses puissances. Les seuls facteurs premiers d'une puissance sont ceux de sa base : c'est l'idée qui règle toute la série.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

mm est un entier. Si m2m^{2} est pair, que peut-on affirmer de mm ?

  1. mm est pair
  2. mm est impair
  3. mm est nul
  4. mm peut être pair ou impair
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A mm est pair

Corrigé :

m impair⇒m2 impairm \ \text{impair} \Rightarrow m^{2} \ \text{impair}

Le produit de deux impairs est impair.

m2 pair⇒m pairm^{2} \ \text{pair} \Rightarrow m \ \text{pair}

Donc mm ne peut pas être impair.

La bonne réponse : « mm est pair ». « mm est impair » — l'inverse. « peut être pair ou impair » — c'est la réponse tentante, mais elle est fausse : la parité d'un carré détermine entièrement celle du nombre. « mm est nul » — trop fort : m=4m = 4 convient aussi. À retenir : un nombre et son carré ont toujours la même parité.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Combien de diviseurs le nombre 3636 a-t-il, en comptant 11 et 3636 ?

  1. 1010
  2. 99
  3. 88
  4. 66
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 99

Corrigé :

36=22⋅3236 = 2^{2} \cdot 3^{2}

La décomposition en facteurs premiers.

(2+1)(2+1)=9(2+1)(2+1) = 9

Chaque exposant, augmenté de 11, donne le nombre de choix pour ce facteur.

La bonne réponse : « 99 ». « 66 » — c'est 36\sqrt{36}, sans rapport avec le nombre de diviseurs. « 88 » — la liste des diviseurs écrite à la main, en en oubliant un. « 1010 » — la liste écrite par paires, 1×361 \times 36, 2×182 \times 18, 3×123 \times 12, 4×94 \times 9, 6×66 \times 6, en comptant 66 deux fois. Notez le fait remarquable : 3636 est un carré parfait, et son nombre de diviseurs est impair — c'est vrai pour tous les carrés parfaits, parce que la racine est le seul diviseur sans partenaire distinct.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

pp est un nombre premier. Combien de diviseurs p3p^{3} a-t-il ?

  1. 44
  2. 22
  3. 33
  4. 66
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 44

Corrigé :

1, p, p2, p31,\ p,\ p^{2},\ p^{3}

Aucun autre nombre ne divise une puissance d'un premier.

La bonne réponse : « 44 ». « 33 » — le diviseur 11 oublié. « 66 » — c'est 2×32 \times 3 : le nombre de diviseurs de pp multiplié par l'exposant. « 22 » — le nombre de diviseurs de pp lui-même, sans tenir compte de l'exposant. Contrôle avec p=2p = 2 : 88 a bien quatre diviseurs.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

nn est un entier positif. Lequel de ces nombres est nécessairement pair ?

  1. n2+nn^{2} + n
  2. 2n+12n + 1
  3. n2+1n^{2} + 1
  4. n2n^{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A n2+nn^{2} + n

Corrigé :

n2+n=n(n+1)n^{2} + n = n(n + 1)

C'est le produit de deux entiers consécutifs.

l’un des deux est pair\text{l'un des deux est pair}

Donc le produit l'est.

La bonne réponse : « n2+nn^{2} + n ». « n2+1n^{2} + 1 » — pair seulement si nn est impair. « n2n^{2} » — pair seulement si nn est pair. « 2n+12n + 1 » — toujours impair, c'est même la définition d'un nombre impair. La factorisation est ce qui rend la réponse évidente : deux entiers consécutifs contiennent toujours un pair.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

Par combien de zéros le nombre 25⋅572^{5} \cdot 5^{7} se termine-t-il ?

  1. 55
  2. 77
  3. 22
  4. 1212
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 55

Corrigé :

25⋅57=25⋅55⋅522^{5} \cdot 5^{7} = 2^{5} \cdot 5^{5} \cdot 5^{2}

Un zéro final naît d'une paire 2×52 \times 5.

