Série 4 — répondre en lettres · Puissances et racines en situation · Psychométriques

Dix questions, douze minutes. Dernière série d'algèbre : la suivante passe à la géométrie.

Les quatre options ne sont plus des nombres mais des expressions. Cela change une seule chose dans la méthode : on ne peut plus vérifier en calculant… sauf en choisissant soi-même une valeur. C'est la technique la plus rentable de tout l'examen quantitatif.

Prenez une valeur qui n'est ni $0$ , ni $1$ , ni la même pour deux lettres différentes : $2$ et $3$ font très bien l'affaire. Calculez l'énoncé, calculez les quatre options, gardez celle qui coïncide. Si deux coïncident, changez de valeur et recommencez sur ces deux-là seulement.

Exercices

Exercice 1

$a \ne 0$ . $\dfrac{a^{n+2}}{a^{2}} = ?$

$a^{n}$
$n$
$a^{n+4}$
$a^{2n}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $a^{n}$

Corrigé :

a^{(n+2)-2} = a^{n}

Les deux $2$ s'annulent.

La bonne réponse : « $a^{n}$ ». « $a^{n+4}$ » — l'exposant du dénominateur additionné au lieu d'être soustrait. « $a^{2n}$ » — les exposants multipliés. « $n$ » — la lettre de l'exposant recopiée comme réponse, la base disparue. Contrôle avec $a = 2$ et $n = 3$ : $\tfrac{32}{4} = 8 = 2^{3}$ .

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Exercice 2

$x > 0$ . À quoi est égal $x \cdot \sqrt{x^{3}}$ ?

$x^{\frac{5}{2}}$
$x^{\frac{4}{3}}$
$x^{\frac{3}{2}}$
$x^{4}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $x^{\frac{5}{2}}$

Corrigé :

\sqrt{x^{3}} = x^{\frac{3}{2}}

L'indice $2$ passe au dénominateur.

x^{1} \cdot x^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{5}{2}}

Produit de même base.

La bonne réponse : « $x^{\frac{5}{2}}$ ». « $x^{\frac{3}{2}}$ » — le facteur $x$ isolé oublié. « $x^{4}$ » — la racine ignorée, $1 + 3$ . « $x^{\frac{4}{3}}$ » — l'indice de la racine placé au dénominateur du mauvais nombre. Contrôle avec $x = 4$ : $4 \times \sqrt{64} = 32$ , et $4^{\frac{5}{2}} = 2^{5} = 32$ .

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Exercice 3

$c > 0$ . Laquelle de ces expressions est égale à $\dfrac{1}{c^{3}}$ ?

$c^{\frac{1}{3}}$
$(-c)^{3}$
$c^{-3}$
$-c^{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $c^{-3}$

Corrigé :

\dfrac{1}{c^{3}} = c^{-3}

Le facteur traverse la barre, son exposant change de signe.

La bonne réponse : « $c^{-3}$ ». « $-c^{3}$ » — l'opposé au lieu de l'inverse : avec $c = 2$ , l'un vaut $\tfrac{1}{8}$ et l'autre $-8$ . « $c^{\frac{1}{3}}$ » — la racine cubique, encore autre chose. « $(-c)^{3}$ » — vaut $-c^{3}$ , donc la même erreur écrite différemment. Trois façons de confondre inverse, opposé et racine : ces trois-là occupent la moitié des distracteurs du chapitre.

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Exercice 4

$n$ est un entier positif. $\dfrac{4^{n}}{2^{n}} = ?$

$2^{n^{2}}$
$4^{n}$
$2^{n}$
$2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $2^{n}$

Corrigé :

\dfrac{4^{n}}{2^{n}} = \left(\dfrac{4}{2}\right)^{n}

Exposants égaux : les bases se divisent.

= 2^{n}

La bonne réponse : « $2^{n}$ ». « $2$ » — le rapport des bases pris pour la réponse, l'exposant $n$ oublié. « $4^{n}$ » — le dénominateur ignoré. « $2^{n^{2}}$ » — les deux $n$ multipliés entre eux. Contrôle avec $n = 3$ : $\tfrac{64}{8} = 8 = 2^{3}$ .

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Exercice 5

$a$ et $b$ sont positifs. $\big(a^{2} b\big)^{3} = ?$

$a^{8} b^{3}$
$a^{6} b$
$a^{5} b^{3}$
$a^{6} b^{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $a^{6} b^{3}$

Corrigé :

\big(a^{2}\big)^{3} = a^{6}

Les exposants se multiplient.

b^{3}

Et le second facteur reçoit l'exposant $3$ lui aussi.

La bonne réponse : « $a^{6} b^{3}$ ». « $a^{5} b^{3}$ » — l'exposant de $a$ additionné. « $a^{6} b$ » — le second facteur laissé intact : l'exposant extérieur porte sur tous les facteurs de la parenthèse. « $a^{8} b^{3}$ » — c'est $2^{3}$ : l'exposant intérieur élevé à l'exposant extérieur au lieu d'être multiplié.

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Exercice 6

$t > 0$ . $\dfrac{t^{5} + t^{5} + t^{5}}{t^{4}} = ?$

$t^{3}$
$3t$
$3t^{15}$
$t$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $3t$

Corrigé :

t^{5} + t^{5} + t^{5} = 3t^{5}

Trois termes identiques : un facteur $3$ .

\dfrac{3t^{5}}{t^{4}} = 3t

La bonne réponse : « $3t$ ». « $t$ » — le facteur $3$ oublié. « $3t^{15}$ » — c'est $3 \times t^{5+5+5}$ : les exposants additionnés comme dans un produit, et le dénominateur oublié en route. « $t^{3}$ » — le nombre de termes passé en exposant. Contrôle avec $t = 2$ : $\tfrac{96}{16} = 6$ , et $3 \times 2 = 6$ .

