Le réflexe puissance

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Trois à six questions de chaque examen reposent sur une puissance ou sur une racine.

Ce chapitre pose les règles des puissances : ce qu'un exposant compte, comment on regroupe deux puissances, ce que disent le signe et le dernier chiffre.

Les racines, la géométrie, les identités et la croissance ont leurs propres chapitres.

Presque aucune de ces questions ne demande un calcul. Elles demandent de choisir la bonne écriture.

La même expression, réécrite sur la bonne base, se règle en une ligne. C'est cette réécriture que ce cours entraîne.

Ce que le formulaire vous donne déjà

Le formulaire de l'examen a un paragraphe « Puissances ». Il donne quatre égalités, et rien d'autre : la définition est supposée connue.

a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}

l'exposant négatif retourne la fraction

am⋅an=am+na^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}

même base, produit : on additionne

aman=am−n\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}

même base, quotient : on soustrait

(am)n=am⋅n(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}

puissance de puissance : on multiplie

Geste 1 — un exposant compte des facteurs, et l'échelle ne s'arrête pas à 1

ana^{n} est une abréviation : aa écrit nn fois, multiplié par lui-même.

Tant que nn est un entier positif, tout le monde suit. La question intéressante est ce qui arrive en dessous.

Combien vaut (−5)0(-5)^{0} ? Et 000^{0} ?

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(−5)0=1(-5)^{0} = 1 : la règle vaut pour tout nombre différent de zéro, y compris les négatifs. 000^{0}, lui, n'est pas défini — et c'est pour cela que le formulaire écrit « pour tout aa différent de zéro ».

Deux confusions coûtent des points à chaque session :

2−3=−82^{-3} = -8
2−3=182^{-3} = \dfrac{1}{8}

Un exposant négatif ne rend jamais le résultat négatif. Il change le côté de la barre de fraction, rien d'autre.

−32=9-3^{2} = 9
−32=−9-3^{2} = -9

Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le 33 : on calcule 323^{2} puis on prend l'opposé. (−3)2(-3)^{2}, avec parenthèses, vaut bien 99.

Geste 2 — rien ne se simplifie tant que les bases diffèrent

Les trois règles du formulaire ont la même condition d'entrée : la même base.

Cherchez la plus petite base commune — presque toujours 22, 33 ou 55. Réécrivez tout dessus avant de toucher au moindre exposant.

Sur une même base, un quotient se traite lettre par lettre : une soustraction par lettre, et rien d'autre.

Même exposant : ce sont les bases qui se regroupent

L'inverse est vrai aussi, et l'examen le préfère. Quand les exposants sont égaux et les bases différentes, ce sont les bases qui se regroupent.

am⋅bm=(ab)ma^{m} \cdot b^{m} = (ab)^{m}

même exposant, produit

ambm=(ab)m\dfrac{a^{m}}{b^{m}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{m}

même exposant, quotient

Une somme de puissances se factorise

Peut-on simplifier 25+252^{5} + 2^{5} en 2102^{10} ?

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Non. Aucune règle ne porte sur une somme de puissances. Il faut factoriser : 25+25=2×25=262^{5} + 2^{5} = 2 \times 2^{5} = 2^{6}. Le réflexe, dès qu'un ++ apparaît entre deux puissances, est de mettre en facteur la plus petite — c'est presque toujours ce que l'énoncé attend.

Dès qu'un ++ sépare des puissances égales, mettez en facteur. Le nombre de termes devient un facteur, et c'est presque toujours une puissance de la base.

Geste 3 — le signe se lit sur la parité de l'exposant

Une question sur deux dans cette famille ne demande aucun nombre : elle demande un signe. La règle tient en une ligne, et elle ne souffre aucune exception.

(neˊgatif)pair>0(\text{négatif})^{\text{pair}} > 0

les facteurs s'apparient

(neˊgatif)impair<0(\text{négatif})^{\text{impair}} < 0

il en reste un tout seul

Sur ce type de question, une valeur d'essai vaut mieux qu'un raisonnement : x=−2x = -2 et y=−1y = -1. Trois secondes, et le signe de chaque option est décidé.

Ne prenez pas x=yx = y si l'énoncé distingue les deux lettres : plusieurs options pourraient tomber égales.

Geste 4 — le chiffre des unités est toujours périodique

Un exposant à quatre chiffres ne demande pas de calcul.

Il demande de voir que le dernier chiffre tourne en rond. Les cycles sont courts, et l'exposant énorme n'est qu'une division euclidienne.

2, 3, 7, 8 → 42,\ 3,\ 7,\ 8 \ \rightarrow\ 4

cycle de longueur 4

4, 9 → 24,\ 9 \ \rightarrow\ 2

cycle de longueur 2

0, 1, 5, 6 → 10,\ 1,\ 5,\ 6 \ \rightarrow\ 1

le chiffre ne bouge jamais

Par quel chiffre se termine 61006^{100} ?