=105×25= 10^{5} \times 25

Il y a cinq paires possibles : c'est le plus petit des deux exposants qui commande.

La bonne réponse : « 55 ». « 77 » — le plus grand des deux exposants, alors que les 55 en trop n'ont plus de 22 à qui s'apparier. « 1212 » — les deux exposants additionnés. « 22 » — leur différence. Le nombre de zéros finaux est le minimum des exposants de 22 et de 55 : cette règle est celle que l'examen teste, sous des habillages variés.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

Lequel de ces nombres n'est pas un diviseur de 24⋅322^{4} \cdot 3^{2} ?

  1. 3636
  2. 1212
  3. 2424
  4. 55
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 55

Corrigé :

24⋅32=1442^{4} \cdot 3^{2} = 144
144:5 n’est pas entier144 : 5 \ \text{n'est pas entier}

Le facteur 55 n'apparaît nulle part dans la décomposition.

La bonne réponse : « 55 ». « 1212 » vaut 22⋅32^{2} \cdot 3, « 2424 » vaut 23⋅32^{3} \cdot 3, « 3636 » vaut 22⋅322^{2} \cdot 3^{2} : les trois n'utilisent que des 22 et des 33, en quantité disponible. Un diviseur ne peut contenir aucun facteur premier absent du nombre — et il ne peut pas non plus en contenir davantage que ce que les exposants permettent.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

qq est un entier positif et q2=3rq^{2} = 3r, avec rr entier. Que peut-on affirmer ?

  1. qq est divisible par 33
  2. rr est un carré parfait
  3. qq est pair
  4. rr est un nombre premier
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A qq est divisible par 33

Corrigé :

3 divise q23 \ \text{divise} \ q^{2}

Et 33 est premier.

3 divise q3 \ \text{divise} \ q

Un premier qui divise un carré divise le nombre lui-même.

La bonne réponse : « qq est divisible par 33 ». « rr est un nombre premier » — faux : q=6q = 6 donne r=12r = 12. « qq est pair » — faux : q=3q = 3 et r=3r = 3 conviennent. « rr est un carré parfait » — faux avec le même exemple, r=3r = 3. La propriété utilisée ici sert dans beaucoup de questions : si un nombre premier divise un carré, il divise le nombre lui-même — vrai pour les premiers, et plus largement pour tout nombre sans facteur carré, comme 66 ou 1010. Faux en revanche pour 44 ou 99 : 99 divise 62=366^{2} = 36 sans diviser 66.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

Combien de diviseurs le nombre 24⋅52^{4} \cdot 5 a-t-il, en comptant 11 et lui-même ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

(4+1)(1+1)(4 + 1)(1 + 1)

On ajoute 11 à chaque exposant, puis on multiplie.

=5×2=10= 5 \times 2 = 10

1010. Le piège : 4×1=44 \times 1 = 4, les exposants multipliés sans le +1+1 (le choix « exposant 00 » oublié).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

Le carré d'un entier impair est toujours impair.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

(2m+1)2=4m2+4m+1(2m + 1)^{2} = 4m^{2} + 4m + 1

Un impair s'écrit 2m+12m + 1.

=2(2m2+2m)+1= 2(2m^{2} + 2m) + 1

Un pair plus 11 : impair.

Vrai. Le carré garde la parité : pair au carré reste pair, impair reste impair.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

Par combien de zéros le nombre 26⋅542^{6} \cdot 5^{4} se termine-t-il ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

26⋅54=22⋅(2⋅5)42^{6} \cdot 5^{4} = 2^{2} \cdot (2 \cdot 5)^{4}

Chaque paire 2⋅52 \cdot 5 fait un 1010.

=4⋅104=40 000= 4 \cdot 10^{4} = 40\,000

Quatre paires, quatre zéros.

44. Le plus petit des deux exposants compte les zéros. Le piège : 66, ou 6+4=106 + 4 = 10.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe