On résout ensemble · Puissances · Psychométriques

Trois questions du chapitre « Puissances », trois formes différentes, chacune déroulée une étape par clic. Cherchez avant de cliquer : l'animation ne sert à rien si vous lisez la solution d'un trait. Sous chaque scène, une question jumelle attend — même geste, autres nombres.

Le but de cette unité n'est pas d'apprendre trois recettes, mais d'apprendre à nommer la forme en dix secondes. Avant chaque scène, demandez-vous : est-ce un quotient à simplifier, un dernier chiffre à lire, ou une somme de puissances à regrouper ?

1 — Le quotient de puissances, lettre par lettre

La forme la plus fréquente du chapitre, et la plus mécanique.

Elle porte trois lettres et six exposants, mais elle ne contient que trois soustractions indépendantes. Ne manipulez jamais l'expression entière.

À votre tour, avec d'autres nombres : une colonne après l'autre, puis la barre.

À vous. Même geste, deux lettres seulement — et faites attention au signe qui se soustrait.

2 — L'exposant énorme qui n'est pas un calcul

Dès qu'un exposant dépasse trois chiffres, la question ne porte plus sur la valeur.

Elle porte sur le dernier chiffre, ou sur un ordre de grandeur. Le reconnaître fait gagner une minute entière.

À votre tour : la roue de $8$ , et l'exposant $2026$ .

À vous. Une autre base, un autre exposant — et un reste qu'il faudra lire avec précaution.

3 — La somme de puissances qui cache un exposant

Aucune règle du formulaire ne parle d'une addition.

Pourtant l'examen aime écrire plusieurs fois la même puissance, séparée par des $+$ . Le nombre de termes devient un facteur, et ce facteur est presque toujours une puissance de la base.

À votre tour : neuf termes sur la base $3$ . Fusionnez-les trois par trois.

À vous. Trois termes cette fois, sur la base $3$ — le même mouvement, un cran plus court.

4 — À vous, sans aide

Trois questions qui mêlent les trois formes. Nommez la forme avant de répondre.

Si vos trois jumelles sont justes, passez aux séries. Si l'une vous a échappé, relisez d'abord le geste correspondant du cours : les séries supposent les quatre gestes acquis, et s'entraîner sur une méthode qu'on n'a pas encore installée ne fait qu'ancrer l'erreur.

Exercices

Exercice 1

$\dfrac{p^{4} \, q^{-3}}{p^{-1} \, q^{2}} = ?$ ( $p, q \ne 0$ )

$\dfrac{p^{5}}{q}$
$p^{5} q^{5}$
$\dfrac{p^{3}}{q}$
$\dfrac{p^{5}}{q^{5}}$

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Réponse : D $\dfrac{p^{5}}{q^{5}}$

Corrigé :

p : \ 4 - (-1) = 5

Colonne du $p$ : le moins devant le $-1$ le rend positif.

q : \ -3 - 2 = -5

Colonne du $q$ : deux soustractions qui descendent.

p^{5} q^{-5} = \dfrac{p^{5}}{q^{5}}

L'exposant négatif traverse la barre et redevient positif.

La bonne réponse : « $\tfrac{p^{5}}{q^{5}}$ ». « $\tfrac{p^{3}}{q}$ » — c'est $4 - 1$ et $-3 + 2$ : les deux soustractions faites avec le mauvais signe. « $p^{5} q^{5}$ » — le bon exposant pour $q$ , mais son signe négatif ignoré au moment de conclure. « $\tfrac{p^{5}}{q}$ » — l'exposant de $q$ ramené à $1$ , comme si un exposant négatif se contentait de changer de côté sans emporter sa valeur.

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Exercice 2

Quel est le chiffre des unités de $7^{2024}$ ?

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Réponse : D $1$

Corrigé :

7,\ 49,\ 343,\ 2401

Les chiffres des unités : $7$ , $9$ , $3$ , $1$ . Le cycle a une longueur de $4$ .

2024 = 4 \times 506 + 0

Le reste est nul.

\text{unité} = 1

Un reste nul désigne la dernière case du cycle, celle de l'exposant $4$ .

La bonne réponse : « $1$ ». « $7$ » — c'est la première case, celle qu'on prend en croyant qu'un reste nul renvoie au début du cycle. C'est le piège central de cette forme. « $9$ » — c'est la case du reste $2$ . « $3$ » — celle du reste $3$ . Le contrôle qui sauve : $7^{4}$ finit par $1$ , donc toute puissance dont l'exposant est un multiple de $4$ finit par $1$ .

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Exercice 3

$3^{x} + 3^{x} + 3^{x} = 3^{7}$ . Combien vaut $x$ ?

$6$
$21$
$\dfrac{7}{3}$
$7$

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Réponse : A $6$

Corrigé :

3^{x} + 3^{x} + 3^{x} = 3 \cdot 3^{x}

Trois termes identiques : un facteur $3$ .