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Exercice 7

$y > 0$ . Si $y^{3} = w$ , à quoi est égal $y^{6}$ ?

$6w$
$2w$
$w^{2}$
$w^{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $w^{2}$

Corrigé :

y^{6} = \big(y^{3}\big)^{2}

On fait apparaître la donnée.

= w^{2}

La bonne réponse : « $w^{2}$ ». « $2w$ » — l'exposant doublé lu comme un doublement de la valeur : c'est le distracteur le plus choisi de cette forme. « $w^{3}$ » — l'exposant $3$ de la donnée réutilisé. « $6w$ » — l'exposant $6$ pris pour un facteur. Contrôle avec $y = 2$ : $w = 8$ , $y^{6} = 64 = 8^{2}$ .

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Exercice 8

$m$ et $n$ sont des entiers positifs. $\dfrac{2^{m} \cdot 8^{n}}{4^{m}} = ?$

$4^{n-m}$
$2^{3n+m}$
$2^{n-m}$
$2^{3n-m}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $2^{3n-m}$

Corrigé :

\begin{aligned}8^{n} &= 2^{3n} \\ \quad 4^{m} &= 2^{2m}\end{aligned}

Tout sur la base $2$ .

2^{m + 3n - 2m} = 2^{3n - m}

La bonne réponse : « $2^{3n-m}$ ». « $2^{3n+m}$ » — c'est $2^{m} \cdot 2^{3n}$ : le numérateur bien réécrit, et le dénominateur oublié. « $2^{n-m}$ » — la réécriture de $8^{n}$ oubliée. « $4^{n-m}$ » — deux réécritures manquées d'un coup. Contrôle avec $m = 1$ et $n = 1$ : $\tfrac{2 \times 8}{4} = 4 = 2^{2}$ , et $3 - 1 = 2$ .

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Exercice 9

$k > 0$ . Si l'arête d'un cube vaut $k$ , à quoi est égale son aire totale ?

$4k^{2}$
$6k^{2}$
$6k^{3}$
$k^{3}$

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Réponse : B $6k^{2}$

Corrigé :

\text{une face} : \ k^{2}

Chaque face est un carré de côté $k$ .

6 \times k^{2} = 6k^{2}

Un cube a six faces.

La bonne réponse : « $6k^{2}$ ». « $k^{3}$ » — c'est le volume, pas l'aire : l'exposant $3$ est le signe d'une grandeur en trois dimensions. « $6k^{3}$ » — le volume multiplié par six faces, ce qui mélange deux dimensions. « $4k^{2}$ » — quatre faces au lieu de six, l'erreur de qui pense au périmètre d'un carré. L'exposant dit la dimension : $1$ pour une longueur, $2$ pour une aire, $3$ pour un volume — et ce seul contrôle élimine deux options sur quatre.

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Exercice 10

$z > 2$ . Laquelle de ces expressions est nécessairement la plus grande ?

$z^{2}$
$z + 3$
$3z$
$z^{3}$

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Réponse : D $z^{3}$

Corrigé :

z^{3} = z \cdot z^{2} > 2 z^{2} > z^{2}

Multiplier par $z$ , qui dépasse $2$ , fait plus que doubler : $z^{3}$ passe donc devant $z^{2}$ .

z^{3} > 3z \iff z^{2} > 3

Vrai dès que $z$ dépasse $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ , donc a fortiori au-delà de $2$ .

\begin{aligned}z &= 3 : \ 27 \\ \ 9 \\ \ 6 \\ \ 9\end{aligned}

Une valeur d'essai confirme l'ordre.

La bonne réponse : « $z^{3}$ ». « $3z$ » et « $z + 3$ » croissent proportionnellement à $z$ , ou moins vite encore : elles ne peuvent pas rattraper un cube. « $z^{2}$ » — le bon type de croissance, mais un exposant trop bas. La condition $z > 2$ n'est pas décorative : entre $1$ et $1{,}5$ , c'est $z + 3$ qui l'emporte, entre $1{,}5$ et $\sqrt{3}$ c'est $3z$ , et l'énoncé écarte ces domaines exprès. Sur ce genre de question, testez toujours une valeur proche de la borne, pas seulement une grande.

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Exercice 11

Pour $a > 0$ : $a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$ .

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Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}a^{3} \cdot a^{4} &= a^{3 + 4} \\ &= a^{7}\end{aligned}

Un produit additionne les exposants.

a = 2 : \ 128 \ne 4\,096

Le contrôle par un nombre.

a^{7} \ne a^{12}

$12$ serait le produit des exposants, $3 \times 4$ .

Faux. On multiplie les exposants pour une puissance de puissance, $(a^{3})^{4} = a^{12}$ — pas pour un produit.

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Exercice 12

$n$ est un entier positif. Combien vaut $\dfrac{8^{n}}{2^{3n}}$ ?

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Réponse : 1

Corrigé :

\begin{aligned}8^{n} &= (2^{3})^{n} \\ &= 2^{3n}\end{aligned}

On écrit $8$ comme une puissance de $2$ .

\dfrac{2^{3n}}{2^{3n}} = 1

$1$ . Numérateur et dénominateur sont le même nombre écrit deux fois.

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Exercice 13

$x^{3} = 5$ . Combien vaut $x^{6}$ ?

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Réponse : 25

Corrigé :

x^{6} = (x^{3})^{2}

On fait apparaître la donnée.

= 5^{2} = 25

$25$ . Le piège : $10$ , l'exposant doublé traité comme un facteur $2$ .

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Exercices

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