Série 6 — longueur, aire, volume

Réponse : C $8$

Corrigé :

La bonne réponse : « $8$ ». « $2$ » — le rapport des longueurs recopié. « $4$ » — le rapport des aires : c'est la bonne réponse à la question sur la surface, pas sur le volume. « $6$ » — le nombre de faces d'un cube, glissé là par confusion. L'exposant $3$ du volume donne $2^{3}$, et rien d'autre.

Réponse : C $4$

Corrigé :

La bonne réponse : « $4$ ». « $16$ » — le rapport des aires recopié sur les longueurs. « $8$ » — c'est $16 : 2$ : la racine confondue avec la moitié. « $256$ » — c'est $16^{2}$ : la montée au lieu de la descente. Descendre d'une aire vers une longueur, c'est prendre une racine carrée — le seul endroit du raisonnement où une racine apparaît.

Réponse : B $9$

Corrigé :

La bonne réponse : « $9$ ». « $3$ » — le rapport des longueurs, qui vaut pour le périmètre mais pas pour l'aire. « $6$ » — c'est $3 \times 2$ : l'exposant traité comme un facteur. « $27$ » — c'est $3^{3}$ : le rapport des volumes, alors qu'un cercle est une figure plane.

Réponse : C $9$

Corrigé :

La bonne réponse : « $9$ ». « $27$ » — le rapport des volumes recopié. « $3$ » — le rapport des longueurs, la valeur intermédiaire prise pour la réponse. « $81$ » — c'est $27 \times 3$, un raccourci sans fondement. Le chemin est toujours le même : volume → longueur → aire, jamais volume → aire directement.

Réponse : C $1 : 4$

Corrigé :

La bonne réponse : « $1 : 4$ ». « $1 : 2$ » — le rapport des longueurs. « $1 : 8$ » — celui des volumes. « $1 : 6$ » — le nombre de faces glissé dans le rapport, alors qu'il apparaît identiquement des deux côtés et disparaît. Les constantes de formule — $6$, $\pi$, $\tfrac{1}{3}$ — se simplifient toujours dans un rapport ; seul l'exposant compte.

Réponse : A $6$

Corrigé :

La bonne réponse : « $6$ ». « $5$ » — les deux facteurs additionnés. « $36$ » — c'est $6^{2}$ : la règle du carré appliquée alors que les deux dimensions changent différemment ; $k^{2}$ ne vaut que si toutes les longueurs sont multipliées par le même $k$. « $12$ » — un doublement de trop. C'est la nuance importante de la série : la règle $k^{2}$ suppose une figure agrandie de façon uniforme.

Réponse : C $\sqrt{2}$

Corrigé :

La bonne réponse : « $\sqrt{2}$ ». « $2$ » — le rapport des aires recopié ; il faudrait alors une aire multipliée par $4$. « $4$ » — c'est $2^{2}$ : la montée au lieu de la descente. « $\tfrac{1}{2}$ » — l'inverse, comme si agrandir l'aire réduisait le rayon. Un contrôle de bon sens : le rayon doit grandir, mais moins vite que l'aire — donc entre $1$ et $2$.

Réponse : A $1 : 4$

Corrigé :

La bonne réponse : « $1 : 4$ ». « $1 : 8$ » — la racine carrée de $64$ au lieu de la cubique : c'est le piège central de la question. « $1 : 64$ » — le rapport des volumes recopié. « $1 : 16$ » — c'est le rapport des aires. La chaîne complète ici : rayons $1 : 4$, aires $1 : 16$, volumes $1 : 64$.

Réponse : A $1 : 1000$

Corrigé :

La bonne réponse : « $1 : 1000$ ». « $1 : 10$ » — le rapport des longueurs. « $1 : 100$ » — celui des aires, qui serait la bonne réponse pour une question sur la surface à peindre. « $1 : 30$ » — c'est $10 \times 3$ : l'exposant traité comme un facteur. C'est la forme la plus concrète de la règle : une maquette au dixième pèse mille fois moins que l'original.

Réponse : B $8$

Corrigé :

La bonne réponse : « $8$ ». « $4$ » — le rapport des aires recopié. « $2$ » — le rapport des longueurs, la valeur intermédiaire. « $64$ » — c'est $4^{3}$ : le rapport des aires élevé au cube, comme si l'on pouvait sauter directement de l'aire au volume. Aire → longueur → volume, en deux temps, toujours.

Réponse : 125

Corrigé :

$125$. Les pièges : $25$ (le facteur des aires) et $15$ ($5 \times 3$).

Réponse : Faux

Corrigé :

Faux. L'aire est multipliée par $16$. Le $8$ vient de $4 \times 2$ : l'exposant traité comme un facteur.

Réponse : 10

Corrigé :

$10$. Le piège : $\sqrt{1\,000} \approx 31{,}6$, une racine carrée là où il faut une racine cubique.