Série 5 — les racines de la géométrie

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions, douze minutes. À partir d'ici, les puissances en situation : figures, dimensions, croissance.

En géométrie, presque toutes les racines viennent du même endroit : le théorème de Pythagore. Il ne travaille que sur des carrés, donc extraire une racine trop tôt fabrique un nombre qu'il faudra ré-élever à la ligne suivante.

Les deux longueurs à connaître par cœur : la diagonale d'un carré de côté cc vaut c2c\sqrt{2}, la hauteur d'un triangle équilatéral de côté cc vaut c32\tfrac{c\sqrt{3}}{2}. Et les triplets qui tombent juste : (3,4,5)(3, 4, 5), (5,12,13)(5, 12, 13), (8,15,17)(8, 15, 17) — ainsi que tous leurs multiples.

Exercices

Exercice 1

Un carré a un côté de 77 cm. Quelle est la longueur de sa diagonale, en cm ?

  1. 1414
  2. 4949
  3. 727\sqrt{2}
  4. 737\sqrt{3}
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Réponse : C 727\sqrt{2}

Corrigé :

d2=72+72=2×49\begin{aligned}d^{2} &= 7^{2} + 7^{2} \\ &= 2 \times 49\end{aligned}

Pythagore sur le demi-carré.

d=72d = 7\sqrt{2}

La bonne réponse : « 727\sqrt{2} », soit environ 9,99{,}9 cm. « 1414 » — la somme des deux côtés : la diagonale est toujours plus courte que le chemin par le coin. « 4949 » — l'aire du carré, pas une longueur. « 737\sqrt{3} » — la hauteur d'un triangle équilatéral confondue avec la diagonale d'un carré ; 3\sqrt{3} n'apparaît jamais dans un carré.

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Exercice 2

Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit mesurent 99 cm et 1212 cm. Quelle est la longueur de l'hypoténuse, en cm ?

  1. 10,510{,}5
  2. 1515
  3. 21\sqrt{21}
  4. 2121
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Réponse : B 1515

Corrigé :

92+122=81+144=225\begin{aligned}9^{2} + 12^{2} &= 81 + 144 \\ &= 225\end{aligned}

On additionne les carrés.

225=15\sqrt{225} = 15

C'est le triplet (3,4,5)(3,4,5) multiplié par 33.

La bonne réponse : « 1515 ». « 2121 » — c'est 9+129 + 12 : les longueurs additionnées. « 21\sqrt{21} » — la même addition, avec une racine posée dessus. « 10,510{,}5 » — la moyenne des deux côtés. L'hypoténuse est toujours entre le plus grand côté et la somme des deux : cet encadrement seul écarte trois options.

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Exercice 3

Un triangle équilatéral a un côté de 66 cm. Quelle est sa hauteur, en cm ?

  1. 33
  2. 636\sqrt{3}
  3. 323\sqrt{2}
  4. 333\sqrt{3}
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Réponse : D 333\sqrt{3}

Corrigé :

h2=62−32=36−9=27\begin{aligned}h^{2} &= 6^{2} - 3^{2} \\ &= 36 - 9 \\ &= 27\end{aligned}

La hauteur coupe la base en deux : Pythagore sur la moitié.

h=27=33\begin{aligned}h &= \sqrt{27} \\ &= 3\sqrt{3}\end{aligned}

La bonne réponse : « 333\sqrt{3} », soit environ 5,25{,}2 cm. « 636\sqrt{3} » — la formule c32\tfrac{c\sqrt{3}}{2} appliquée sans diviser par deux ; le résultat dépasserait le côté, ce qui est impossible pour une hauteur. « 323\sqrt{2} » — le 2\sqrt{2} du carré au lieu du 3\sqrt{3} du triangle. « 33 » — la moitié du côté, c'est-à-dire la base du demi-triangle, pas sa hauteur.

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Exercice 4

Un carré a une aire de 3232 cm². Quelle est la longueur de sa diagonale, en cm ?