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Par 66. Un nombre qui finit par 66 garde ce chiffre à toutes ses puissances : 6×6=366 \times 6 = 36, 36×6=21636 \times 6 = 216… Même chose pour 55, pour 11 et pour 00. Il n'y a rien à diviser.

Les pièges, en une page

Aucun distracteur de l'examen n'est tiré au hasard : chacun est fabriqué par une de ces erreurs.

am+an=am+na^{m} + a^{n} = a^{m+n}
am⋅an=am+na^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}

L'addition des exposants vient d'un produit. Sur une somme, on factorise.

(am)n=am+n(a^{m})^{n} = a^{m+n}
(am)n=am⋅n(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}

Puissance de puissance : on multiplie. C'est la règle que les distracteurs échangent le plus souvent avec la précédente.

a−n<0a^{-n} < 0
a−n=1an>0a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}} > 0

Le signe de l'exposant ne dit rien du signe du résultat. Il dit de quel côté de la barre le facteur se range.

L'ordre des gestes, quand la question tombe

4n=22n4^{n} = 2^{2n}

1. Des bases différentes : tout sur la plus petite.

an+an=2ana^{n} + a^{n} = 2a^{n}

2. Un ++ entre deux puissances : factorisez la plus petite.

aman=am−n\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}

3. Un produit ou un quotient : additionnez ou soustrayez, une lettre à la fois.

(−1)n,  22027(-1)^{n}, \ \ 2^{2027}

4. Un signe ou un dernier chiffre : ne calculez rien, lisez la parité ou le cycle.

Le contrôle qui sauve : prenez une valeur. a=2a = 2, n=3n = 3, x=−1x = -1.

Une règle douteuse se vérifie en cinq secondes sur des petits nombres, et une option fausse se démasque de la même façon.

Exercices

Exercice 1

9537=?\dfrac{9^{5}}{3^{7}} = ?

  1. 3−23^{-2}
  2. 3353^{35}
  3. 9−29^{-2}
  4. 333^{3}
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Réponse : D 333^{3}

Corrigé :

95=(32)5=310\begin{aligned}9^{5} &= (3^{2})^{5} \\ &= 3^{10}\end{aligned}

On ramène tout sur la base 33 : puissance de puissance, les exposants se multiplient.

31037=310−7=33\begin{aligned}\dfrac{3^{10}}{3^{7}} &= 3^{10-7} \\ &= 3^{3}\end{aligned}

Même base, quotient : on soustrait.

La bonne réponse : « 333^{3} ». « 3−23^{-2} » — c'est 5−75 - 7 : la réécriture de 959^{5} en 3103^{10} a été sautée, et l'exposant 55 soustrait tel quel. « 9−29^{-2} » — même oubli, avec en plus la base 99 conservée. « 3353^{35} » — c'est 5×75 \times 7 : la règle de la puissance de puissance appliquée à un quotient.

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Exercice 2

47+47+47+47=?4^{7} + 4^{7} + 4^{7} + 4^{7} = ?

  1. 484^{8}
  2. 4114^{11}
  3. 16716^{7}
  4. 4284^{28}
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Réponse : A 484^{8}

Corrigé :

47+47+47+47=4×474^{7} + 4^{7} + 4^{7} + 4^{7} = 4 \times 4^{7}

Quatre fois le même terme : c'est une multiplication, pas une addition d'exposants.

4×47=41×47=48\begin{aligned}4 \times 4^{7} &= 4^{1} \times 4^{7} \\ &= 4^{8}\end{aligned}

Et le facteur 44 est lui-même 414^{1} : les exposants s'additionnent.

La bonne réponse : « 484^{8} ». « 4284^{28} » — c'est 7×47 \times 4 : les quatre termes traités comme une puissance de puissance. « 16716^{7} » — c'est 4×474 \times 4^{7} où le facteur a été multiplié dans la base au lieu de l'exposant. « 4114^{11} » — c'est 7+47 + 4 : les exposants additionnés alors qu'il n'y a aucun produit de puissances. La forme est classique : dès qu'un ++ sépare deux puissances identiques, on factorise.

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Exercice 3

mm est un nombre négatif. Laquelle de ces expressions est nécessairement positive ?

  1. −m3-m^{3}
  2. m⋅m2m \cdot m^{2}
  3. m3m^{3}
  4. m5m^{5}
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Réponse : A −m3-m^{3}

Corrigé :

m=−2⇒m3=−8\begin{aligned}m &= -2 \Rightarrow m^{3} \\ &= -8\end{aligned}

Un exposant impair garde le signe du nombre : m3m^{3} est négatif.

−m3=−(−8)=8\begin{aligned}-m^{3} &= -(-8) \\ &= 8\end{aligned}

Le signe moins devant, appliqué à un nombre négatif, donne un positif.

La bonne réponse : « −m3-m^{3} ». « m3m^{3} » — exposant impair, donc négatif comme mm. « m5m^{5} » — impair aussi, même conclusion : c'est la parité qui décide, jamais la taille de l'exposant. « m⋅m2m \cdot m^{2} » — c'est m3m^{3} écrit autrement, un piège de reconnaissance. Notez que le signe moins de la première option ne porte pas sur mm mais sur m3m^{3} tout entier.

