Série 1 — produit, quotient, exposant nul

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Dix questions au format de l'examen. Lancez un chrono : douze minutes pour la série. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, comme le jour J — puis corrigez d'un bloc, comptez vos points sur dix et notez votre temps.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez la règle qui vous a manqué. Cinq ou moins : revenez au geste 2 du cours avant de continuer.

Après les dix, trois questions de plus, hors chrono : un calcul à taper, un vrai ou faux, un texte à trous.

Un seul réflexe à installer ici : avant d'écrire quoi que ce soit, demandez-vous quelle opération relie les deux puissances. Produit, quotient, puissance de puissance : trois règles, trois gestes différents. La moitié des erreurs de cette série vient d'avoir appliqué la bonne règle au mauvais endroit.

Exercices

Exercice 1

53⋅54=?5^{3} \cdot 5^{4} = ?

  1. 5125^{12}
  2. 25725^{7}
  3. 515^{1}
  4. 575^{7}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 575^{7}

Corrigé :

53⋅54=53+4=57\begin{aligned}5^{3} \cdot 5^{4} &= 5^{3+4} \\ &= 5^{7}\end{aligned}

Même base, produit : on additionne les exposants.

La bonne réponse : « 575^{7} ». « 5125^{12} » — c'est 3×43 \times 4 : la règle de la puissance de puissance appliquée à un produit. « 25725^{7} » — le bon exposant, mais les deux bases multipliées entre elles en plus ; la base ne bouge jamais dans cette règle. « 515^{1} » — c'est 4−34 - 3 : la règle du quotient sur un produit.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

7976=?\dfrac{7^{9}}{7^{6}} = ?

  1. 7547^{54}
  2. 7157^{15}
  3. 737^{3}
  4. 131^{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 737^{3}

Corrigé :

7976=79−6=73\begin{aligned}\dfrac{7^{9}}{7^{6}} &= 7^{9-6} \\ &= 7^{3}\end{aligned}

Même base, quotient : on soustrait.

La bonne réponse : « 737^{3} ». « 7157^{15} » — c'est 9+69 + 6 : la règle du produit sur un quotient. « 131^{3} » — le bon exposant, mais les deux bases divisées entre elles : 7:7=17 : 7 = 1. La base commune reste la base, elle ne se simplifie pas. « 7547^{54} » — c'est 9×69 \times 6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

(25)3=?\big(2^{5}\big)^{3} = ?

  1. 2152^{15}
  2. 282^{8}
  3. 656^{5}
  4. 222^{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 2152^{15}

Corrigé :

(25)3=25×3=215\begin{aligned}\big(2^{5}\big)^{3} &= 2^{5 \times 3} \\ &= 2^{15}\end{aligned}

Puissance de puissance : on multiplie les exposants.

La bonne réponse : « 2152^{15} ». « 282^{8} » — c'est 5+35 + 3 : la règle du produit. C'est de très loin le distracteur le plus choisi de cette forme. « 222^{2} » — c'est 5−35 - 3. « 656^{5} » — l'exposant extérieur multiplié dans la base au lieu de l'exposant.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

x≠0x \ne 0. Combien vaut x8⋅x2x10\dfrac{x^{8} \cdot x^{2}}{x^{10}} ?

  1. 11
  2. x16x^{16}
  3. xx
  4. 00
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 11

Corrigé :

x8⋅x2=x10x^{8} \cdot x^{2} = x^{10}

On règle d'abord le numérateur : produit, donc addition.

x10x10=x0=1\begin{aligned}\dfrac{x^{10}}{x^{10}} &= x^{0} \\ &= 1\end{aligned}

Le quotient donne un exposant nul, et un exposant nul vaut 11.

La bonne réponse : « 11 ». « xx » — obtenu en soustrayant 10−8−2+110 - 8 - 2 + 1, ou simplement en ne sachant pas quoi faire d'un exposant nul. « 00 » — l'erreur classique : x0x^{0} lu comme « xx multiplié zéro fois, donc rien ». Un exposant nul vaut 11, jamais 00. « x16x^{16} » — c'est 8×28 \times 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

36⋅3534=?\dfrac{3^{6} \cdot 3^{5}}{3^{4}} = ?

  1. 979^{7}
  2. 3153^{15}
  3. 353^{5}
  4. 373^{7}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 373^{7}

Corrigé :

36+5=3113^{6+5} = 3^{11}

Le numérateur d'abord.

311−4=373^{11-4} = 3^{7}

Puis le quotient.

La bonne réponse : « 373^{7} ». « 3153^{15} » — c'est 6+5+46 + 5 + 4 : le dénominateur additionné au lieu d'être soustrait. « 353^{5} » — c'est 6−5+46 - 5 + 4, un mélange de signes. « 979^{7} » — le bon exposant, mais deux des trois bases multipliées. Le contrôle qui évite les trois : une seule base 33 doit survivre, et un seul exposant.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Laquelle de ces égalités est fausse ?

  1. a4⋅a4=a8a^{4} \cdot a^{4} = a^{8}
  2. a12a4=a8\dfrac{a^{12}}{a^{4}} = a^{8}
  3. a4+a4=a8a^{4} + a^{4} = a^{8}
  4. (a4)2=a8\big(a^{4}\big)^{2} = a^{8}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C a4+a4=a8a^{4} + a^{4} = a^{8}

Corrigé :

a4+a4=2a4a^{4} + a^{4} = 2a^{4}

Une somme de deux termes identiques est un doublement, pas une addition d'exposants.

2a4≠a82a^{4} \ne a^{8}

Contrôle avec a=1a = 1 : à gauche 22, à droite 11.

