Série 9 — les dix plus difficiles · Puissances et racines en situation · Psychométriques

Dix questions, quinze minutes — trois de plus que d'habitude, parce que chacune demande deux gestes au lieu d'un. C'est la dernière série des trois chapitres, et elle les mélange.

À ce niveau, le premier geste est toujours une réécriture : même base, exposant fractionnaire, factorisation, ou identité remarquable. Le second est celui que la question demande vraiment. Si vous cherchez le second sans avoir fait le premier, vous vous perdrez.

Six ou plus ici est un très bon score. Si vous en avez moins, ce n'est pas le chapitre qui manque : ce sont les enchaînements. Reprenez les corrigés en notant, pour chacun, quel était le premier geste — c'est presque toujours lui qui a manqué.

Exercices

Exercice 1

$\dfrac{4^{n+1}}{2^{2n-1}} = ?$

$2$
$2^{n+2}$
$4$
$8$

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Réponse : D $8$

Corrigé :

\begin{aligned}4^{n+1} &= 2^{2(n+1)} \\ &= 2^{2n+2}\end{aligned}

Premier geste : tout sur la base $2$ , en distribuant le $2$ dans la parenthèse.

2^{(2n+2) - (2n-1)} = 2^{3}

Second geste : le quotient. Les termes en $n$ s'annulent.

= 8

La bonne réponse : « $8$ ». « $2$ » — l'exposant $3$ mal calculé, $2 - 1$ au lieu de $2 + 1$ : la soustraction du $-1$ mal signée. « $4$ » — la parenthèse $2(n+1)$ développée en $2n + 1$ . « $2^{n+2}$ » — c'est $2^{2n+2} : 2^{n}$ : le numérateur bien réécrit, mais l'exposant du dénominateur lu $n$ au lieu de $2n - 1$ . Le fait que la réponse ne dépende pas de $n$ est le signal que la réécriture était la bonne.

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Exercice 2

$x > 0$ et $x + \dfrac{1}{x} = 4$ . Combien vaut $x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}$ ?

$14$
$16$
$8$
$18$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $14$

Corrigé :

\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}

Le double produit vaut $2$ , puisque $x$ et $\tfrac{1}{x}$ se simplifient.

16 = x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} + 2

x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = 14

La bonne réponse : « $14$ ». « $16$ » — le carré de la donnée, sans retirer le double produit. « $18$ » — le $2$ ajouté au lieu d'être retiré. « $8$ » — c'est $4 \times 2$ : la donnée doublée. Chercher $x$ lui-même est possible mais coûte trois fois plus de temps : $x$ vaut $2 + \sqrt{3}$ ou $2 - \sqrt{3}$ , deux valeurs positives.

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Exercice 3

$n$ est un entier positif. Quel est le chiffre des unités de $7^{n} \cdot 3^{n}$ ?

$7$
Cela dépend de $n$
$1$
$3$

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Réponse : C $1$

Corrigé :

7^{n} \cdot 3^{n} = 21^{n}

Premier geste : les exposants sont égaux, donc ce sont les bases qui se regroupent.

21 \ \text{finit par} \ 1

Et $1$ à toutes ses puissances finit par $1$ .

La bonne réponse : « $1$ ». « $7$ » et « $3$ » — les premières cases des cycles pris séparément, sans les combiner. « Cela dépend de $n$ » — la conclusion de qui voit chaque chiffre des unités changer avec $n$ et en déduit que le produit change aussi. Mener les deux cycles jusqu'au bout donne pourtant $1$ à chaque fois, et le regroupement des bases le montre d'un coup. Repérer que les deux exposants sont identiques est tout le travail.

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Exercice 4

$\sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} = 12$ , avec $x > 0$ . Combien vaut $x$ ?

$3$
$36$
$144$
$9$

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Réponse : D $9$

Corrigé :

4\sqrt{x} = 12

Premier geste : quatre termes identiques se rassemblent en un facteur.

\sqrt{x} = 3

x = 9

Second geste : on élève au carré.