  1. 88
  2. 1616
  3. 424\sqrt{2}
  4. 32\sqrt{32}
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Réponse : A 88

Corrigé :

d2=2×32=64\begin{aligned}d^{2} &= 2 \times 32 \\ &= 64\end{aligned}

La diagonale au carré vaut deux fois l'aire — sans jamais passer par le côté.

d=8d = 8

La bonne réponse : « 88 ». « 424\sqrt{2} » et « 32\sqrt{32} » — la même valeur écrite deux fois : c'est le côté, pas la diagonale. Deux options identiques ne peuvent pas être la bonne réponse, ce qui les élimine d'emblée. « 1616 » — l'aire divisée par deux. La formule à retenir : le carré de la diagonale vaut le double de l'aire.

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Exercice 5

Un rectangle a des côtés de 55 cm et 1212 cm. Quel est son périmètre, en cm ?

  1. 2626
  2. 6060
  3. 1313
  4. 3434
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Réponse : D 3434

Corrigé :

P=2×(5+12)=34\begin{aligned}P &= 2 \times (5 + 12) \\ &= 34\end{aligned}

Le périmètre est une somme, pas une racine.

La bonne réponse : « 3434 ». « 1313 » — c'est la diagonale : le triplet (5,12,13)(5, 12, 13) est tellement familier qu'on le calcule par réflexe, même quand la question ne le demande pas. C'est le piège de cette question, et il est très efficace. « 6060 » — c'est l'aire. « 2626 » — le double de la diagonale. Relire ce qui est demandé coûte trois secondes et vaut une question.

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Exercice 6

Un cercle a une aire de 25π25\pi cm². Quel est son rayon, en cm ?

  1. 2525
  2. 5π5\pi
  3. 25π\sqrt{25\pi}
  4. 55
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Réponse : D 55

Corrigé :

πr2=25π\pi r^{2} = 25\pi

Le π\pi se simplifie des deux côtés.

r2=25⇒r=5\begin{aligned}r^{2} &= 25 \Rightarrow r \\ &= 5\end{aligned}

La bonne réponse : « 55 ». « 2525 » — la racine oubliée. « 5π5\pi » — le π\pi traîné dans la réponse alors qu'il s'est simplifié. « 25π\sqrt{25\pi} » — la racine prise avant la simplification. Le geste utile : simplifier le π\pi avant d'extraire quoi que ce soit ; il apparaît des deux côtés dans presque toutes les questions de cercle.

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Exercice 7

Un carré est inscrit dans un cercle de rayon 44 cm. Quel est le côté du carré, en cm ?

  1. 424\sqrt{2}
  2. 828\sqrt{2}
  3. 88
  4. 44
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Réponse : A 424\sqrt{2}

Corrigé :

d=2r=8\begin{aligned}d &= 2r \\ &= 8\end{aligned}

La diagonale du carré est le diamètre du cercle.

c2=8⇒c=82=42\begin{aligned}c\sqrt{2} &= 8 \Rightarrow c \\ &= \dfrac{8}{\sqrt{2}} \\ &= 4\sqrt{2}\end{aligned}

La bonne réponse : « 424\sqrt{2} », soit environ 5,75{,}7 cm. « 88 » — c'est le diamètre, donc la diagonale, pas le côté. « 44 » — le rayon recopié. « 828\sqrt{2} » — la diagonale multipliée par 2\sqrt{2} au lieu d'être divisée : le côté est forcément plus petit que la diagonale. La clé de la figure tient en une phrase : la diagonale du carré inscrit est le diamètre du cercle.

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Exercice 8

Un cube a une arête de 33 cm. Quelle est la longueur de la diagonale d'une de ses faces, en cm ?

  1. 323\sqrt{2}
  2. 66
  3. 333\sqrt{3}
  4. 99
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Réponse : A 323\sqrt{2}

Corrigé :

une face est un carreˊ de coˆteˊ 3\text{une face est un carré de côté } 3

La diagonale d'une face, pas celle du cube.

d=32d = 3\sqrt{2}

La bonne réponse : « 323\sqrt{2} ». « 333\sqrt{3} » — c'est la grande diagonale du cube, celle qui relie deux sommets opposés en traversant le solide : d2=3×32d^{2} = 3 \times 3^{2}. La question ne la demandait pas. « 99 » — l'aire d'une face. « 66 » — le double de l'arête. Les deux diagonales d'un cube valent c2c\sqrt{2} pour une face et c3c\sqrt{3} pour le solide : c'est une paire qu'il faut connaître ensemble.