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Exercice 4

Par quel chiffre se termine 4314^{31} ?

  1. 88
  2. 44
  3. 11
  4. 66
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Réponse : B 44

Corrigé :

4, 16, 64, 2564,\ 16,\ 64,\ 256

Les derniers chiffres alternent : 44, 66, 44, 66… Le cycle de 44 n'a que deux cases.

31 est impair31 \ \text{est impair}

Les exposants impairs tombent sur la première case, les pairs sur la seconde.

La bonne réponse : « 44 ». « 66 » — la case des exposants pairs. « 11 » — le dernier chiffre de l'exposant 3131, recopié à la place de celui de la puissance. « 88 » — un chiffre du cycle de 22, jamais de celui de 44. Pour une base dont le cycle a deux cases, la seule question est la parité de l'exposant — ici 3131, impair.

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Exercice 5

2−3⋅25=2n2^{-3} \cdot 2^{5} = 2^{n}. Combien vaut nn ?

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Réponse : 2

Corrigé :

−3+5=2-3 + 5 = 2

Même base, produit : on additionne, signe compris.

2. Le piège est −8-8 ou 88 : l'exposant négatif ne se lit pas comme une valeur, il s'additionne comme les autres.

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Exercice 6

−32=9-3^{2} = 9.

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Réponse : Faux

Corrigé :

−32=−(32)=−9\begin{aligned}-3^{2} &= -(3^{2}) \\ &= -9\end{aligned}

Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le 33.

Faux. C'est (−3)2(-3)^{2} qui vaut 99. Ici on calcule 323^{2}, puis on prend l'opposé : −9-9.

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Exercice 7

8445=2n\dfrac{8^{4}}{4^{5}} = 2^{n}. Combien vaut nn ?

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Réponse : 2

Corrigé :

84=21245=210\begin{aligned}8^{4} &= 2^{12} \\ \quad 4^{5} &= 2^{10}\end{aligned}

Tout sur la base 22 : on multiplie les exposants.

212210=22\dfrac{2^{12}}{2^{10}} = 2^{2}

Puis le quotient : on soustrait.

2. Le piège est 4−5=−14 - 5 = -1 : soustraire les exposants avant d'avoir ramené les deux bases sur 22.

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Exercice 8

Complétez.

Les exposants sont égaux : 12545=x5\dfrac{12^{5}}{4^{5}} = x^{5} avec x=x = ____, et cette puissance vaut ____.

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Réponse : Les exposants sont égaux : 12545=x5\dfrac{12^{5}}{4^{5}} = x^{5} avec x=x = 3, et cette puissance vaut 243.

Corrigé :

12545=(124)5=35\begin{aligned}\dfrac{12^{5}}{4^{5}} &= \left(\dfrac{12}{4}\right)^{5} \\ &= 3^{5}\end{aligned}

Même exposant : ce sont les bases qui se divisent.

35=2433^{5} = 243

3×3×3×3×33 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3.

3 et 243. Le piège est 858^{5} : les bases se divisent, elles ne se soustraient pas.

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Exercice 9

aa est un nombre négatif. Rangez chaque expression.

  • positive
  • négative
  • −a2-a^{2}
  • (−a)3(-a)^{3}
  • 1a2\dfrac{1}{a^{2}}
  • a2⋅a3a^{2} \cdot a^{3}
  • a4a^{4}
  • a7a^{7}
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Réponse : a4a^{4} — positive · a7a^{7} — négative · −a2-a^{2} — négative · (−a)3(-a)^{3} — positive · a2⋅a3a^{2} \cdot a^{3} — négative · 1a2\dfrac{1}{a^{2}} — positive

Corrigé :

apair>0,aimpair<0a^{\text{pair}} > 0, \qquad a^{\text{impair}} < 0

Seule la parité de l'exposant compte.

−a>0⇒(−a)3>0-a > 0 \Rightarrow (-a)^{3} > 0

Si aa est négatif, −a-a est positif.

Deux pièges : −a2-a^{2} est négatif (le moins est hors de la puissance), et (−a)3(-a)^{3} est positif (−a-a est un nombre positif).

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Exercice 10

Par quel chiffre se termine 320303^{2030} ?

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Réponse : 9

Corrigé :

3, 9, 7, 13,\ 9,\ 7,\ 1

Le cycle des unités de 33 a quatre cases.

2030=4×507+22030 = 4 \times 507 + 2

Reste 22 : deuxième case.

9. Le piège est 11, la case d'un reste nul, ou 33, la première case : seul le reste décide.

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Exercice 11

210+210=2112^{10} + 2^{10} = 2^{11}.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

210+210=2×210=211\begin{aligned}2^{10} + 2^{10} &= 2 \times 2^{10} \\ &= 2^{11}\end{aligned}

Deux termes égaux : un facteur 22, l'exposant monte de 11.

Vrai. Le piège serait 2202^{20} : aucune règle n'additionne les exposants d'une somme.

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