La bonne réponse : « $9$ ». « $3$ » — c'est $\sqrt{x}$ : la dernière élévation au carré oubliée. « $144$ » — c'est $12^{2}$ : le facteur $4$ jamais divisé. « $36$ » — c'est $12^{2} : 4$ , une division faite au mauvais moment. L'ordre compte : on isole la racine seule avant de l'élever.

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Exercice 5

Le rayon d'un cylindre est doublé et sa hauteur est réduite de moitié. Par combien son volume est-il multiplié ?

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Réponse : C $2$

Corrigé :

V = \pi r^{2} h

Le rayon est au carré, la hauteur non.

\pi (2r)^{2} \cdot \dfrac{h}{2} = \pi \cdot 4r^{2} \cdot \dfrac{h}{2}

= 2 \pi r^{2} h

La bonne réponse : « $2$ ». « $1$ » — le doublement et la division compensés l'un par l'autre, comme si le rayon comptait pour un seul facteur ; c'est le distracteur le plus choisi. « $4$ » — la hauteur oubliée. « $8$ » — c'est $2^{3}$ , comme si toutes les dimensions avaient doublé : la hauteur réduite de moitié n'a pas été lue. Les deux dimensions ne pèsent pas pareil : le rayon entre au carré, la hauteur à la puissance $1$ .

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Exercice 6

$2^{x} = 6$ . Combien vaut $4^{x}$ ?

$36$
$8$
$24$
$12$

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Réponse : A $36$

Corrigé :

\begin{aligned}4^{x} &= \big(2^{2}\big)^{x} \\ &= \big(2^{x}\big)^{2}\end{aligned}

Premier geste : faire apparaître la donnée, sans jamais chercher $x$ .

= 6^{2} = 36

La bonne réponse : « $36$ ». « $12$ » — c'est $6 \times 2$ : la base doublée lue comme un doublement de la valeur. « $24$ » — c'est $6 \times 4$ . « $8$ » — c'est $6 + 2$ : la base passée de $2$ à $4$ lue comme un ajout de $2$ à la valeur. La règle générale à retenir : si la base est élevée au carré, la valeur l'est aussi — et $x$ n'a jamais besoin d'être connu.

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Exercice 7

$\dfrac{6^{8}}{3^{8} \cdot 2^{6}} = ?$

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Réponse : C $4$

Corrigé :

6^{8} = 2^{8} \cdot 3^{8}

Premier geste : décomposer la base composée.

\dfrac{2^{8} \cdot 3^{8}}{3^{8} \cdot 2^{6}} = 2^{8-6}

Les $3^{8}$ disparaissent.

= 4

La bonne réponse : « $4$ ». « $1$ » — tout simplifié d'un coup, sans remarquer que les exposants de $2$ diffèrent. « $2$ » — l'exposant $2$ pris pour la réponse au lieu de $2^{2}$ . « $8$ » — c'est $2^{3}$ : la soustraction $8 - 6$ mal faite. Décomposer une base composée en facteurs premiers est le premier geste dès qu'un $6$ , un $12$ ou un $15$ apparaît.

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Exercice 8

Un carré et un cercle ont la même aire. Quel est le rapport entre le côté du carré et le rayon du cercle ?

$\pi^{2}$
$\sqrt{\pi}$
$2\pi$
$\pi$

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Réponse : B $\sqrt{\pi}$

Corrigé :

c^{2} = \pi r^{2}

Les deux aires sont égales.

\left(\dfrac{c}{r}\right)^{2} = \pi

On regroupe les deux longueurs d'un même côté.

\dfrac{c}{r} = \sqrt{\pi} \approx 1{,}77

La bonne réponse : « $\sqrt{\pi}$ ». « $\pi$ » — le rapport des aires recopié sur les longueurs. « $\pi^{2}$ » — la montée au lieu de la descente. « $2\pi$ » — la formule du périmètre glissée dans une question d'aire. Le contrôle d'ordre de grandeur : $\sqrt{\pi}$ vaut environ $1{,}8$ , ce qui est plausible pour un rapport de deux longueurs comparables — $\pi^{2}$ , qui vaut presque $10$ , ne l'est pas.