3 \cdot 3^{x} = 3^{x+1}

Et ce facteur est la base elle-même : l'exposant monte de $1$ .

\begin{aligned}x + 1 &= 7 \ \Rightarrow\ x \\ &= 6\end{aligned}

La bonne réponse : « $6$ ». « $7$ » — l'exposant de droite recopié, l'équation $x + 1 = 7$ jamais finie. « $21$ » — c'est $3 \times 7$ : le nombre de termes multiplié dans l'exposant. « $\tfrac{7}{3}$ » — l'exposant divisé par le nombre de termes, comme si chacun portait un tiers de $3^{7}$ . Contrôle : $3 \times 3^{6} = 3^{7}$ .

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Exercice 4

$\dfrac{a^{6} \, b^{-2}}{a^{2} \, b^{-5}} = a^{m} \, b^{n}$ ( $a, b \ne 0$ ). Combien vaut $m + n$ ?

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Réponse : 7

Corrigé :

a : \ 6 - 2 = 4

Colonne du $a$ .

b : \ -2 - (-5) = 3

Colonne du $b$ : le moins devant le $-5$ le rend positif.

\begin{aligned}m + n &= 4 + 3 \\ &= 7\end{aligned}

7. Le piège est $b : -2 - 5 = -7$ , qui donne $m + n = -3$ : le signe du $-5$ oublié dans la soustraction.

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Exercice 5

Pour $x \ne 0$ : $\dfrac{x^{-2}}{x^{3}} = \dfrac{1}{x^{5}}$ .

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Réponse : Vrai

Corrigé :

-2 - 3 = -5

Le haut moins le bas.

x^{-5} = \dfrac{1}{x^{5}}

L'exposant négatif traverse la barre.

Vrai. Le piège serait $x^{1}$ , avec $-2 + 3$ : au dénominateur, l'exposant se soustrait.

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Exercice 6

Quel est le chiffre des unités de $7^{2027}$ ?

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Réponse : 3

Corrigé :

7,\ 9,\ 3,\ 1

Le cycle de $7$ a quatre cases.

2027 = 4 \times 506 + 3

Reste $3$ : troisième case.

3. Le piège est $7$ , le chiffre de la base recopié : seule la case du reste compte.

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Exercice 7

Complétez.

$9^{2030}$ se termine par ____, et $4^{101}$ se termine par ____.

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Réponse : $9^{2030}$ se termine par 1, et $4^{101}$ se termine par 4.

Corrigé :

9,\ 1

Le cycle de $9$ a deux cases : exposant pair, seconde case.

4,\ 6

Le cycle de $4$ a deux cases : exposant impair, première case.

1 et 4. Sur un cycle de deux cases, la seule question est la parité de l'exposant.

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Exercice 8

$5^{3} + 5^{3} + 5^{3} + 5^{3} + 5^{3} = 5^{n}$ . Combien vaut $n$ ?

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Réponse : 4

Corrigé :

5 \times 5^{3} = 5^{1} \times 5^{3}

Cinq termes égaux : un facteur $5$ , qui est la base.

= 5^{4}

4. Le piège est $15$ : le nombre de termes multiplié dans l'exposant.

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Exercice 9

Pour tout nombre $x$ : $2^{x} + 2^{x} = 2^{2x}$ .

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Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}2^{x} + 2^{x} &= 2 \cdot 2^{x} \\ &= 2^{x+1}\end{aligned}

Deux termes égaux : l'exposant monte de $1$ .

\begin{aligned}x &= 2 : \ 4 + 4 \\ &= 8 \ne 16\end{aligned}

Une valeur d'essai suffit à le voir.

Faux. La somme double, elle ne met pas au carré : $2^{x+1}$ , pas $2^{2x}$ .

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Exercice 10

Rangez ces nombres du plus petit au plus grand.

$-2^{2}$
$(-2)^{2}$
$(-2)^{3}$
$2^{-2}$
$2^{0}$

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Réponse : $(-2)^{3}$ · $-2^{2}$ · $2^{-2}$ · $2^{0}$ · $(-2)^{2}$

Corrigé :

\begin{aligned}(-2)^{3} &= -8 \\ \quad -2^{2} &= -4\end{aligned}

Les deux négatifs : exposant impair, et moins hors de la puissance.

\begin{aligned}2^{-2} &= \tfrac{1}{4} \\ \quad 2^{0} &= 1 \\ \quad (-2)^{2} &= 4\end{aligned}

Puis les positifs.

Deux pièges : $2^{-2}$ n'est pas négatif, et $-2^{2}$ n'est pas $4$ .

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1 — Le quotient de puissances, lettre par lettre

2 — L'exposant énorme qui n'est pas un calcul

3 — La somme de puissances qui cache un exposant

4 — À vous, sans aide

Exercices

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