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Exercice 9

Un triangle rectangle a une hypoténuse de 1010 cm et un côté de 66 cm. Quelle est son aire, en cm² ?

  1. 3030
  2. 6060
  3. 4848
  4. 2424
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Réponse : D 2424

Corrigé :

102−62=100−36=64\begin{aligned}10^{2} - 6^{2} &= 100 - 36 \\ &= 64\end{aligned}

Pythagore, dans le sens de la soustraction : l'hypoténuse est donnée.

autre coˆteˊ=8\text{autre côté} = 8
6×82=24\dfrac{6 \times 8}{2} = 24

L'aire d'un triangle rectangle : le produit des deux côtés de l'angle droit, divisé par deux.

La bonne réponse : « 2424 ». « 3030 » — c'est 6×102\tfrac{6 \times 10}{2} : l'hypoténuse prise pour une hauteur, alors qu'elle ne l'est jamais. « 4848 » — le produit 6×86 \times 8 sans la division par deux. « 6060 » — le produit 6×106 \times 10 tout court. Le triplet (3,4,5)(3,4,5) doublé apparaît ici : quand deux longueurs d'un triangle rectangle sont rondes, la troisième l'est souvent aussi.

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Exercice 10

Un carré a un périmètre de 2020 cm. Quelle est son aire, en cm² ?

  1. 2525
  2. 400400
  3. 2020
  4. 100100
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Réponse : A 2525

Corrigé :

c=204=5\begin{aligned}c &= \dfrac{20}{4} \\ &= 5\end{aligned}

Le côté d'abord.

A=52=25\begin{aligned}A &= 5^{2} \\ &= 25\end{aligned}

La bonne réponse : « 2525 ». « 400400 » — c'est 20220^{2} : le périmètre élevé au carré, sans passer par le côté. « 100100 » — c'est 2024\tfrac{20^{2}}{4}, une division au mauvais moment. « 2020 » — le périmètre recopié. Une aire s'obtient toujours en élevant une longueur, jamais en élevant un périmètre : les deux ne sont pas dans le même rapport.

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Exercice 11

2120?

Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 2020 cm et 2121 cm. Quelle est la longueur de son hypoténuse, en cm ?

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Réponse : 29

Corrigé :

c2=202+212=400+441=841\begin{aligned}c^{2} &= 20^{2} + 21^{2} \\ &= 400 + 441 \\ &= 841\end{aligned}

Les carrés des côtés de l'angle droit.

c=29c = 29

292=84129^{2} = 841.

2929 cm. Le piège : 41=20+2141 = 20 + 21, des longueurs additionnées.

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Exercice 12

88h

La hauteur d'un triangle équilatéral de côté 88 cm vaut 434\sqrt{3} cm.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

h2=82−42=48\begin{aligned}h^{2} &= 8^{2} - 4^{2} \\ &= 48\end{aligned}

Pythagore sur le demi-triangle.

h=48=43\begin{aligned}h &= \sqrt{48} \\ &= 4\sqrt{3}\end{aligned}

48=16×348 = 16 \times 3.

Vrai. C'est la formule h=c32h = \tfrac{c\sqrt{3}}{2} avec c=8c = 8.

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Exercice 13

10

Un carré a une diagonale de 1010 cm. Quelle est son aire, en cm² ?

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Réponse : 50

Corrigé :

d2=102=100\begin{aligned}d^{2} &= 10^{2} \\ &= 100\end{aligned}

On garde le carré de la diagonale.

d2=2c2d^{2} = 2c^{2}

Pythagore sur le demi-carré.

c2=1002=50\begin{aligned}c^{2} &= \dfrac{100}{2} \\ &= 50\end{aligned}

L'aire, c'est c2c^{2} : aucune racine.

5050 cm². Le piège : chercher le côté, 525\sqrt{2}, pour l'élever ensuite au carré.

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