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Exercice 9

$a$ , $b$ et $c$ sont des entiers positifs et $2^{a} \cdot 4^{b} = 8^{c}$ . Laquelle de ces égalités est nécessairement vraie ?

$a + 2b = 3c$
$a \cdot b = c$
$2a + 4b = 8c$
$a + b = c$

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Réponse : A $a + 2b = 3c$

Corrigé :

2^{a} \cdot 2^{2b} = 2^{3c}

Premier geste : tout sur la base $2$ .

a + 2b = 3c

Bases égales, donc exposants égaux.

La bonne réponse : « $a + 2b = 3c$ ». « $a + b = c$ » — les exposants additionnés sans tenir compte des réécritures. « $a \cdot b = c$ » — un produit là où le regroupement donne une somme. « $2a + 4b = 8c$ » — les bases utilisées comme coefficients au lieu de leurs exposants en base $2$ . Contrôle avec $a = 1$ , $b = 1$ : $2 \times 4 = 8$ , donc $c = 1$ , et $1 + 2 = 3$ .

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Exercice 10

$0 < m < 1$ . Laquelle de ces expressions est nécessairement plus grande que $1$ ?

$m^{0} \cdot m$
$m^{-2} \cdot m^{3}$
$\sqrt{m}$
$\dfrac{1}{m^{2}}$

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Réponse : D $\dfrac{1}{m^{2}}$

Corrigé :

0 < m < 1 \Rightarrow 0 < m^{2} < 1

Le carré reste sous $1$ .

\dfrac{1}{m^{2}} > 1

L'inverse d'un nombre plus petit que $1$ dépasse $1$ .

La bonne réponse : « $\tfrac{1}{m^{2}}$ ». « $m^{-2} \cdot m^{3}$ » vaut $m$ , qui reste sous $1$ : la simplification des exposants ( $-2 + 3 = 1$ ) est le geste qui le révèle. « $\sqrt{m}$ » — plus grande que $m$ , mais toujours sous $1$ : la frontière ne se franchit pas par une racine. « $m^{0} \cdot m$ » vaut $m$ aussi, puisque $m^{0} = 1$ . Seul le passage à l'inverse traverse le $1$ — c'est la dernière idée du chapitre, et l'une des plus rentables.

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Exercice 11

$x > 0$ et $x - \dfrac{1}{x} = 3$ . Combien vaut $x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}$ ?

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Réponse : 11

Corrigé :

\left(x - \tfrac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} - 2 + \tfrac{1}{x^{2}}

Le double produit vaut $2 \cdot x \cdot \tfrac{1}{x} = 2$ .

\begin{aligned}x^{2} + \tfrac{1}{x^{2}} &= 9 + 2 \\ &= 11\end{aligned}

$11$ . Le piège : $7$ , le double produit soustrait une fois de trop (c'est la réponse pour $x + \tfrac{1}{x} = 3$ ).

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Exercice 12

Pour tout entier positif $n$ : $\dfrac{2^{n+3} - 2^{n}}{2^{n}} = 7$ .

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Réponse : Vrai

Corrigé :

2^{n+3} - 2^{n} = 2^{n}(2^{3} - 1)

On met $2^{n}$ en facteur.

\dfrac{2^{n} \cdot 7}{2^{n}} = 7

Vrai. Le piège : $2^{3} = 8$ , en oubliant le $-1$ .

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Exercice 13

Le rayon d'un cône est triplé et sa hauteur est divisée par $9$ . Par combien son volume est-il multiplié ?

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Réponse : 1

Corrigé :

V = \tfrac{1}{3}\pi r^{2} h

Le rayon compte au carré, la hauteur une seule fois.

3^{2} \times \tfrac{1}{9} = 1

Par $1$ : le volume ne change pas. Le piège : $\tfrac{3}{9} = \tfrac{1}{3}$ , le rayon compté sans son carré.

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Exercices

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