La bonne réponse : « a4+a4=a8a^{4} + a^{4} = a^{8} », qui est bien la fausse. Les trois autres sont vraies : le produit additionne les exposants, la puissance de puissance les multiplie (4×2=84 \times 2 = 8), le quotient les soustrait (12−4=812 - 4 = 8). Aucune règle ne porte sur une somme ; la seule chose à faire d'un ++ est de factoriser.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

(4a3)2=?\big(4 a^{3}\big)^{2} = ?

  1. 4a64 a^{6}
  2. 16a616 a^{6}
  3. 16a516 a^{5}
  4. 8a68 a^{6}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 16a616 a^{6}

Corrigé :

(4a3)2=42⋅(a3)2\big(4 a^{3}\big)^{2} = 4^{2} \cdot \big(a^{3}\big)^{2}

L'exposant extérieur porte sur tout ce qui est dans la parenthèse, coefficient compris.

=16a6= 16 a^{6}

Le coefficient est élevé au carré, l'exposant de aa est multiplié par deux.

La bonne réponse : « 16a616 a^{6} ». « 8a68 a^{6} » — le coefficient 44 multiplié par 22 au lieu d'être élevé au carré : c'est l'erreur la plus fréquente de cette forme. « 16a516 a^{5} » — l'exposant de aa additionné (3+23 + 2) au lieu d'être multiplié. « 4a64 a^{6} » — le coefficient laissé intact, comme si l'exposant ne portait que sur la lettre.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

b≠0b \ne 0. Laquelle de ces expressions est égale à b6b^{6} ?

  1. b2⋅b4⋅b3b^{2} \cdot b^{4} \cdot b^{3}
  2. b3+b3b^{3} + b^{3}
  3. (b3)3\big(b^{3}\big)^{3}
  4. b10b4\dfrac{b^{10}}{b^{4}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D b10b4\dfrac{b^{10}}{b^{4}}

Corrigé :

b10b4=b10−4=b6\begin{aligned}\dfrac{b^{10}}{b^{4}} &= b^{10-4} \\ &= b^{6}\end{aligned}

Le quotient soustrait.

La bonne réponse : « b10b4\tfrac{b^{10}}{b^{4}} ». « b2⋅b4⋅b3b^{2} \cdot b^{4} \cdot b^{3} » vaut b9b^{9} : trois exposants qui s'additionnent. « (b3)3(b^{3})^{3} » vaut b9b^{9} aussi, mais par multiplication — deux chemins différents vers le même piège. « b3+b3b^{3} + b^{3} » vaut 2b32b^{3}, qui n'est une puissance de bb pour aucune valeur générale.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

6525=?\dfrac{6^{5}}{2^{5}} = ?

  1. 454^{5}
  2. 65−256^{5} - 2^{5}
  3. 353^{5}
  4. 313^{1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 353^{5}

Corrigé :

6525=(62)5\dfrac{6^{5}}{2^{5}} = \left(\dfrac{6}{2}\right)^{5}

Ici ce sont les exposants qui sont égaux, pas les bases : ce sont donc les bases qui se divisent.

=35= 3^{5}

Et l'expression est finie.

La bonne réponse : « 353^{5} ». « 313^{1} » — la bonne base, mais les exposants soustraits en plus : ils ne bougent pas dans cette règle. « 65−256^{5} - 2^{5} » — un quotient transformé en différence. « 454^{5} » — c'est 6−26 - 2 : la soustraction des bases au lieu de leur division. Reconnaître la forme est tout : bases égales, on touche aux exposants ; exposants égaux, on touche aux bases.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

nn est un entier. 2n+32n=?\dfrac{2^{n+3}}{2^{n}} = ?

  1. 88
  2. 33
  3. 22n+32^{2n+3}
  4. 23n2^{3n}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 88

Corrigé :

2n+32n=2(n+3)−n\dfrac{2^{n+3}}{2^{n}} = 2^{(n+3)-n}

Quotient de même base : on soustrait les exposants entiers.

=23=8= 2^{3} = 8

Les deux nn s'annulent : la réponse ne dépend pas de nn.

La bonne réponse : « 88 ». « 23n2^{3n} » — les exposants multipliés. « 33 » — l'exposant restant pris pour la réponse : 232^{3} vaut 88, pas 33. C'est l'erreur de dernière ligne, celle qui coûte le plus cher parce que tout le raisonnement était juste. « 22n+32^{2n+3} » — les deux exposants additionnés au lieu d'être soustraits.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

27⋅2326=2n\dfrac{2^{7} \cdot 2^{3}}{2^{6}} = 2^{n}. Combien vaut nn ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

7+3−6=47 + 3 - 6 = 4

Le produit additionne, le quotient soustrait.

4. Le piège est 216\tfrac{21}{6} : multiplier les exposants du produit au lieu de les additionner.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

70=07^{0} = 0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

70=717=1\begin{aligned}7^{0} &= \dfrac{7^{1}}{7} \\ &= 1\end{aligned}

La marche sous 717^{1} divise par 77.

Faux. Tout nombre non nul à la puissance 00 vaut 11 — jamais 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

Complétez.

Dans 65⋅64=6a6^{5} \cdot 6^{4} = 6^{a}, on a a=a = ____ ; dans 6564=6b\dfrac{6^{5}}{6^{4}} = 6^{b}, on a b=b = ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Dans 65⋅64=6a6^{5} \cdot 6^{4} = 6^{a}, on a a=a = 9 ; dans 6564=6b\dfrac{6^{5}}{6^{4}} = 6^{b}, on a b=b = 1.

Corrigé :

5+4=95 + 4 = 9

Produit : on additionne.

5−4=15 - 4 = 1

Quotient : on soustrait.

9 et 1. Même base, deux opérations, deux gestes : ne pas les échanger.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe